1. 下列代数式：$\frac{1}{2}ab$，$\frac{a+b}{2}$，$ab + b^2 + 1$，$\frac{2}{a} + 3b - 5$中，多项式有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. B

【分析】
解题前首先要明确多项式的判定标准：首先代数式必须是整式（分母不含字母），其次是几个单项式的和的形式。解题时逐个判断给出的4个代数式是否符合多项式的判定条件，统计符合条件的个数即可得出答案。
【解析】
首先明确相关概念：几个单项式的和叫做多项式，且整式的分母不含有字母（分母含字母的代数式属于分式，不属于整式，因此不可能是多项式）。
对4个代数式逐个判断：
1. $\frac{1}{2}ab$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $ab + b^2 + 1$：是$ab$、$b^2$、$1$三个单项式的和，属于多项式；
4. $\frac{2}{a} + 3b - 5$：分母含有字母$a$，属于分式，不是整式，因此不是多项式。
综上，符合条件的多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式的定义
2. 整式的判定
【点评】
本题考查整式相关概念的区分，解题核心是明确单项式、多项式、整式与分式的差异，需特别注意分母含字母的代数式不属于整式，也不可能是多项式，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.7

2. 下列关于多项式$4x^2y -5xy -1$的说法中，正确的是（）

A.是二次三项式
B.最高次项的系数是$-5$
C.常数项是$-1$
D.二次项是$5xy$

2. C

【分析】
解决这类问题需要先掌握多项式的核心概念：1.多项式的项：组成多项式的每个单项式就是多项式的项，注意项要包含前面的符号；2.多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数；3.常数项：多项式中不含字母的项；4.项的系数：对应项的数字因数（要带符号）。我们可以先拆分给定多项式的所有项，算出每项的次数，再逐一判断每个选项是否正确。
【解析】
多项式$4x^2y -5xy -1$的各项分别为$4x^2y$、$-5xy$、$-1$，计算各项特征如下：
1. 项$4x^2y$：$x$的指数为2，$y$的指数为1，总次数为$2+1=3$，是最高次项，系数为4；
2. 项$-5xy$：$x$的指数为1，$y$的指数为1，总次数为$1+1=2$，是二次项，系数为$-5$；
3. 项$-1$：不含字母，为常数项。
逐一判断选项：
A选项：该多项式最高次为3次，是三次三项式，不是二次三项式，A错误；
B选项：最高次项的系数是4，不是$-5$，B错误；
C选项：常数项是$-1$，C正确；
D选项：二次项是$-5xy$，选项漏掉负号，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，常数项
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题时需注意判断多项式的项时要包含前面的符号，计算项的次数时是该项所有字母的指数之和，避免漏看字母或符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8

3. (2025 巴音郭楞州期末) 若关于x的多项式 $x^{m+3} -8x^2 +x$ 的次数是5，则m的值为。

3. 2

【分析】
首先回忆多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。已知该多项式的次数是5，先梳理多项式的所有项，分别确定每一项的次数：第一项$x^{m+3}$的次数是$m+3$，第二项$-8x^2$的次数是2，第三项$x$的次数是1。对比可知要让多项式总次数为5，只能是最高次项$x^{m+3}$的次数等于5，据此列出等式求解m的值即可。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。
该多项式的三项分别为$x^{m+3}$、$-8x^2$、$x$，对应的次数依次为$m+3$、2、1。
已知多项式的次数是5，因此最高次项的次数为5，可得：
$m+3=5$
解得：$m=5-3=2$
【答案】
2
【知识点】
多项式的次数；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多项式次数概念的理解，解题关键是明确多项式次数由最高次项的次数决定，找到对应最高次项列等式即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.85

知识点2 整式的概念
4. 下列代数式：$-\dfrac{1}{2}mn$，$m$，$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{b}{a}$，$2m+1$，$\dfrac{x-y}{5}$，$\dfrac{2x+y}{x-y}$，$x^2 + 2x + \dfrac{2}{3}$，$y^3 -5y + \dfrac{3}{y}$中，整式有个。

