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2. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载
“圆中方形”问题，其大意：有一块圆形的
田，中间有一块正方形水池，测量出除水池
外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水
池边到圆周，每边相距3步远，请计算出正
方形的边长. 如图所示，设正方形的边长是
$x$步，则列出的方程是
“圆中方形”问题，其大意：有一块圆形的
田，中间有一块正方形水池，测量出除水池
外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水
池边到圆周，每边相距3步远，请计算出正
方形的边长. 如图所示，设正方形的边长是
$x$步，则列出的方程是
$π(\dfrac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
.答案
2. $π(\dfrac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
解析
【分析】
要列出方程，需先明确圆的半径、圆的面积、正方形的面积，再根据“圆面积减去正方形面积等于可耕地面积”的等量关系推导。观察图形可知，正方形边长为$x$，水池边到圆周每边相距3步，因此圆的直径是正方形边长加左右各3步，进而求出圆的半径，再结合面积公式建立等式。
【解析】
1. 求圆的半径：正方形边长为$x$，水池边到圆周每边3步，所以圆的直径为$x + 3×2 = x + 6$，则圆的半径$r=\frac{x+6}{2}=\frac{x}{2}+3$。
2. 计算圆的面积：根据圆的面积公式，圆的面积为$π r^2=π(\frac{x}{2}+3)^2$。
3. 计算正方形的面积：正方形面积为边长的平方，即$x^2$。
4. 建立方程：已知可耕地面积为72平方步，可耕地面积=圆面积-正方形面积，因此方程为$π(\frac{x}{2}+3)^2 - x^2 = 72$。
【答案】
$π(\dfrac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
【知识点】
圆的面积、正方形的面积、列方程
【点评】
本题结合古代数学问题，考查圆和正方形的面积计算及列方程的知识，关键是理清圆半径与正方形边长的关系，明确面积差的等量关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要列出方程，需先明确圆的半径、圆的面积、正方形的面积，再根据“圆面积减去正方形面积等于可耕地面积”的等量关系推导。观察图形可知，正方形边长为$x$，水池边到圆周每边相距3步，因此圆的直径是正方形边长加左右各3步，进而求出圆的半径，再结合面积公式建立等式。
【解析】
1. 求圆的半径：正方形边长为$x$，水池边到圆周每边3步，所以圆的直径为$x + 3×2 = x + 6$，则圆的半径$r=\frac{x+6}{2}=\frac{x}{2}+3$。
2. 计算圆的面积：根据圆的面积公式，圆的面积为$π r^2=π(\frac{x}{2}+3)^2$。
3. 计算正方形的面积：正方形面积为边长的平方，即$x^2$。
4. 建立方程：已知可耕地面积为72平方步，可耕地面积=圆面积-正方形面积，因此方程为$π(\frac{x}{2}+3)^2 - x^2 = 72$。
【答案】
$π(\dfrac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
【知识点】
圆的面积、正方形的面积、列方程
【点评】
本题结合古代数学问题，考查圆和正方形的面积计算及列方程的知识，关键是理清圆半径与正方形边长的关系，明确面积差的等量关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
3. 《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的图谱，其中“燕几”即宴几，如图1. 书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等. 若该燕几的面积为$7.2\ \mathrm{m}^{2}$，则这些桌面的宽度为
0.6
m.答案
3. 0.6
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合图形拼接关系，通过设未知数建立方程求解。首先设桌面宽度为$x$，再根据图形中各桌子的边长联系，推导总面积与宽度的关系，最终利用已知总面积计算宽度。
【解析】
设这些桌面的宽度为$x \, \mathrm{m}$。
根据图形拼接结构，设小桌的长为$a$，则中桌的长为$a+x$，长桌的长为$a+2x$；由水平方向大矩形的长相等可得：
$(a+x)+a=(a+2x)+x$，
化简得$2a+x=a+3x$，解得$a=2x$。
计算所有桌面的总面积：
2张长桌的面积和：$2×(a+2x)× x=2×(2x+2x)× x=8x^2$；
2张中桌的面积和：$2×(a+x)× x=2×(2x+x)× x=6x^2$；
3张小桌的面积和：$3× a× x=3×2x× x=6x^2$；
总面积为$8x^2+6x^2+6x^2=20x^2$。
已知总面积为$7.2 \, \mathrm{m}^2$，列方程：
$20x^2=7.2$，
解得$x^2=0.36$，因宽度为正数，故$x=0.6$。
【答案】
0.6
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题以古代图谱为背景，考查几何面积与方程结合的应用，关键是从图形拼接中推导边长关系，体现数形结合思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合图形拼接关系，通过设未知数建立方程求解。首先设桌面宽度为$x$，再根据图形中各桌子的边长联系，推导总面积与宽度的关系，最终利用已知总面积计算宽度。
