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1. （2024 盐城市盐都区期中）国庆期间，某热门题材电影凭借优秀的制作，一上映就获得全国人民的追捧. 据统计，该电影在某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元. 若把增长率记作$x$，则方程可以列为（
A.$3(1+x)=18$
B.$3(1+x)^2=18$
C.$3+3(1+x)^2=18$
D.$3+3(1+x)+3(1+x)^2=18$
D
）A.$3(1+x)=18$
B.$3(1+x)^2=18$
C.$3+3(1+x)^2=18$
D.$3+3(1+x)+3(1+x)^2=18$
答案
1.D
解析
【分析】
本题是增长率相关的一元二次方程应用题，解题核心是明确“三天后票房累计达18亿元”即三天票房总和为18亿。先根据增长率公式依次表示出第二天、第三天的票房，再将三天票房相加等于18，即可列出对应方程。
【解析】
已知第一天票房为3亿元，增长率为$x$，则：
1. 第二天票房 = 第一天票房×(1+增长率) = $3(1+x)$亿元；
2. 第三天票房 = 第二天票房×(1+增长率) = $3(1+x)·(1+x)=3(1+x)^2$亿元；
3. 因为三天票房累计达18亿元，所以三天票房之和为18亿元，可列方程：$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 18$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题为基础的增长率应用题，重点考查对“累计票房”的理解，需区分单天票房与总票房，是期中常见的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是增长率相关的一元二次方程应用题，解题核心是明确“三天后票房累计达18亿元”即三天票房总和为18亿。先根据增长率公式依次表示出第二天、第三天的票房，再将三天票房相加等于18，即可列出对应方程。
【解析】
已知第一天票房为3亿元，增长率为$x$，则：
1. 第二天票房 = 第一天票房×(1+增长率) = $3(1+x)$亿元；
2. 第三天票房 = 第二天票房×(1+增长率) = $3(1+x)·(1+x)=3(1+x)^2$亿元；
3. 因为三天票房累计达18亿元，所以三天票房之和为18亿元，可列方程：$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 18$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题为基础的增长率应用题，重点考查对“累计票房”的理解，需区分单天票房与总票房，是期中常见的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在 $\mathrm{Rt } △ ABC$ 中，$∠ ACB=90°, BC=12\ \mathrm{cm},$ $AC=16\ \mathrm{cm},$ 动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动. 设运动时间为 $t\ \mathrm{s},$ 当 $△ ABP$ 为以 $AB$ 或 $AP$ 为底边的等腰三角形时，$t$ 的值是
$\frac{50}{9}\ \mathrm{s}$或$\frac{20}{3}\ \mathrm{s}$
.答案
2. $\frac{50}{9}$或$\frac{20}{3}$ 提示:由题意,得 $BP=3t$. 如图 1,当$△ ABP$ 为以 $AB$ 为底边的等腰三角形时,即 $AP=BP=3t$. 因为 $∠ ACB=90°,BC=12\ \mathrm{cm},AC=16\ \mathrm{cm}$,且 $AP≥ AC$,所以 $BP=3t＞12=BC$,所以$CP=3t-12$, 所以 $AP^2=AC^2+CP^2$,即 $(3t)^2=16^2+(3t-12)^2$,解得 $t=\frac{50}{9}$. 如图 2,当 $△ ABP$ 为以 $AP$ 为底边的等腰三角形时,即 $AB=BP=3t$. 所以$AB^2=BC^2+AC^2$. 即 $(3t)^2=12^2+16^2$,解得 $t=\frac{20}{3}$或 $t=-\frac{20}{3}$(舍去). 综上所述,$t=\frac{50}{9}$ 或 $t=\frac{20}{3}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两种情况讨论△ABP为等腰三角形的底边：①以AB为底边时，AP=BP；②以AP为底边时，AB=BP。结合动点P的运动速度与方向，利用勾股定理分别建立方程求解，同时注意射线BC的范围，舍去不符合实际的解。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12cm，AC=16cm，动点P的速度为3cm/s，运动时间为t s，故BP=3t cm。
情况1：当△ABP以AB为底边时，AP=BP=3t。
此时P在BC的延长线上（因AP=BP＞AC=16，故BP＞BC=12），则CP=BP - BC=3t -12。
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AC^2 + CP^2 = AP^2$，代入数值得：
$16^2 + (3t -12)^2 = (3t)^2$，
展开计算：$256 + 9t^2 -72t +144 =9t^2$，
化简得：$400 -72t=0$，解得$t=\frac{50}{9}$。
情况2：当△ABP以AP为底边时，AB=BP=3t。