4. 6

【分析】
要判断给定代数式中有多少个整式，首先明确整式的判定规则：整式是单项式与多项式的统称，其中单项式是数或字母的乘积，单独的数、单独的字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和；核心判定要点是：代数式的分母中含有字母的，不属于整式。解题时只需按照上述规则逐个判断每个代数式是否为整式，最后统计个数即可。
【解析】
我们逐个分析每个代数式：
1. $-\dfrac{1}{2}mn$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
2. $m$：是单独的字母，属于单项式，是整式；
3. $\dfrac{1}{2}$：是单独的数，属于单项式，是整式；
4. $\dfrac{b}{a}$：分母含有字母$a$，不属于整式；
5. $2m+1$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
6. $\dfrac{x-y}{5}$：可变形为$\dfrac{1}{5}x-\dfrac{1}{5}y$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
7. $\dfrac{2x+y}{x-y}$：分母含有字母$x、y$，不属于整式；
8. $x^2 + 2x + \dfrac{2}{3}$：是三个单项式的和，属于多项式，是整式；
9. $y^3 -5y + \dfrac{3}{y}$：最后一项分母含有字母$y$，不属于整式。
统计得整式共有6个。
【答案】
6
【知识点】
整式的概念；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是准确掌握整式的判定特征，注意区分整式与分式（分母含字母的代数式为分式），逐个排查即可得出正确结果，做题时要注意避免漏看分母含字母的情况。
【难度系数】
0.8

知识点3 用多项式表示数量关系
5.（教材例2变式）填空：
(1)弟弟比哥哥小3岁，当哥哥x岁时，弟弟的年龄是岁，该多项式的项为，次数为；
(2)a的3倍与b的平方的2倍的和为，该多项式的项为，次数为；
(3)中阴影部分的面积是 m²，该多项式的项为，次数为；
(4)一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可以表示为，该多项式的项为，次数为.

5. (1)$(x-3)$ $x,-3$ 1 (2)$3a+2b^2$ $3a,2b^2$ 2 (3)$(x^2+3x+6)$ $x^2,3x,6$ 2 (4)$10a+b$ $10a,b$ 1

【分析】
解题时先根据题目给出的数量关系列出对应代数式，再结合多项式的相关定义求解：多项式的项是组成多项式的每一个单项式（注意带符号），多项式的次数是多项式里次数最高项的次数。
(1) 弟弟年龄=哥哥年龄-年龄差，代入x即可得到弟弟年龄的代数式，再分析项和次数；
(2) 分别计算a的3倍、b平方的2倍，求和得到代数式，再分析项和次数；
(3) 将阴影部分拆分为三个规则图形，分别计算面积求和得到代数式，再分析项和次数；
(4) 两位数=十位数字×10+个位数字，代入a、b得到代数式，再分析项和次数。
【解析】
(1) 弟弟比哥哥小3岁，哥哥x岁时，弟弟年龄为$(x-3)$岁；
多项式$x-3$的项为$x$、$-3$，最高次项是$x$，次数为1。
(2) a的3倍为$3a$，b的平方的2倍为$2b^2$，两者的和为$3a+2b^2$；
多项式$3a+2b^2$的项为$3a$、$2b^2$，最高次项是$2b^2$，次数为2。
(3) 阴影部分由三部分组成：
① 左上角边长为$x$的正方形面积：$x· x=x^2$；
② 右上角长为3、宽为$x$的长方形面积：$3× x=3x$；
③ 右下角长为3、宽为2的长方形面积：$3×2=6$；
总面积为$x^2+3x+6$（$\mathrm{m}^2$）；
多项式$x^2+3x+6$的项为$x^2$、$3x$、$6$，最高次项是$x^2$，次数为2。
(4) 两位数十位数字为$a$，代表$10a$，个位数字为$b$代表$b$，故两位数表示为$10a+b$；
多项式$10a+b$的项为$10a$、$b$，最高次项次数为1，故多项式次数为1。
【答案】
(1)$(x-3)$ $x,-3$ 1 (2)$3a+2b^2$ $3a,2b^2$ 2 (3)$(x^2+3x+6)$ $x^2,3x,6$ 2 (4)$10a+b$ $10a,b$ 1
【知识点】
列代数式，多项式的项，多项式的次数
【点评】
本题侧重基础，既考察了不同情境下数量关系的梳理和代数式的书写，又考察了多项式相关核心概念的理解，掌握基本定义、理清数量关系即可正确作答。
【难度系数】
0.8