【解析】
设这些桌面的宽度为$x \, \mathrm{m}$。
根据图形拼接结构，设小桌的长为$a$，则中桌的长为$a+x$，长桌的长为$a+2x$；由水平方向大矩形的长相等可得：
$(a+x)+a=(a+2x)+x$，
化简得$2a+x=a+3x$，解得$a=2x$。
计算所有桌面的总面积：
2张长桌的面积和：$2×(a+2x)× x=2×(2x+2x)× x=8x^2$；
2张中桌的面积和：$2×(a+x)× x=2×(2x+x)× x=6x^2$；
3张小桌的面积和：$3× a× x=3×2x× x=6x^2$；
总面积为$8x^2+6x^2+6x^2=20x^2$。
已知总面积为$7.2 \, \mathrm{m}^2$，列方程：
$20x^2=7.2$，
解得$x^2=0.36$，因宽度为正数，故$x=0.6$。
【答案】
0.6
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题以古代图谱为背景，考查几何面积与方程结合的应用，关键是从图形拼接中推导边长关系，体现数形结合思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 某地计划对长方形广场进行扩建改造. 如图,原广场长 50 m,宽 40 m,要求扩充后的长方形广场长与宽的比为 $3:2$. 扩充区域的扩建费用为每平方米 30 元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米 100 元. 若计划总费用为642 000 元,则扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
答案
4. 解:设扩充后广场的长为 $3x$ m,宽为 $2x$ m. 由题意,得 $3x· 2x· 100+30(3x· 2x-50× 40)=642\ 000$,解得 $x_1=30$,$x_2=-30$(舍去). 所以 $3x=90$,$2x=60$.答:扩充后广场的长为 90 m,宽为 60 m.
解析
【分析】
本题是长方形扩建的实际应用问题，已知扩充后长与宽的比为3:2，因此可设扩充后长为3x m、宽为2x m。总费用包含两部分：一是整个广场铺设地砖的费用（总面积×100元/㎡），二是扩充区域的扩建费用（扩充区域面积×30元/㎡，扩充区域面积=扩充后总面积-原广场面积），根据总费用642000元的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负数解，即可得到长和宽。
【解析】
设扩充后广场的长为$3x$ m，宽为$2x$ m。
原广场面积：$50×40=2000$（㎡）
扩充后广场面积：$3x·2x=6x^2$（㎡）
扩充区域面积：$6x^2 - 2000$（㎡）
根据总费用列方程：
$100×6x^2 + 30(6x^2 - 2000)=642000$
化简得：
$600x^2 + 180x^2 - 60000=642000$
$780x^2=702000$
$x^2=900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$（舍去，长度不能为负）
因此，长为$3×30=90$ m，宽为$2×30=60$ m。
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m。
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是找准总费用的等量关系，需区分铺设地砖和扩建费用对应的面积，求解时要舍去不符合实际意义的解，难度适中，重点考查学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是长方形扩建的实际应用问题，已知扩充后长与宽的比为3:2，因此可设扩充后长为3x m、宽为2x m。总费用包含两部分：一是整个广场铺设地砖的费用（总面积×100元/㎡），二是扩充区域的扩建费用（扩充区域面积×30元/㎡，扩充区域面积=扩充后总面积-原广场面积），根据总费用642000元的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负数解，即可得到长和宽。
【解析】
设扩充后广场的长为$3x$ m，宽为$2x$ m。
原广场面积：$50×40=2000$（㎡）
扩充后广场面积：$3x·2x=6x^2$（㎡）
扩充区域面积：$6x^2 - 2000$（㎡）
根据总费用列方程：
$100×6x^2 + 30(6x^2 - 2000)=642000$
化简得：
$600x^2 + 180x^2 - 60000=642000$
$780x^2=702000$
$x^2=900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$（舍去，长度不能为负）
因此，长为$3×30=90$ m，宽为$2×30=60$ m。
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m。
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是找准总费用的等量关系，需区分铺设地砖和扩建费用对应的面积，求解时要舍去不符合实际意义的解，难度适中，重点考查学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 数学课上,老师布置了一个实践活动——将一个长为 28 cm、宽为 16 cm 的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子.
