1. 在代数式$-2,3m,x^3y^2,\frac{1}{3a},\frac{x-3y}{2}$中，单项式的个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

1. B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。判定时要注意两个核心要点：一是分母中不能含有字母，二是代数式中不能含有加减运算。接下来逐个对给出的5个代数式进行排查，统计符合条件的数量后对应选项即可。
【解析】
根据单项式的定义逐个分析：
1. $-2$是单独的常数，符合单项式定义，属于单项式；
2. $3m$是数字3与字母$m$的乘积，符合单项式定义，属于单项式；
3. $x^3y^2$是字母$x$、$y$的乘积，符合单项式定义，属于单项式；
4. $\frac{1}{3a}$的分母中含有字母$a$，是分式，不符合单项式定义，不属于单项式；
5. $\frac{x-3y}{2}$可变形为$\frac{x}{2}-\frac{3y}{2}$，含有减法运算，属于多项式，不符合单项式定义，不属于单项式。
综上，符合要求的单项式共有3个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 单项式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握单项式的判定规则，容易出错的点是误将分母含字母的代数式、含有加减运算的整式判定为单项式，学习中要注意区分单项式、多项式和分式的差异。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法错误的是 （）

A.数字1的次数是0
B.$-\dfrac{3ab}{5}$的系数是$-\dfrac{1}{5}$
C.单项式$x$的系数与次数都是1
D.$\dfrac{1}{2}xy$是二次单项式

2. B

【分析】
本题考查单项式的系数与次数的相关概念，解题时需先明确核心定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，单独的数字是常数单项式，次数为0；接下来逐个分析四个选项的说法，找出错误的选项即可。
【解析】
我们依次判断每个选项：
A. 数字1是常数单项式，所有常数项的次数都是0，该说法正确，不符合题意；
B. 单项式$-\dfrac{3ab}{5}$的数字因数是$-\dfrac{3}{5}$，即它的系数是$-\dfrac{3}{5}$，不是$-\dfrac{1}{5}$，该说法错误，符合题意；
C. 单项式$x$可以看作$1· x$，数字因数是1，字母$x$的指数是1，所以它的系数和次数都是1，该说法正确，不符合题意；
D. 单项式$\dfrac{1}{2}xy$中，$x$的指数为1，$y$的指数为1，所有字母指数和为$1+1=2$，所以它是二次单项式，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握单项式系数和次数的定义，注意系数要包含前面的符号，不要遗漏负号，同时要牢记常数项、单个字母的系数和次数的特殊规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

3. 如果单项式$2x^n y z^2$的次数是8，那么$n$的值是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

3. D

【分析】
解题首先要明确单项式次数的定义：单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。我们需要先找出这个单项式里所有字母的指数，注意单独出现的字母（如本题中的y）的指数是1，不要遗漏，再根据总次数为8列等式计算n的值即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式的次数为所有字母的指数和。
在单项式$2x^n y z^2$中，x的指数为$n$，y的指数为1，z的指数为2，已知该单项式的次数是8，因此可列等式：
$n + 1 + 2 = 8$
计算得：$n + 3 = 8$，解得$n = 5$。
【答案】
D
【知识点】
单项式的次数定义；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略单个字母的指数为1，只要牢固掌握单项式次数的相关概念，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

4.（教材习题4.1T2变式）写出一个系数是－3，次数是4的单项式：。

4. $-3x^4$（答案不唯一）

【分析】
要写出符合要求的单项式，首先回忆单项式系数和次数的定义：单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。解题时先确定数字部分：题目要求系数为-3，所以数字因数必须是-3；再确定字母部分：只要所有字母的指数相加等于4即可，可选择单个或多个字母组合，比如选单个字母x，令x的指数为4，就能得到符合要求的单项式。
【解析】
根据单项式系数和次数的定义：
1. 确定数字因数：要求系数为-3，所以单项式的数字部分为-3；
2. 确定字母及指数：要求次数为4，即所有字母的指数和为4，若选取单个字母x，令x的指数为4，组合可得单项式$-3x^4$。也可选取多个字母，如$-3a^2b^2$、$-3xy^3$等，均满足要求。
【答案】
$-3x^4$（答案不唯一）
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对单项式系数、次数定义的掌握，只要明确两个概念的含义，就能快速写出符合要求的结果，注意答案不唯一，满足系数为-3、次数为4两个条件即可。
【难度系数】
0.9