先计算AB的长度：在Rt△ABC中，$AB^2=BC^2 + AC^2=12^2 +16^2=400$，故AB=20cm，
因此$3t=20$，解得$t=\frac{20}{3}$（$t=-\frac{20}{3}$舍去，时间为正）。
综上，t的值为$\frac{50}{9}$或$\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{50}{9}$或$\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理、等腰三角形性质、动点问题
【点评】
本题是动点与等腰三角形、勾股定理结合的综合题，核心是分类讨论等腰三角形的底边，利用直角三角形的勾股定理建立方程，需注意动点在射线上的位置，避免漏解，考查分类思想与计算能力。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需分两种情况讨论△ABP为等腰三角形的底边：①以AB为底边时，AP=BP；②以AP为底边时，AB=BP。结合动点P的运动速度与方向，利用勾股定理分别建立方程求解，同时注意射线BC的范围，舍去不符合实际的解。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12cm，AC=16cm，动点P的速度为3cm/s，运动时间为t s，故BP=3t cm。
情况1：当△ABP以AB为底边时，AP=BP=3t。
此时P在BC的延长线上（因AP=BP＞AC=16，故BP＞BC=12），则CP=BP - BC=3t -12。
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AC^2 + CP^2 = AP^2$，代入数值得：
$16^2 + (3t -12)^2 = (3t)^2$，
展开计算：$256 + 9t^2 -72t +144 =9t^2$，
化简得：$400 -72t=0$，解得$t=\frac{50}{9}$。
情况2：当△ABP以AP为底边时，AB=BP=3t。
先计算AB的长度：在Rt△ABC中，$AB^2=BC^2 + AC^2=12^2 +16^2=400$，故AB=20cm，
因此$3t=20$，解得$t=\frac{20}{3}$（$t=-\frac{20}{3}$舍去，时间为正）。
综上，t的值为$\frac{50}{9}$或$\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{50}{9}$或$\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理、等腰三角形性质、动点问题
【点评】
本题是动点与等腰三角形、勾股定理结合的综合题，核心是分类讨论等腰三角形的底边，利用直角三角形的勾股定理建立方程，需注意动点在射线上的位置，避免漏解，考查分类思想与计算能力。
【难度系数】
0.5
3.（2024重庆市中考）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是
$10\%$
.答案
3. $10\%$
解析
【分析】首先明确这是增长率问题，年平均增长率的计算遵循公式：最终量=初始量×(1+增长率)^年数。本题中2021年缴税40万元（初始量），2023年为经过2年的最终缴税金额，设年平均增长率为x，据此列出一元二次方程，解方程后根据增长率为正数的实际意义舍去不符合题意的解，即可得到结果。
【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为$ x $，根据题意得：
$ 40(1+x)^2 = 48.4 $
两边同时除以40，得：$ (1+x)^2 = 1.21 $
开平方，得：$ 1+x = ±1.1 $
因为增长率为正数，舍去$ 1+x = -1.1 $，则：
$ 1+x = 1.1 $
解得：$ x = 0.1 = 10\% $
【答案】$ 10\% $
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题是中考典型的增长率基础应用题，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题关键是找准时间节点建立方程，合理取舍解，难度适中，多数学生可掌握。
【难度系数】0.7
【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为$ x $，根据题意得：
$ 40(1+x)^2 = 48.4 $
两边同时除以40，得：$ (1+x)^2 = 1.21 $
开平方，得：$ 1+x = ±1.1 $
因为增长率为正数，舍去$ 1+x = -1.1 $，则：
$ 1+x = 1.1 $
解得：$ x = 0.1 = 10\% $
【答案】$ 10\% $
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题是中考典型的增长率基础应用题，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题关键是找准时间节点建立方程，合理取舍解，难度适中，多数学生可掌握。
【难度系数】0.7
4. 某小型工厂9月份生产的A,B两种产品数量分别为200件和100件,A,B两种产品出厂单价之比为$2:1$.由于订单的增加,工厂提高了A,B两种产品的生产数量和出厂单价,10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等,B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半,B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍.设B产品生产数量的增长率为$x(x＞0)$.
