登录
6. (教材例3变式)小明家买了8袋大米,每袋大米以10千克为质量标准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数.小明称后的记录(单位:千克)如下:0.4,−0.3,0.2,−0.4,0.1,0.6,−0.2,−0.5.请回答下列问题:
(1)这8袋大米中最接近标准的那袋大米的实际质量是
(2)8袋大米总计超过多少千克或不足多少千克?
(1)这8袋大米中最接近标准的那袋大米的实际质量是
10.1
千克;(2)8袋大米总计超过多少千克或不足多少千克?
答案
6. 解:(1)10.1
(2)$0.4+(-0.3)+0.2+(-0.4)+0.1+0.6+(-0.2)+(-0.5)=-0.1$(千克).
答:8袋大米总计不足0.1千克.
(2)$0.4+(-0.3)+0.2+(-0.4)+0.1+0.6+(-0.2)+(-0.5)=-0.1$(千克).
答:8袋大米总计不足0.1千克.
解析
【分析】
(1)要找最接近标准质量的大米，首先明确记录的数的绝对值代表该袋大米与标准质量的偏差大小，绝对值越小就越接近标准。先计算所有记录数的绝对值，找到最小的那个，再加上标准质量10千克即可得到对应实际质量。
(2)要计算8袋大米总计超过或不足的质量，只需将所有的质量偏差记录相加，若和为正数表示总计超过，和为负数表示总计不足。
【解析】
(1) 先计算各记录数的绝对值：
|0.4|=0.4，|-0.3|=0.3，|0.2|=0.2，|-0.4|=0.4，|0.1|=0.1，|0.6|=0.6，|-0.2|=0.2，|-0.5|=0.5
其中最小的绝对值是0.1，对应的实际质量为：$10 + 0.1 = 10.1$（千克）
(2) 将所有偏差记录相加，可利用加法运算律简化计算：
$\begin{aligned}&0.4+(-0.3)+0.2+(-0.4)+0.1+0.6+(-0.2)+(-0.5)\\=&[0.4+(-0.4)] + [0.2+(-0.2)] + [(-0.3)+(-0.5)+0.6] + 0.1\\=&0 + 0 + (-0.2) + 0.1\\=&-0.1 \ (\mathrm{千克})\end{aligned}$
和为负数，说明总计不足0.1千克。
【答案】
(1) $10.1$
(2) 8袋大米总计不足$0.1$千克
【知识点】
正负数的意义，绝对值的性质，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际考查正负数的相关应用，解题时需准确理解偏差记录的含义，灵活运用有理数的运算律简化计算，整体解题思路清晰，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1)要找最接近标准质量的大米，首先明确记录的数的绝对值代表该袋大米与标准质量的偏差大小，绝对值越小就越接近标准。先计算所有记录数的绝对值，找到最小的那个，再加上标准质量10千克即可得到对应实际质量。
(2)要计算8袋大米总计超过或不足的质量，只需将所有的质量偏差记录相加，若和为正数表示总计超过，和为负数表示总计不足。
【解析】
(1) 先计算各记录数的绝对值：
|0.4|=0.4，|-0.3|=0.3，|0.2|=0.2，|-0.4|=0.4，|0.1|=0.1，|0.6|=0.6，|-0.2|=0.2，|-0.5|=0.5
其中最小的绝对值是0.1，对应的实际质量为：$10 + 0.1 = 10.1$（千克）
(2) 将所有偏差记录相加，可利用加法运算律简化计算：
$\begin{aligned}&0.4+(-0.3)+0.2+(-0.4)+0.1+0.6+(-0.2)+(-0.5)\\=&[0.4+(-0.4)] + [0.2+(-0.2)] + [(-0.3)+(-0.5)+0.6] + 0.1\\=&0 + 0 + (-0.2) + 0.1\\=&-0.1 \ (\mathrm{千克})\end{aligned}$
和为负数，说明总计不足0.1千克。
【答案】
(1) $10.1$
(2) 8袋大米总计不足$0.1$千克
【知识点】
正负数的意义，绝对值的性质，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际考查正负数的相关应用，解题时需准确理解偏差记录的含义，灵活运用有理数的运算律简化计算，整体解题思路清晰，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
7. 数轴上－4.6与2.4之间的所有整数的和是
-7
。答案
7. -7
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先确定-4.6与2.4之间的所有整数，结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，以及整数包含正整数、0、负整数的定义，大于-4.6的最小负整数是-4，小于2.4的最大正整数是2，依次列举出区间内的所有整数即可。第二步计算这些整数的和，计算时可以利用有理数加法的交换律和结合律，把互为相反数的数先相加，简化计算过程，避免出错。
【解析】
解：首先找出数轴上-4.6与2.4之间的所有整数：
大于-4.6且小于2.4的整数有：-4、-3、-2、-1、0、1、2。
计算上述整数的和：
$\begin{aligned}&(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2\\=&[(-2)+2]+[(-1)+1]+0+(-4)+(-3)\\=&0+0+0-7\\=&-7\end{aligned}$
【答案】
-7
【知识点】
1. 整数的概念
2. 数轴的应用
