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6. 一个花坛的形状如图 30-G-2 所示,它的两端是半径相等的半圆.
求:(1)花坛的周长 $L$ ;
(2)花坛的面积 $S$.
图 30-G-2
求:(1)花坛的周长 $L$ ;
(2)花坛的面积 $S$.
图 30-G-2
答案
解:(1)$L=2a+2π r$。
(2)花坛的面积是一个长方形的面积与两个半圆的面积的和，即$S=2ar+π r^2$。
(2)花坛的面积是一个长方形的面积与两个半圆的面积的和，即$S=2ar+π r^2$。
解析
【分析】
解题时先观察花坛的组合结构：两端是半径相等的半圆，中间是长方形。
(1)求周长时，先明确周长是花坛外围的总长度：两个半圆的弧长拼接后刚好是1个完整圆的周长，再加上中间长方形的两条长为a的边，即可得到总周长。
(2)求面积时，用割补法把两个半圆拼成1个完整的圆，花坛总面积就是中间长方形的面积加上这个整圆的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
【解析】
(1) 两个半径为r的半圆的弧长之和等于半径为r的整圆的周长，即$2π r$；
中间直道部分是两条长度为a的线段，总长度为$2a$；
因此花坛的周长$L=2a + 2π r$。
(2) 两个半径为r的半圆可拼接成一个半径为r的整圆，其面积为$π r^2$；
中间长方形的长为a，宽等于半圆的直径$2r$，因此长方形面积为$a×2r=2ar$；
因此花坛的面积$S=2ar + π r^2$。
【答案】
(1)$L=2a+2π r$
(2)$S=2ar+π r^2$
【知识点】
列代数式，圆的周长与面积，组合图形计算
【点评】
本题考查组合图形的周长和面积计算，解题的核心是利用割补法将两个半圆转化为整圆简化计算，注意计算周长时不要额外添加两个半圆的直径部分，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
解题时先观察花坛的组合结构：两端是半径相等的半圆，中间是长方形。
(1)求周长时，先明确周长是花坛外围的总长度：两个半圆的弧长拼接后刚好是1个完整圆的周长，再加上中间长方形的两条长为a的边，即可得到总周长。
(2)求面积时，用割补法把两个半圆拼成1个完整的圆，花坛总面积就是中间长方形的面积加上这个整圆的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
【解析】
(1) 两个半径为r的半圆的弧长之和等于半径为r的整圆的周长，即$2π r$；
中间直道部分是两条长度为a的线段，总长度为$2a$；
因此花坛的周长$L=2a + 2π r$。
(2) 两个半径为r的半圆可拼接成一个半径为r的整圆，其面积为$π r^2$；
中间长方形的长为a，宽等于半圆的直径$2r$，因此长方形面积为$a×2r=2ar$；
因此花坛的面积$S=2ar + π r^2$。
【答案】
(1)$L=2a+2π r$
(2)$S=2ar+π r^2$
【知识点】
列代数式，圆的周长与面积，组合图形计算
【点评】
本题考查组合图形的周长和面积计算，解题的核心是利用割补法将两个半圆转化为整圆简化计算，注意计算周长时不要额外添加两个半圆的直径部分，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
7. 如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数 （
A.都小于5
B.都等于5
C.都不小于5
D.都不大于5
D
）A.都小于5
B.都等于5
C.都不小于5
D.都不大于5
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。已知这个多项式是五次多项式，说明它的最高次项的次数为5，其余项的次数可以小于5，也可以等于5，但绝对不能大于5，否则多项式的次数就会高于5，不符合“五次多项式”的条件。接下来逐一对应选项判断即可。
【解析】
首先明确多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
因为该多项式是五次多项式，因此它的最高次项的次数为5，其余任意一项的次数都≤5，即任何一项的次数都不大于5。