5.（教材练习T1变式）填表：

| 单项式 | $-\frac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\frac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ | $\frac{4}{3}π$ | $-4$ | $-1$ |
| 次数 | 6 | 2 | 3 | 8 | 1 |

【分析】
要解决本题，首先需要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含前面的符号；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，注意π是常数，不算作字母，单独字母的指数为1，不要漏记。解题时逐个分析每个单项式：先提取数字部分确定系数，再将所有字母的指数相加得到次数，注意避开易错点：如计算$-2^2$时不要把数字的指数计入字母次数，不要把π当成字母计算指数。
【解析】
我们逐个计算每个单项式的系数和次数：
1. 单项式$-\frac{3a^2b^3c}{2}$：
数字因数为$-\frac{3}{2}$，即系数为$-\frac{3}{2}$；
字母指数和为$2+3+1=6$，即次数为6。
2. 单项式$-3ab$：
数字因数为$-3$，即系数为$-3$；
字母指数和为$1+1=2$，即次数为2。
3. 单项式$\frac{4}{3}π r^3$：
π是常数，数字因数为$\frac{4}{3}π$，即系数为$\frac{4}{3}π$；
字母r的指数为3，即次数为3。
4. 单项式$-2^2a^3b^5$：
先计算数字部分：$-2^2=-4$，即系数为$-4$；
字母指数和为$3+5=8$，即次数为8。
5. 单项式$-x$：
数字因数为$-1$，即系数为$-1$；
字母x的指数为1，即次数为1。
【答案】
| 单项式 | $-\frac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\frac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-\frac{3}{2}$ | $-3$ | $\frac{4}{3}π$ | $-4$ | $-1$ |
| 次数 | 6 | 2 | 3 | 8 | 1 |
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对单项式系数和次数定义的理解，易错点主要有三处：一是误将π当作字母计算次数，二是忽略指数为1的字母，三是计算带乘方的数字因数时出错，牢记定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8

6.（教材习题4.1T5变式）一批计算机的进价为$m$元/台，涨价$30\%$后出售，则售价为（）

A.$\frac{3}{10}m$元/台
B.$0.7m$元/台
C.$1.3m$元/台
D.$\frac{10}{3}m$元/台

6. C

【分析】
解题时首先明确单位“1”是每台计算机的进价m元，涨价30%的含义是售价比进价多了进价的30%，因此售价等于进价乘以（1+涨价的百分比），我们只需要代入数据计算，再对应选项匹配结果即可。
【解析】
已知每台计算机的进价为m元，涨价30%后，售价为进价的(1+30%)，
则售价 = $m×(1+30\%)=m×1.3=1.3m$（元/台），
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；百分数的应用
【点评】
本题属于基础类题目，核心是明确增长率类问题中单位“1”的量，理清售价和进价的数量关系，掌握这类计算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

7.（教材例1变式）用单项式填空.
（1）学校购买了一批图书，共a箱，每箱有b册，将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书有册；
（2）一个直角三角形的一条直角边长为x cm，另一条直角边长为9 cm，则该直角三角形的面积为cm²；
（3）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3：2，有五种通用尺度（尺寸规格）.若一种尺度的国旗的高为b cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为cm²；
（4）新能源汽车具有低能耗、低碳等特点，市场认可度持续提升.某品牌新能源汽车为了进一步提高市场占有率，将原价为a万元/辆的汽车按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆，那么这周的销售额为万元；
（5）有一个圆柱形蓄水池，底面半径为r cm，高为h cm，则这个蓄水池最多可蓄水cm³.