3. 有理数加法运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确枚举指定区间内的全部整数，注意不要误将区间外的-5、3计入，计算时灵活运用加法运算律可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步走：第一步先确定-4.6与2.4之间的所有整数，结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，以及整数包含正整数、0、负整数的定义，大于-4.6的最小负整数是-4，小于2.4的最大正整数是2，依次列举出区间内的所有整数即可。第二步计算这些整数的和，计算时可以利用有理数加法的交换律和结合律，把互为相反数的数先相加，简化计算过程，避免出错。
【解析】
解：首先找出数轴上-4.6与2.4之间的所有整数：
大于-4.6且小于2.4的整数有：-4、-3、-2、-1、0、1、2。
计算上述整数的和：
$\begin{aligned}&(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2\\=&[(-2)+2]+[(-1)+1]+0+(-4)+(-3)\\=&0+0+0-7\\=&-7\end{aligned}$
【答案】
-7
【知识点】
1. 整数的概念
2. 数轴的应用
3. 有理数加法运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确枚举指定区间内的全部整数，注意不要误将区间外的-5、3计入，计算时灵活运用加法运算律可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
8. 用简便方法计算：
$(-2.125)+(+3\dfrac{1}{5})+(+5\dfrac{1}{8})+(-3.2)$
$(-2.125)+(+3\dfrac{1}{5})+(+5\dfrac{1}{8})+(-3.2)$
答案
8. 解:原式$=[(-2.125)+(+5\dfrac{1}{8})]+[(+3\dfrac{1}{5})+(-3.2)]=3+0=3.$
解析
【分析】
解题时先观察算式中各数的特征：首先-2.125可转化为$-2\dfrac{1}{8}$，与$+5\dfrac{1}{8}$是同分母分数，相加可直接消去分数部分得到整数；其次$+3\dfrac{1}{5}$可转化为3.2，与-3.2互为相反数，相加得0。因此我们可以利用加法交换律和结合律，将这两组数分别结合优先计算，就能简化运算过程，避免逐次计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=[(-2.125)+(+5\dfrac{1}{8})]+[(+3\dfrac{1}{5})+(-3.2)]$
计算第一组：$-2.125=-2\dfrac{1}{8}$，因此$(-2\dfrac{1}{8})+5\dfrac{1}{8}=3$
计算第二组：$3\dfrac{1}{5}=3.2$，因此$3.2+(-3.2)=0$
求和得最终结果：$3+0=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
加法运算律，分数小数互化，相反数性质
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题，解题核心是先观察数字特征，优先将同分母的数、互为相反数的数利用运算律结合计算，能有效降低运算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察算式中各数的特征：首先-2.125可转化为$-2\dfrac{1}{8}$，与$+5\dfrac{1}{8}$是同分母分数，相加可直接消去分数部分得到整数；其次$+3\dfrac{1}{5}$可转化为3.2，与-3.2互为相反数，相加得0。因此我们可以利用加法交换律和结合律，将这两组数分别结合优先计算，就能简化运算过程，避免逐次计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=[(-2.125)+(+5\dfrac{1}{8})]+[(+3\dfrac{1}{5})+(-3.2)]$
计算第一组：$-2.125=-2\dfrac{1}{8}$，因此$(-2\dfrac{1}{8})+5\dfrac{1}{8}=3$
计算第二组：$3\dfrac{1}{5}=3.2$，因此$3.2+(-3.2)=0$
求和得最终结果：$3+0=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
加法运算律，分数小数互化，相反数性质
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题，解题核心是先观察数字特征，优先将同分母的数、互为相反数的数利用运算律结合计算，能有效降低运算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
9. 阅读下面的材料：
对于$(-3 \frac{3}{10})+(-1 \frac{1}{2})+2 \frac{3}{5}+2 \frac{1}{2}$可以如下计算：
计算：
原式$=[(-3)+(-\frac{3}{10})]+[(-1)+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+$
$=0+$
$=$
上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：$(-2026 \frac{2}{3})+2025 \frac{3}{4}+(-2024 \frac{5}{6})+2023 \frac{1}{7}$.