对选项逐一判断：
A. 存在次数等于5的最高次项，因此“都小于5”错误；
B. 除最高次项外，其余项的次数可以小于5，因此“都等于5”错误；
C. “都不小于5”意思是所有项次数≥5，不符合定义，错误；
D. “都不大于5”即所有项次数≤5，符合定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解多项式次数的定义，注意区分“多项式的次数”和“单个项的次数”的关系，只要熟记相关概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。已知这个多项式是五次多项式，说明它的最高次项的次数为5，其余项的次数可以小于5，也可以等于5，但绝对不能大于5，否则多项式的次数就会高于5，不符合“五次多项式”的条件。接下来逐一对应选项判断即可。
【解析】
首先明确多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
因为该多项式是五次多项式，因此它的最高次项的次数为5，其余任意一项的次数都≤5，即任何一项的次数都不大于5。
对选项逐一判断：
A. 存在次数等于5的最高次项，因此“都小于5”错误；
B. 除最高次项外，其余项的次数可以小于5，因此“都等于5”错误；
C. “都不小于5”意思是所有项次数≥5，不符合定义，错误；
D. “都不大于5”即所有项次数≤5，符合定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解多项式次数的定义，注意区分“多项式的次数”和“单个项的次数”的关系，只要熟记相关概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
8.（教材习题4.1T7变式）某排球比赛的积分规则为:比赛中以3-0(胜3局负0局)或者3-1取胜的球队积3分,负队积0分;比赛中以3-2取胜的球队积2分,负队积1分.若$n$($n$是正整数,$n＞1$)支排球队进行单循环比赛(参赛的每两个队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分的和为
$\frac{3n(n-1)}{2}$
分.(用含$n$的代数式表示)答案
8. $\frac{3n(n-1)}{2}$
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步先计算n支球队单循环比赛的总场次，单循环比赛中每两队之间只赛1场，总场次可类比握手问题计算；第二步分析每场比赛产生的总积分，分别计算两种赛果下两队的积分和，会发现无论哪种赛果，每场的总积分都是固定值，最后用总场次乘每场的总积分即可得到所有球队的积分总和。
【解析】
1. 计算单循环比赛的总场数：
n支球队参赛，每支球队需要和其余$(n-1)$支球队各赛1场，由于每场比赛涉及2支球队，因此总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
2. 计算每场比赛的总积分：
若比赛以3-0或3-1结束，胜队积3分、负队积0分，两队总积分为$3+0=3$分；
若比赛以3-2结束，胜队积2分、负队积1分，两队总积分为$2+1=3$分。
由此可得，每场比赛无论赛果如何，产生的总积分均为3分。
3. 计算所有球队的总积分：
总积分 = 总场数 × 每场总积分，即$3×\frac{n(n-1)}{2}=\frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
1. 单循环场次计算
2. 列代数式
【点评】
本题的解题突破口是发现不同赛果下每场比赛的总积分恒为3，无需分类讨论所有比赛的赛况即可快速计算总积分，同时要熟练掌握单循环赛制的场次计算方法，避免算总场次时重复计数。
【难度系数】
0.7
解题时可以分两步思考：第一步先计算n支球队单循环比赛的总场次，单循环比赛中每两队之间只赛1场，总场次可类比握手问题计算；第二步分析每场比赛产生的总积分，分别计算两种赛果下两队的积分和，会发现无论哪种赛果，每场的总积分都是固定值，最后用总场次乘每场的总积分即可得到所有球队的积分总和。
【解析】
1. 计算单循环比赛的总场数：
