1. 小明用一根长为 30 cm 的铁丝围成一个直角三角形.若斜边的长为 13 cm,则该三角形的面积为（）

A.$15\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$30\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$45\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$60\ \mathrm{cm^{2}}$

1. B

【分析】
要解决这个问题，需结合直角三角形的周长、勾股定理和完全平方公式推导面积：首先根据铁丝总长（周长）和斜边长求出两条直角边的和，再利用勾股定理得到直角边的平方和，最后通过完全平方公式变形求出直角边的乘积，进而计算面积。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$。
已知铁丝长30cm，即三角形周长为30cm，斜边长13cm，因此：
$a + b + 13 = 30$，可得$a + b = 17$。
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：
$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$。
根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，变形可得：
$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$。
将$a + b =17$，$a^2 + b^2=169$代入上式：
$ab = \frac{17^2 - 169}{2} = \frac{289 - 169}{2} = 60$。
直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 60 = 30\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，核心是利用完全平方公式间接求出直角边乘积，避免复杂的边长求解，适合初中阶段学生巩固相关知识点。
【难度系数】
0.5

2. 如图,把长 40 cm、宽 30 cm 的矩形纸板剪掉 2 个小正方形和 2 个小矩形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子.设剪掉的小正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$(纸板的厚度忽略不计).若折成的长方体盒子的表面积是$950\ \mathrm{cm}^2$,则$x$的值是（）

A.3
B.4
C.4.8
D.5

2. D

【分析】
本题可利用“原矩形纸板面积减去剪掉部分的面积等于折成的长方体盒子的表面积”建立方程求解。先计算原矩形面积，再结合图形确定剪掉部分的面积表达式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的解，得到结果。
【解析】
1. 计算原矩形纸板的面积：$40 × 30 = 1200\ \mathrm{cm}^2$。
2. 分析剪掉部分的面积：剪掉的部分包含2个边长为$x\ \mathrm{cm}$的小正方形，面积共$2x^2\ \mathrm{cm}^2$；还有2个小矩形，每个小矩形的长为$(30 - 2x)\ \mathrm{cm}$、宽为$x\ \mathrm{cm}$，面积共$2 × x(30 - 2x)\ \mathrm{cm}^2$，因此剪掉部分总面积为$2x^2 + 2x(30 - 2x)$。
3. 根据题意列方程：原面积减去剪掉部分面积等于盒子表面积，即
$1200 - [2x^2 + 2x(30 - 2x)] = 950$
化简方程：
$1200 - (2x^2 + 60x - 4x^2) = 950$
$1200 + 2x^2 - 60x = 950$
整理得：$x^2 - 30x + 125 = 0$
解一元二次方程，判别式$\Delta = (-30)^2 - 4 × 1 × 125 = 400$，则
$x = \frac{30 \pm 20}{2}$，解得$x_1=25$，$x_2=5$。
结合实际意义，$x=25$时，$30-2x=-20$（长度为负，不符合实际），舍去，故$x=5$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合图形面积关系考查一元二次方程的应用，关键是准确表示剪掉部分的面积，需注意舍去不符合实际意义的解，难度适中。
【难度系数】
0.4

3. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔几步？”译文：一块矩形田地的面积是 864 平方步，它的长和宽共60 步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为$x$步，根据题意可列方程为.

3. $x(60-x)=864$

【分析】本题是结合古代数学问题的方程应用类题目，解题思路是：先根据“长和宽共60步”，用含长的代数式表示出宽；再依据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合已知面积建立等量关系，列出方程。
【解析】设矩形田地的长为$x$步，因为长和宽的和是60步，所以宽为$(60 - x)$步。根据矩形面积公式，面积等于长乘宽，已知面积为864平方步，因此可列方程为：$x(60 - x)=864$。
【答案】$x(60 - x)=864$
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】本题以古代数学问题为载体，考查一元二次方程的实际应用，核心是根据长与宽的数量关系表示出宽，再利用面积公式建立方程，属于基础应用题型，难度不大。
【难度系数】0.6

4.“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情.在一幅长100 cm，宽60 cm的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅长方形挂图，如图所示.如果要使挂图的面积是$7\ 700\ \mathrm{cm^{2}}$，设边框的宽度为$x\ \mathrm{cm}$，则列出的方程为

.