7. (1) $\frac{1}{2}ab$ (2) $\frac{9}{2}x$ (3) $\frac{3}{2}b^2$ (4) $0.9ab$ (5) $π r^2 h$

【分析】
这几道题均考查用单项式表示实际问题中的数量关系，解题思路为：先明确每一问对应的基本数量关系或几何公式，再将题中给出的字母代入关系/公式中，最后整理为规范的单项式形式即可。具体各小问思考路径：（1）先算图书总册数=箱数×每箱册数，再取总册数的一半；（2）直接套用直角三角形面积公式代入计算；（3）先根据长宽比求出国旗的长，再用长方形面积公式计算；（4）先算打折后的单价，再用销售额=单价×销量计算；（5）直接套用圆柱体积公式计算。
【解析】
（1）首先计算图书总册数为$a × b = ab$册，捐出一半即总册数乘$\frac{1}{2}$，因此捐给社区的图书有$\frac{1}{2}ab$册；
（2）直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2} × 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2$，代入两条直角边长度$x$和9，得面积为$\frac{1}{2} × x ×9 = \frac{9}{2}x$ $cm^2$；
（3）已知国旗长与高之比为3:2，高为$b$ $cm$，则长为$\frac{3}{2}b$ $cm$，长方形面积=长×宽，因此面积为$\frac{3}{2}b × b = \frac{3}{2}b^2$ $cm^2$；
（4）九折后的单价为原价×0.9，即$0.9a$万元/辆，销售额=单价×销售量，因此这周销售额为$0.9a × b = 0.9ab$万元；
（5）圆柱体积公式为$V=底面积 × 高$，底面积为$π r^2$，因此蓄水池蓄水量为$π r^2 × h = π r^2 h$ $cm^3$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}ab$ (2) $\frac{9}{2}x$ (3) $\frac{3}{2}b^2$ (4) $0.9ab$ (5) $π r^2 h$
【知识点】
列单项式，常见数量关系，几何公式应用
【点评】
本题结合生活实际与基础几何场景，考查用单项式准确表示数量的能力，解题的关键是熟练掌握常见的数量关系和几何公式，同时注意单项式的书写规范。
【难度系数】
0.85

8. 单项式 $5× 10^{2}a^{5}b^{3}$ 的次数是 .

8. 8

【分析】
要解决这道题，首先要回忆单项式次数的定义：单项式的次数只和所含字母的指数有关，和数字系数的指数没有关系。解题时第一步先找出单项式里包含的所有字母，第二步分别确定每个字母的指数，第三步把所有字母的指数相加，就能得到单项式的次数，注意不要把系数中10的指数算进去，因为10是数字，不属于字母。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
在单项式$5×10^2a^5b^3$中，所含的字母为a和b，其中a的指数是5，b的指数是3，$5×10^2$是单项式的数字系数，10属于数字，它的指数2不计入单项式的次数。
因此该单项式的次数为$5+3=8$。
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记单项式次数的计算规则，仅统计所有字母的指数和，避免误将数字因数的指数计入次数。
【难度系数】
0.8

9. 若单项式$-\dfrac{5}{8}a^2b^m$与$-\dfrac{11}{7}x^3y^4$的次数相同，则$m^2+2m$的值为。

9. 35

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。解题思路分为三步：第一步，先计算出已知单项式$-\dfrac{11}{7}x^3y^4$的次数；第二步，根据两个单项式次数相同的条件，列出关于$m$的等式，求出$m$的值；第三步，将$m$的值代入代数式$m^2+2m$计算出最终结果。
【解析】
1. 计算单项式$-\dfrac{11}{7}x^3y^4$的次数：
该单项式中$x$的指数是3，$y$的指数是4，所以次数为$3+4=7$。
2. 根据两个单项式次数相同求$m$的值：
单项式$-\dfrac{5}{8}a^2b^m$的次数为所有字母指数之和，即$2+m$。
由题意得$2+m=7$，解得$m=7-2=5$。
3. 代入计算代数式的值：
把$m=5$代入$m^2+2m$，可得：
$5^2 + 2×5 = 25 + 10 = 35$。
【答案】
35
【知识点】
1. 单项式的次数
2. 一元一次方程求解
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对单项式次数概念的掌握，解题时注意不要将单项式的系数纳入次数的计算范围，只要准确理解次数的定义，按步骤列式计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