(1) 用含有$x$的代数式填表(不需化简):
(2) 若9月份两种产品出厂单价的和为90元,10月份该工厂总收入的增长率为$4.4x$,求$x$的值(用百分数表示).
(1) 用含有$x$的代数式填表(不需化简):
(2) 若9月份两种产品出厂单价的和为90元,10月份该工厂总收入的增长率为$4.4x$,求$x$的值(用百分数表示).
答案
4. (1) $2x$ $200(1+2x)$ $100(1+x)$
(2) 解:由题意可知,9月份 A 产品的出厂单价为 $90×\frac{2}{2+1}=60$(元),B 产品的出厂单价为 $90-60=30$(元). 根据题意,得$60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)=(60×200+30×100)(1+4.4x)$. 整理,得 $20x^2-x=0$,解得 $x_1=0$(舍去),$x_2=0.05=5\%$.
答:$x$ 的值为 $5\%$.
(2) 解:由题意可知,9月份 A 产品的出厂单价为 $90×\frac{2}{2+1}=60$(元),B 产品的出厂单价为 $90-60=30$(元). 根据题意,得$60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)=(60×200+30×100)(1+4.4x)$. 整理,得 $20x^2-x=0$,解得 $x_1=0$(舍去),$x_2=0.05=5\%$.
答:$x$ 的值为 $5\%$.
解析
【分析】
第(1)问需根据题目中A、B产品生产数量增长率的关系，用含x的代数式表示对应量；第(2)问先利用单价和与单价比求出9月A、B产品单价，再结合各产品的单价增长率、生产数量，依据“10月总收入=9月总收入×(1+总收入增长率)”列方程求解x，需注意舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 已知B产品生产数量增长率为x，且B产品生产数量增长率是A产品的一半，因此A产品生产数量增长率为2x；
A产品10月生产数量：200×(1+2x)=200(1+2x)；
B产品10月生产数量：100×(1+x)=100(1+x)；
故表格依次填：2x，200(1+2x)，100(1+x)。
(2) 求9月A、B产品单价：
因A、B单价比为2:1，单价和为90元，故A单价=90×$\frac{2}{2+1}$=60元，B单价=90-60=30元；
分析10月相关量：
A产品单价增长率与生产数量增长率相等，即2x，故A10月单价=60(1+2x)；
B产品单价增长率是A产品单价增长率的2倍，即4x，故B10月单价=30(1+4x)；
列方程：
10月总收入=60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)；
9月总收入=60×200+30×100=15000元；
根据总收入增长率为4.4x，得：
60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)=15000(1+4.4x)
整理得：20x² -x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=0.05=5%。
【答案】
(1) 2x，200(1+2x)，100(1+x)；(2) 5%
【知识点】
增长率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合表格考查增长率的代数式表示与一元二次方程的应用，核心是理清各量的增长率关系，正确列方程，需注意舍去x=0的不合理解。
【难度系数】
0.5
第(1)问需根据题目中A、B产品生产数量增长率的关系，用含x的代数式表示对应量；第(2)问先利用单价和与单价比求出9月A、B产品单价，再结合各产品的单价增长率、生产数量，依据“10月总收入=9月总收入×(1+总收入增长率)”列方程求解x，需注意舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 已知B产品生产数量增长率为x，且B产品生产数量增长率是A产品的一半，因此A产品生产数量增长率为2x；
A产品10月生产数量：200×(1+2x)=200(1+2x)；
B产品10月生产数量：100×(1+x)=100(1+x)；
故表格依次填：2x，200(1+2x)，100(1+x)。
(2) 求9月A、B产品单价：
因A、B单价比为2:1，单价和为90元，故A单价=90×$\frac{2}{2+1}$=60元，B单价=90-60=30元；
分析10月相关量：
A产品单价增长率与生产数量增长率相等，即2x，故A10月单价=60(1+2x)；
B产品单价增长率是A产品单价增长率的2倍，即4x，故B10月单价=30(1+4x)；
列方程：
10月总收入=60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)；
9月总收入=60×200+30×100=15000元；
根据总收入增长率为4.4x，得：
60(1+2x)×200(1+2x)+30(1+4x)×100(1+x)=15000(1+4.4x)
整理得：20x² -x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=0.05=5%。
【答案】
(1) 2x，200(1+2x)，100(1+x)；(2) 5%
【知识点】
增长率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合表格考查增长率的代数式表示与一元二次方程的应用，核心是理清各量的增长率关系，正确列方程，需注意舍去x=0的不合理解。
【难度系数】
0.5
5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=$$8\ \mathrm{cm}$.点$P$从点$A$出发,沿折线$AB-BC$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$匀速运动;点$Q$从点$C$出发,沿线段$CD$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$D$匀速运动.已知两点同时出发,当一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,连接$PQ,AQ$.