4. $(100+2x)(60+2x)=7\ 700$

【分析】要列出方程，需先确定挂图的长和宽。由于边框在细纹刻纸的四周，宽度均为$x\ \mathrm{cm}$，因此挂图的长是原刻纸的长加上左右两边边框的总宽度（即$2x\ \mathrm{cm}$），宽是原刻纸的宽加上上下两边边框的总宽度（即$2x\ \mathrm{cm}$）；再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，结合挂图面积为$7700\ \mathrm{cm^2}$，即可推导列出方程。
【解析】设边框的宽度为$x\ \mathrm{cm}$，则挂图的长为$(100 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(60 + 2x)\ \mathrm{cm}$。根据长方形面积公式，结合挂图面积为$7700\ \mathrm{cm^2}$，可得方程：$(100 + 2x)(60 + 2x) = 7700$。
【答案】$(100+2x)(60+2x)=7700$
【知识点】一元二次方程应用、长方形面积公式
【点评】本题是一元二次方程在实际几何问题中的基础应用，核心是正确表示出带边框后挂图的长和宽，属于常见的面积类方程问题，难度较低。
【难度系数】0.6

5. (2025 南京市联合体期中)如图,用 16 m 长的篱笆围一个面积为 $30\ \mathrm{m^{2}}$ 的矩形菜地$ABCD$,菜地一边靠墙(墙长为 8 m),求菜地的长和宽.

5. 解:设菜地的宽为 $x$ m,则菜地的长为$(16-2x)$ m. 由题意,得 $x(16-2x)=30$,解得 $x_1=3,x_2=5$. 当 $x=3$ 时,$16-2x=10＞8$(不符合题意,舍去). 当 $x=5$ 时,$16-2x=6$.答:菜地的长为 6 m,宽为 5 m.

【分析】
要解决这个问题，首先明确篱笆仅围矩形的三个边（两个宽和一个长，靠墙的一边无需篱笆），设宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$；再根据矩形面积公式（面积=长×宽）列方程，同时需结合墙长8米的限制，对解进行检验，舍去不符合实际意义的结果。
【解析】
设菜地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则菜地的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，结合面积为$30\ \mathrm{m^2}$，列方程：
$x(16-2x)=30$
整理得：$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$。
结合墙长8米检验解：
当$x=3$时，长为$16-2×3=10\ \mathrm{m}$，$10＞8$，不符合墙长限制，舍去；
当$x=5$时，长为$16-2×5=6\ \mathrm{m}$，$6＜8$，符合题意。
【答案】
菜地的长为6 m，宽为5 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景的典型应用，核心是根据篱笆长度正确表示矩形的长和宽，关键在于结合墙长的实际条件对解进行取舍，考查学生的方程建模能力与实际问题的分析能力，需注意避免忽略实际限制导致错误。
【难度系数】
0.6

6.（2024 盐城市东台市期中）如图，在长为10 m、宽为8 m的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为 $63\ \mathrm{m}^2$。
(1) 求道路的宽度。
(2) 园林部门要种植 A,B 两种花卉共 400株，其中 A 种花卉每株 10 元，B 种花卉每株 8 元，园林部门采购花卉的费用不超过 3 680 元，则最多购进 A 种花卉多少株？

6. 解:(1) 设道路的宽度为 $x$ m. 根据题意,得$(10-x)(8-x)=63$,解得 $x_1=1,x_2=17$(因为 $17＞8$,故舍去).答:道路的宽度为 1 m.(2) 设购进 A 种花卉 $m$ 株,则购进 B 种花卉$(400-m)$株. 根据题意,得 $10m+8(400-m)≤3\ 680$,解得 $m≤240$,所以最多购进 A 种花卉 240 株.