n支球队参赛，每支球队需要和其余$(n-1)$支球队各赛1场，由于每场比赛涉及2支球队，因此总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
2. 计算每场比赛的总积分：
若比赛以3-0或3-1结束，胜队积3分、负队积0分，两队总积分为$3+0=3$分；
若比赛以3-2结束，胜队积2分、负队积1分，两队总积分为$2+1=3$分。
由此可得，每场比赛无论赛果如何，产生的总积分均为3分。
3. 计算所有球队的总积分：
总积分 = 总场数 × 每场总积分，即$3×\frac{n(n-1)}{2}=\frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
1. 单循环场次计算
2. 列代数式
【点评】
本题的解题突破口是发现不同赛果下每场比赛的总积分恒为3，无需分类讨论所有比赛的赛况即可快速计算总积分，同时要熟练掌握单循环赛制的场次计算方法，避免算总场次时重复计数。
【难度系数】
0.7
9. 试写出同时满足下列条件的多项式：
①该多项式中只含有字母$a$；
②该多项式的常数项的倒数等于它本身；
③该多项式是二次三项式；
④该多项式中各项（常数项除外）的系数均为－3。
①该多项式中只含有字母$a$；
②该多项式的常数项的倒数等于它本身；
③该多项式是二次三项式；
④该多项式中各项（常数项除外）的系数均为－3。
答案
$-3a^2-3a+1$ 或 $-3a^2-3a-1$
解析
【分析】
我们可以通过逐一匹配题干给出的4个条件，逐步确定多项式的各个组成部分：1. 先根据“只含字母a”确定多项式没有其他字母；2. 再由“常数项的倒数等于它本身”确定常数项的可能取值；3. 结合“二次三项式”的要求，明确多项式需要包含二次项、一次项、常数项共3项，最高次数为2；4. 最后根据“除常数项外各项系数为-3”确定二次项和一次项的具体形式，组合后即可得到符合要求的多项式。
【解析】
解：我们根据条件逐一分析：
1. 由条件①可知：该多项式的所有项只能含有字母a，无其他字母；
2. 由条件②可知：倒数等于它本身的数是1和-1，因此该多项式的常数项为1或-1；
3. 由条件③可知：该多项式是二次三项式，说明最高次项的次数为2，且总共有3项，因此必须包含二次项、一次项、常数项三类项，不能缺项；
4. 由条件④可知：除常数项外，其余项的系数均为-3，因此二次项为$-3a^2$，一次项为$-3a$；
将二次项、一次项和常数项组合，即可得到符合要求的多项式。
【答案】
$-3a^2-3a+1$ 或 $-3a^2-3a-1$
【知识点】
多项式的项与次数，倒数的性质，单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是逐一对应题干给出的所有条件构造多项式，需要注意不要遗漏常数项为-1的情况，同时要满足二次三项式的项数要求，避免出现缺项、次数不符的错误。
【难度系数】
0.7
我们可以通过逐一匹配题干给出的4个条件，逐步确定多项式的各个组成部分：1. 先根据“只含字母a”确定多项式没有其他字母；2. 再由“常数项的倒数等于它本身”确定常数项的可能取值；3. 结合“二次三项式”的要求，明确多项式需要包含二次项、一次项、常数项共3项，最高次数为2；4. 最后根据“除常数项外各项系数为-3”确定二次项和一次项的具体形式，组合后即可得到符合要求的多项式。
【解析】
解：我们根据条件逐一分析：
1. 由条件①可知：该多项式的所有项只能含有字母a，无其他字母；
2. 由条件②可知：倒数等于它本身的数是1和-1，因此该多项式的常数项为1或-1；
3. 由条件③可知：该多项式是二次三项式，说明最高次项的次数为2，且总共有3项，因此必须包含二次项、一次项、常数项三类项，不能缺项；
4. 由条件④可知：除常数项外，其余项的系数均为-3，因此二次项为$-3a^2$，一次项为$-3a$；
将二次项、一次项和常数项组合，即可得到符合要求的多项式。
【答案】
$-3a^2-3a+1$ 或 $-3a^2-3a-1$
【知识点】
多项式的项与次数，倒数的性质，单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是逐一对应题干给出的所有条件构造多项式，需要注意不要遗漏常数项为-1的情况，同时要满足二次三项式的项数要求，避免出现缺项、次数不符的错误。
【难度系数】
0.7
