1. 如图,将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转,使点$A$落在$AC$边上点$A'$处,此时,点$C$的对应点$C'$正好落在$AB$边的延长线上,下列结论错误的是 （ ）
A. $∠ ABA'=∠ CBC'$
B. $∠ ABC=2∠ A$
C. $∠ A'BC=∠ A'CB$
D. $A'B$平分$∠ AA'C'$

第1题

第2题

第3题

第4题

C

2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$BC=1$,$AB=2$,将$△ ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ AB'C'$,连接$CC'$,则$CC'$的长为 （ ）
A. $4$
B. $6$
C. $\sqrt{10}$
D. $2\sqrt{5}$

C

3. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=120°$,$D$是$AB$上一个动点(点$D$不与点$A$,$B$重合),以点$D$为旋转中心,将线段$DC$顺时针旋转$120°$得到线段$DE$,连接$BE$.若$∠ ACD=15°$,则$∠ BDE$的度数是$\underline{\hspace{3em}}$.

$75^{\circ}$

4. (转化与化归思想)如图,在$△ ABC$中,$AB=10$,将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转$30°$后得到$△ A_1BC_1$,连接$AA_1$,则阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_$.

$25$

5. 如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接BP,将BP绕点B按顺时针方向旋转$90°$得到BQ,连接QP交BC于点E,QP的延长线与边AD交于点F,连接CQ.
(1) 求证:$AP=CQ$;
(2) 若正方形的边长为4,且$PC=3AP$,求线段PQ的长.

第5题

（1）证明：由题意，得$BP = BQ，$$\angle PBQ=\angle CBP+\angle CBQ = 90^{\circ}。$ 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = CB，$$\angle ABC=\angle ABP+\angle CBP = 90^{\circ}。$ 所以$\angle ABP=\angle CBQ。$ 在$\triangle ABP$和$\triangle CBQ$中， $\begin{cases}AB = CB\\\angle ABP=\angle CBQ\\BP = BQ\end{cases}，$ 所以$\triangle ABP\cong\triangle CBQ(SAS)。$所以$AP = CQ。$ （2）解：由（1），知$\angle ABC = 90^{\circ}，$$AB = CB。$ 在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}。$ 又因为$PC = 3AP，$所以$AC=AP + PC=AP + 3AP = 4AP = 4\sqrt{2}。$ 所以$AP=\sqrt{2}。$所以$PC = 3AP = 3\sqrt{2}。$$CQ = AP=\sqrt{2}。$ 因为$\triangle ABP\cong\triangle CBQ，$所以$\angle PAB=\angle QCB。$ 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle PAB+\angle ACB = 90^{\circ}。$ 所以$\angle QCB+\angle ACB=\angle PCQ = 90^{\circ}。$ 所以$PQ=\sqrt{PC^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{5}。$

6. (2024·通州期末)如图,在正方形ABCD中,将对角线BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,连接DE,则$\frac{DE}{AB}$的值为 （ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $2$

第6题

D