10. 已知$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，则$m$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。

10. -3

【分析】
解题时首先回忆单项式次数的定义：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，据此可列出关于m的方程；其次要注意单项式的系数不能为0，否则原式等于0，就不是五次单项式了，据此排除不符合条件的m值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x,y$的五次单项式
∴ 第一步，根据单项式次数的定义列方程：
x的指数为1，y的指数为$|m|+1$，总次数为5，因此：
$1 + |m| + 1 = 5$
化简得$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$
第二步，根据单项式系数不为0的要求列不等式：
$m-3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$
综上，排除$m=3$，得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
单项式的次数；单项式的系数；绝对值的运算
【点评】
本题是基础易错题，重点考查单项式相关概念的实际应用，易错点是容易忽略系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm3$的错误结论，解题时要注意全面考虑约束条件。
【难度系数】
0.6

11. 观察下列三行有规律的单项式.
ab, -ab², -a²b, ab³, a²b², a³b, -ab⁴, -a²b³,…;
2ab, -3ab², -3a²b, 4ab³, 4a²b², 4a³b, -5ab⁴, -5a²b³,…;
4ab, -8ab², -8a²b, 16ab³, 16a²b², 16a³b, -32ab⁴, -32a²b³,….
根据其规律,第一行第9个单项式为 ,
第二行第9个单项式为 ,第三行第
9个单项式为 .

11. $-a^3b^2$ $-5a^3b^2$ $-32a^3b^2$

【分析】解题时我们分维度找规律：①先确定字母次数规律：观察可知，每行中a的次数与b的次数之和为n时，对应有(n-1)个单项式，a的次数从1依次增加到n-1，b的次数从n-1依次减少到1。先累计前几组的总个数：次数和为2共1个，和为3共2个，和为4共3个，累计1+2+3=6个，因此第7~10个单项式的次数和都为5，第9个是次数和为5的第3个，对应a的次数为3，b的次数为5-3=2。②再看符号规律：三行的符号规则一致，次数和为偶数时符号为正，次数和为奇数时符号为负，次数和5是奇数，因此符号为负。③最后看系数规律：第一行系数恒为1；第二行系数的绝对值等于次数和n；第三行系数的绝对值等于2的n次方（n为次数和）。
【解析】
1. 确定字母部分：
次数和为2的项数：1个，累计1个；
次数和为3的项数：2个，累计1+2=3个；
次数和为4的项数：3个，累计3+3=6个；
因此第7~10个单项式的次数和均为5，第9个是次数和为5的第3项，a的次数为3，b的次数为$5-3=2$，即字母部分为$a^3b^2$。
2. 第一行第9个单项式：
第一行系数为1，次数和5为奇数，符号为负，因此为$-a^3b^2$。
3. 第二行第9个单项式：
第二行系数绝对值等于次数和5，符号与第一行一致为负，因此为$-5a^3b^2$。
4. 第三行第9个单项式：
第三行系数绝对值为$2^5=32$，符号与第一行一致为负，因此为$-32a^3b^2$。
【答案】$-a^3b^2$；$-5a^3b^2$；$-32a^3b^2$
【知识点】单项式的定义；规律型：数字的变化类
【点评】本题属于规律探索类题目，解题核心是将单项式拆分为符号、系数、字母次数三个部分分别找规律，再整合得到结果，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】0.65