【分析】
第(1)问：本题是道路宽度的实际问题，可通过平移两条互相垂直的道路，将种植花卉的区域转化为新矩形，其长为原矩形长减道路宽度、宽为原矩形宽减道路宽度，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，需舍去不符合实际意义的解；第(2)问是费用限制的实际问题，设A种花卉数量为$m$株，根据总费用不超过3680元的条件列一元一次不等式，求解后取符合实际的最大整数解。
【解析】
(1) 设道路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
将两条道路平移后，种植花卉的区域为长$ (10 - x) \, \mathrm{m} $、宽$ (8 - x) \, \mathrm{m} $的矩形，根据种植花卉总面积为$ 63 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(10 - x)(8 - x) = 63$
展开整理得：
$x^2 - 18x + 17 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 17) = 0$
解得$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 17 $。
因为道路宽度不能超过原矩形的宽（$ 8 \, \mathrm{m} $），$ 17 ＞ 8 $，故舍去$ x_2 = 17 $，因此道路宽度为$ 1 \, \mathrm{m} $。
(2) 设购进A种花卉$ m $株，则购进B种花卉$ (400 - m) $株。
根据采购费用不超过$ 3680 $元，列不等式：
$10m + 8(400 - m) ≤ 3680$
去括号得：
$10m + 3200 - 8m ≤ 3680$
移项合并同类项得：
$2m ≤ 480$
解得：
$m ≤ 240$
所以最多购进A种花卉$ 240 $株。
【答案】
(1) 道路的宽度为$ 1 \, \mathrm{m} $；(2) 最多购进A种花卉$ 240 $株。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题为实际应用类题目，考查将实际问题转化为数学模型的能力，第(1)问用平移法简化图形是解决道路面积问题的常用技巧，第(2)问结合不等式求最值，难度适中，属于期中常见题型，需注意解的实际意义。
【难度系数】
0.6

1. 如图,边长为 10 cm 的正方形纸片 ABCD,先剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起,可以得到一个长方体盒子,点 A,B,C,D 正好重合于上底面一点,且此长方体盒子的表面积为 $36\ \mathrm{cm}^2$,其中 $AE=BF$. 若设 $AE$ 的长为 $x\ \mathrm{cm}$,则下列方程正确的是（）

A.$(10-2x)^2=100-36$
B.$\dfrac{(10-2x)^2}{2}=100-36$
C.$4x(10-2x)+2x^2=36$
D.$100-2x^2=36×2$

1. A

【分析】
要解决本题，需先梳理图形中的线段长度与面积关系：正方形ABCD边长为10cm，面积为10×10=100cm²。设AE=x，由AE=BF可知，AB边上EF的长度为10 - AE - BF=10-2x。折起后得到长方体盒子，其表面积为36cm²，原正方形面积减去长方体盒子的表面积，等于折起后长方体底面正方形的面积，而底面正方形的边长恰好为EF，据此可建立方程。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的面积：边长为10cm，故面积为 $10×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
2. 表示线段EF的长度：已知AE=x，且AE=BF，因此 $EF=AB - AE - BF=10 - x - x=10-2x$。
3. 建立方程：折起后长方体盒子的表面积为36cm²，原正方形面积减去长方体盒子的表面积，等于折起后长方体底面正方形的面积，底面正方形边长为EF，面积为 $(10-2x)^2$，因此方程为 $(10-2x)^2=100-36$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、正方形面积
【点评】
本题结合正方形折叠问题考查一元二次方程的实际应用，核心是明确折叠前后的面积对应关系，找到等量关系建立方程，需注意折叠后图形的边长与原线段的关联。
【难度系数】
0.5