7. (2024·滨州)一副三角尺按如图①所示的方式摆放,把三角尺AOB绕公共顶点顺时针旋转至图②的位置,即$AB// OD$时,$∠ 1$的度数为________.


第7题
第8题

$75^{\circ}$

8. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,∠ B=60°,BC=2$. 将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转得到 $△ A'B'C$,连接 $AB'$. 如果点 $A,B',A'$ 在同一条直线上,那么 $AA'$ 的长为$\underline{\hspace{5em}}$.

$6$

9. 如图，O是等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OA，OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．

（1）证明：因为$\triangle BOC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ADC，$ 所以$\triangle BOC\cong\triangle ADC，$$\angle OCD = 60^{\circ}。$ 所以$OC = DC。$ 所以$\triangle COD$是等边三角形。 （2）解:$\triangle AOD$是等腰直角三角形。 理由：因为$\triangle COD$是等边三角形，所以$\angle COD=\angle ODC = 60^{\circ}。$ 因为$\triangle BOC\cong\triangle ADC，$所以$\angle BOC = \angle ADC = 150^{\circ}。$ 所以$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC = 150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}。$ 因为$\angle AOD=\angle AOC-\angle COD = 105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}，$所以$\angle OAD = 45^{\circ}。$ 所以$\angle OAD=\angle AOD。$ 所以$OD = AD。$ 所以$\triangle AOD$是等腰直角三角形。

10. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 是对角线 BD 上的两点,且∠EAF=45°.将△ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°得到△ABQ,连接 EQ.求证:
(1) EA 是∠QED 的平分线;
(2) $EF^2 = BE^2 + DF^2$.

第10题

证明： （1）因为在正方形$ABCD$中，点$E，$$F$在对角线$BD$上， 所以$\angle ADF = 45^{\circ}，$$\angle BAD = 90^{\circ}。$ 因为$\triangle ADF$绕点$A$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABQ，$ 所以$\angle QAB=\angle FAD，$$BQ = DF，$$AQ = AF，$$\angle ABQ=\angle ADF = 45^{\circ}。$ 所以$\angle QAF=\angle QAB+\angle BAF=\angle FAD+\angle BAF=\angle BAD = 90^{\circ}。$ 因为$\angle EAF = 45^{\circ}，$所以$\angle EAQ = 45^{\circ}。$ 所以$\angle EAQ=\angle EAF。$ 在$\triangle AQE$和$\triangle AFE$中， $\begin{cases}AQ = AF\\\angle EAQ=\angle EAF\\AE = AE\end{cases}，$所以$\triangle AQE\cong\triangle AFE。$ 所以$\angle AEQ=\angle AEF。$ 所以$EA$是$\angle QED$的平分线。 （2）由（1），得$\triangle AQE\cong\triangle AFE，$所以$EQ = EF。$ 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ABD = 45^{\circ}。$ 又因为$\angle ABQ = 45^{\circ}，$所以$\angle QBE = 90^{\circ}。$ 所以在$Rt\triangle QBE$中，$EQ^{2}=BE^{2}+BQ^{2}。$ 又因为$BQ = DF，$所以$EF^{2}=BE^{2}+DF^{2}。$