(1) 当$t ≤ 2.5$时,存在某一时刻使得$PQ$的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,则求时间$t$所列方程化为一般形式为
(2) 在点$P,Q$的运动过程中,是否存在某一时刻,使得$△ APQ$的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$?若存在,请求出所有满足条件的$t$的值;若不存在,请说明理由.
(1) 当$t ≤ 2.5$时,存在某一时刻使得$PQ$的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,则求时间$t$所列方程化为一般形式为
$3t^2-10t+7=0$
.(2) 在点$P,Q$的运动过程中,是否存在某一时刻,使得$△ APQ$的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$?若存在,请求出所有满足条件的$t$的值;若不存在,请说明理由.
答案
5. (1) $3t^2-10t+7=0$
(2) 解:存在. 因为 $AB=10\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 的运动速度是 4 cm/s,所以点 $P$ 到达点 $B$ 的时间为 $\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$(s),点 $P$ 到达点 $C$ 的时间为 $\frac{10+8}{4}=\frac{9}{2}$(s). 因为 $CD=10\ \mathrm{cm}$,点 $Q$ 的运动速度是 2 cm/s,所以点 $Q$ 到达点 $D$ 的时间为 $\frac{10}{2}=5$(s). ①当 $0＜t≤\frac{5}{2}$时,
$AP=4t\ \mathrm{cm}$,$△ APQ$ 的高 $BC=8\ \mathrm{cm}$,所以 $S_{△ APQ}=\frac{1}{2}AP· BC=\frac{1}{2}×4t×8=36$,解得 $t=\frac{9}{4}$;②当 $\frac{5}{2}＜t≤\frac{9}{2}$时,
$BP=(4t-10)\ \mathrm{cm}$,$CQ=2t\ \mathrm{cm}$,则$CP=BC-BP=8\ \mathrm{cm}-(4t-10)\ \mathrm{cm}=(18-4t)\ \mathrm{cm}$, 所以 $S_{△ APQ}=S_{\mathrm{四边形}ABCQ}-S_{△ ABP}-S_{△ CPQ}=\frac{1}{2}(AB+CQ)· BC-\frac{1}{2}AB· BP-\frac{1}{2}CP· CQ=\frac{1}{2}(10+2t)×8-\frac{1}{2}×10×(4t-10)-\frac{1}{2}×(18-4t)×2t=36$,整理,得 $2t^2-15t+27=0$,解得$t_1=3,t_2=\frac{9}{2}$. 综上所述,当 $t$ 的值为 $\frac{9}{4}$ 或 3或 $\frac{9}{2}$ 时,$△ APQ$ 的面积为 $36\ \mathrm{cm^2}$.解析
【分析】
本题是矩形背景下的动点问题，需分阶段分析点P、Q的位置，结合几何性质建立方程：第(1)问利用勾股定理表示PQ长度，结合已知条件列方程并整理；第(2)问需分P在AB段、BC段两种情况，分别计算△APQ的面积，建立面积方程后验证解的合理性，核心是分类讨论思想和方程思想的应用。
【解析】
(1) 当$t ≤ 2.5$时，点P在AB上，$AP=4t\ \mathrm{cm}$；点Q在CD上，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$。
矩形ABCD中，$AB=CD=10\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得PQ的长度：
$PQ=\sqrt{(10-2t-4t)^2 + (8-0)^2}=\sqrt{(10-6t)^2 + 64}$
已知$PQ=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，平方后整理：
$(10-6t)^2 + 64 = (4\sqrt{5})^2$
$100 -120t +36t^2 +64=80$
$36t^2 -120t +84=0$
两边同除以12，得一般形式：$3t^2 -10t +7=0$
(2) 分情况讨论：
① 当$0＜t≤\frac{5}{2}$时，点P在AB上，$AP=4t\ \mathrm{cm}$，△APQ的高为矩形的宽$BC=8\ \mathrm{cm}$，则：
$S_{△APQ}=\frac{1}{2}×AP×BC=\frac{1}{2}×4t×8=16t$
令$16t=36$，解得$t=\frac{9}{4}$，符合$0＜t≤\frac{5}{2}$。
② 当$\frac{5}{2}＜t≤\frac{9}{2}$时，点P在BC上，$BP=(4t-10)\ \mathrm{cm}$，$CP=8-(4t-10)=18-4t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$。