(1) 如图 1,小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形,将其折成一个底面积为$160\ \mathrm{cm}^{2}$的无盖长方体盒子,求这个盒子的体积.
(2) 如图 2①,小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形,将其折成一个底面积为$80\ \mathrm{cm}^{2}$的有盖的长方体盒子(如图 2②).设裁去的矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$,根据题意可得方程:
(1) 如图 1,小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形,将其折成一个底面积为$160\ \mathrm{cm}^{2}$的无盖长方体盒子,求这个盒子的体积.
(2) 如图 2①,小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形,将其折成一个底面积为$80\ \mathrm{cm}^{2}$的有盖的长方体盒子(如图 2②).设裁去的矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$,根据题意可得方程:
$\dfrac{1}{2}(28-2x)(16-2x)=80$
.答案
5. 解:(1) 设裁去的正方形边长为 $x$ cm. 根据题意,得$(28-2x)(16-2x)=160$. 化简,得$x^2-22x+72=0$. 解这个方程,得 $x_1=4$,$x_2=18$(不合题意,舍去). $(28-4× 2)×(16-4× 2)× 4=640(\mathrm{cm}^3)$.答:这个盒子的体积为 $640\ \mathrm{cm}^3$.(2) $\dfrac{1}{2}(28-2x)(16-2x)=80$
解析
【分析】
对于第(1)问，折叠无盖长方体盒子时，四个角裁去相同正方形后，盒子底面的长为原矩形长减去2倍正方形边长，宽为原矩形宽减去2倍正方形边长，底面积等于底面长与宽的乘积，据此列方程求出正方形边长，再结合体积公式计算体积。对于第(2)问，折叠有盖长方体盒子时，结合其展开图特点，底面面积与原矩形边长减去2x后的乘积存在1/2的关系，根据底面积要求即可列出方程。
【解析】
(1) 设裁去的正方形边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则折叠后盒子底面的长为$ (28 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (16 - 2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ (28 - 2x)(16 - 2x) = 160 $
化简得：$ x^2 - 22x + 72 = 0 $
解方程得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 18 $。
当$ x = 18 $时，$ 16 - 2x = -20 ＜ 0 $，不合题意，舍去，故$ x = 4 $。
盒子体积为底面积×高，即$ 160 × 4 = 640 \, \mathrm{cm}^3 $。
(2) 设裁去的矩形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，结合有盖长方体盒子的展开图，底面面积为原矩形边长减去2x后乘积的$ \frac{1}{2} $，根据底面积为$ 80 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ \frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80 $
【答案】
(1) $ 640 \, \mathrm{cm}^3 $；(2) $ \frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80 $
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体的底面积与体积计算
【点评】
本题结合矩形折叠成长方体盒子的实际问题，考查一元二次方程在几何中的应用，需理解折叠后边长的变化规律，区分无盖与有盖盒子的展开图差异，是几何与代数结合的典型应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
对于第(1)问，折叠无盖长方体盒子时，四个角裁去相同正方形后，盒子底面的长为原矩形长减去2倍正方形边长，宽为原矩形宽减去2倍正方形边长，底面积等于底面长与宽的乘积，据此列方程求出正方形边长，再结合体积公式计算体积。对于第(2)问，折叠有盖长方体盒子时，结合其展开图特点，底面面积与原矩形边长减去2x后的乘积存在1/2的关系，根据底面积要求即可列出方程。
【解析】
(1) 设裁去的正方形边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则折叠后盒子底面的长为$ (28 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (16 - 2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ (28 - 2x)(16 - 2x) = 160 $
化简得：$ x^2 - 22x + 72 = 0 $
解方程得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 18 $。
当$ x = 18 $时，$ 16 - 2x = -20 ＜ 0 $，不合题意，舍去，故$ x = 4 $。
盒子体积为底面积×高，即$ 160 × 4 = 640 \, \mathrm{cm}^3 $。
(2) 设裁去的矩形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，结合有盖长方体盒子的展开图，底面面积为原矩形边长减去2x后乘积的$ \frac{1}{2} $，根据底面积为$ 80 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ \frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80 $
【答案】
(1) $ 640 \, \mathrm{cm}^3 $；(2) $ \frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80 $
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体的底面积与体积计算
【点评】
本题结合矩形折叠成长方体盒子的实际问题，考查一元二次方程在几何中的应用，需理解折叠后边长的变化规律，区分无盖与有盖盒子的展开图差异，是几何与代数结合的典型应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