对于$(-3 \frac{3}{10})+(-1 \frac{1}{2})+2 \frac{3}{5}+2 \frac{1}{2}$可以如下计算：
计算：
原式$=[(-3)+(-\frac{3}{10})]+[(-1)+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+$
$[(-\dfrac{3}{10})+(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}]$
$=0+$
$\dfrac{3}{10}$
$=$
$\dfrac{3}{10}$
.上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：$(-2026 \frac{2}{3})+2025 \frac{3}{4}+(-2024 \frac{5}{6})+2023 \frac{1}{7}$.
答案
9. 解:(1)$[(-\dfrac{3}{10})+(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}]$ $\dfrac{3}{10}$ $\dfrac{3}{10}$
(2)$(-2026\dfrac{2}{3})+2025\dfrac{3}{4}+(-2024\dfrac{5}{6})+2023\dfrac{1}{7}$
$=[(-2026)+(-\dfrac{2}{3})]+(2025+\dfrac{3}{4})+[(-2024)+(-\dfrac{5}{6})]+(2023+\dfrac{1}{7})$
$=[(-2026)+2025+(-2024)+2023]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{7}]$
$=(-2)+(-\dfrac{17}{28})$
$=-2\dfrac{17}{28}.$
(2)$(-2026\dfrac{2}{3})+2025\dfrac{3}{4}+(-2024\dfrac{5}{6})+2023\dfrac{1}{7}$
$=[(-2026)+(-\dfrac{2}{3})]+(2025+\dfrac{3}{4})+[(-2024)+(-\dfrac{5}{6})]+(2023+\dfrac{1}{7})$
$=[(-2026)+2025+(-2024)+2023]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{7}]$
$=(-2)+(-\dfrac{17}{28})$
$=-2\dfrac{17}{28}.$
解析
【分析】
本题考查拆项法在有理数加法运算中的应用，解题思路如下：
（1）拆项法的核心是把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”，再利用加法交换律和结合律，将所有整数部分合并计算，所有分数部分合并计算，最后将两部分结果相加。第一问中已经写出整数部分的和，接下来只需写出分数部分的和即可；计算分数部分时，互为相反数的$-\frac{1}{2}$和$+\frac{1}{2}$可以先抵消，简化计算后得到分数部分的结果，最后与整数部分的和0相加即可得到最终结果。
（2）类比（1）的方法，先将每个带分数拆分为整数部分加分数部分，注意负带分数拆分后整数和分数均为负数；再分别计算整数部分的总和、分数部分的总和，最后将两部分相加得到最终结果，计算分数部分时注意通分正确，避免符号错误。
【解析】
(1) 根据拆项法的运算规则，将整数部分、分数部分分别结合：
原式$=[(-3)+(-\frac{3}{10})]+[(-1)+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+[(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}]$
计算分数部分：$(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=-\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{3}{10}$
因此原式$=0+\frac{3}{10}=\frac{3}{10}$。
(2) 利用拆项法计算：
$(-2026 \frac{2}{3})+2025 \frac{3}{4}+(-2024 \frac{5}{6})+2023 \frac{1}{7}$
$=[(-2026)+(-\frac{2}{3})]+(2025+\frac{3}{4})+[(-2024)+(-\frac{5}{6})]+(2023+\frac{1}{7})$
$=[(-2026)+2025+(-2024)+2023]+[(-\frac{2}{3})+\frac{3}{4}+(-\frac{5}{6})+\frac{1}{7}]$