用“梯形ABCQ面积 - △ABP面积 - △CPQ面积”计算：
梯形ABCQ面积：$\frac{1}{2}(AB+CQ)×BC=\frac{1}{2}(10+2t)×8=40+8t$
△ABP面积：$\frac{1}{2}×AB×BP=\frac{1}{2}×10×(4t-10)=20t-50$
△CPQ面积：$\frac{1}{2}×CP×CQ=\frac{1}{2}×(18-4t)×2t=18t-4t^2$
则$S_{△APQ}=(40+8t)-(20t-50)-(18t-4t^2)=4t^2-30t+90$
令$4t^2-30t+90=36$，整理得$2t^2-15t+27=0$，解得$t_1=3$，$t_2=\frac{9}{2}$，均符合范围。
综上，满足条件的t为$\frac{9}{4}$、3、$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $3t^2-10t+7=0$
(2) 存在，$t$的值为$\frac{9}{4}$或$3$或$\frac{9}{2}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形性质、动点问题
【点评】
本题结合矩形动点考查方程思想，需分阶段讨论点的位置，准确计算不同阶段的几何面积，关键是验证解的合理性，体现了分类讨论的数学思想，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题是矩形背景下的动点问题，需分阶段分析点P、Q的位置，结合几何性质建立方程：第(1)问利用勾股定理表示PQ长度，结合已知条件列方程并整理；第(2)问需分P在AB段、BC段两种情况，分别计算△APQ的面积，建立面积方程后验证解的合理性，核心是分类讨论思想和方程思想的应用。
【解析】
(1) 当$t ≤ 2.5$时，点P在AB上，$AP=4t\ \mathrm{cm}$；点Q在CD上，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$。
矩形ABCD中，$AB=CD=10\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得PQ的长度：
$PQ=\sqrt{(10-2t-4t)^2 + (8-0)^2}=\sqrt{(10-6t)^2 + 64}$
已知$PQ=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，平方后整理：
$(10-6t)^2 + 64 = (4\sqrt{5})^2$
$100 -120t +36t^2 +64=80$
$36t^2 -120t +84=0$
两边同除以12，得一般形式：$3t^2 -10t +7=0$
(2) 分情况讨论：
① 当$0＜t≤\frac{5}{2}$时，点P在AB上，$AP=4t\ \mathrm{cm}$，△APQ的高为矩形的宽$BC=8\ \mathrm{cm}$，则：
$S_{△APQ}=\frac{1}{2}×AP×BC=\frac{1}{2}×4t×8=16t$
令$16t=36$，解得$t=\frac{9}{4}$，符合$0＜t≤\frac{5}{2}$。
② 当$\frac{5}{2}＜t≤\frac{9}{2}$时，点P在BC上，$BP=(4t-10)\ \mathrm{cm}$，$CP=8-(4t-10)=18-4t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$。
用“梯形ABCQ面积 - △ABP面积 - △CPQ面积”计算：
梯形ABCQ面积：$\frac{1}{2}(AB+CQ)×BC=\frac{1}{2}(10+2t)×8=40+8t$
△ABP面积：$\frac{1}{2}×AB×BP=\frac{1}{2}×10×(4t-10)=20t-50$
△CPQ面积：$\frac{1}{2}×CP×CQ=\frac{1}{2}×(18-4t)×2t=18t-4t^2$
则$S_{△APQ}=(40+8t)-(20t-50)-(18t-4t^2)=4t^2-30t+90$
令$4t^2-30t+90=36$，整理得$2t^2-15t+27=0$，解得$t_1=3$，$t_2=\frac{9}{2}$，均符合范围。
综上，满足条件的t为$\frac{9}{4}$、3、$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $3t^2-10t+7=0$
(2) 存在，$t$的值为$\frac{9}{4}$或$3$或$\frac{9}{2}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形性质、动点问题
【点评】
本题结合矩形动点考查方程思想，需分阶段讨论点的位置，准确计算不同阶段的几何面积，关键是验证解的合理性，体现了分类讨论的数学思想，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