先算整数部分：$(-2026+2025)+(-2024+2023)=(-1)+(-1)=-2$
再算分数部分：通分，分母最小公倍数为84
$-\frac{2}{3}=-\frac{56}{84}$，$\frac{3}{4}=\frac{63}{84}$，$-\frac{5}{6}=-\frac{70}{84}$，$\frac{1}{7}=\frac{12}{84}$
和为：$\frac{-56+63-70+12}{84}=\frac{-51}{84}=-\frac{17}{28}$
最后合并两部分：$-2+(-\frac{17}{28})=-2\frac{17}{28}$。
【答案】
(1) $[(-\dfrac{3}{10})+(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}]$；$\dfrac{3}{10}$；$\dfrac{3}{10}$
(2) $-2\dfrac{17}{28}$
【知识点】
有理数加法运算律；拆项法计算；有理数加减混合运算
【点评】
本题重点考查拆项法的灵活运用，通过将带分数拆分后分组计算，能大幅简化运算过程，解题时需注意负带分数拆分后的符号问题，分数运算时要正确通分，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
本题考查拆项法在有理数加法运算中的应用，解题思路如下：
（1）拆项法的核心是把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”，再利用加法交换律和结合律，将所有整数部分合并计算，所有分数部分合并计算，最后将两部分结果相加。第一问中已经写出整数部分的和，接下来只需写出分数部分的和即可；计算分数部分时，互为相反数的$-\frac{1}{2}$和$+\frac{1}{2}$可以先抵消，简化计算后得到分数部分的结果，最后与整数部分的和0相加即可得到最终结果。
（2）类比（1）的方法，先将每个带分数拆分为整数部分加分数部分，注意负带分数拆分后整数和分数均为负数；再分别计算整数部分的总和、分数部分的总和，最后将两部分相加得到最终结果，计算分数部分时注意通分正确，避免符号错误。
【解析】
(1) 根据拆项法的运算规则，将整数部分、分数部分分别结合：
原式$=[(-3)+(-\frac{3}{10})]+[(-1)+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+[(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}]$
计算分数部分：$(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=-\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{3}{10}$
因此原式$=0+\frac{3}{10}=\frac{3}{10}$。
(2) 利用拆项法计算：
$(-2026 \frac{2}{3})+2025 \frac{3}{4}+(-2024 \frac{5}{6})+2023 \frac{1}{7}$
$=[(-2026)+(-\frac{2}{3})]+(2025+\frac{3}{4})+[(-2024)+(-\frac{5}{6})]+(2023+\frac{1}{7})$
$=[(-2026)+2025+(-2024)+2023]+[(-\frac{2}{3})+\frac{3}{4}+(-\frac{5}{6})+\frac{1}{7}]$
先算整数部分：$(-2026+2025)+(-2024+2023)=(-1)+(-1)=-2$
再算分数部分：通分，分母最小公倍数为84
$-\frac{2}{3}=-\frac{56}{84}$，$\frac{3}{4}=\frac{63}{84}$，$-\frac{5}{6}=-\frac{70}{84}$，$\frac{1}{7}=\frac{12}{84}$
和为：$\frac{-56+63-70+12}{84}=\frac{-51}{84}=-\frac{17}{28}$
最后合并两部分：$-2+(-\frac{17}{28})=-2\frac{17}{28}$。
【答案】
(1) $[(-\dfrac{3}{10})+(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}]$；$\dfrac{3}{10}$；$\dfrac{3}{10}$
(2) $-2\dfrac{17}{28}$
【知识点】
有理数加法运算律；拆项法计算；有理数加减混合运算
【点评】
本题重点考查拆项法的灵活运用，通过将带分数拆分后分组计算，能大幅简化运算过程，解题时需注意负带分数拆分后的符号问题，分数运算时要正确通分，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
