7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=30°,AB=8$,$P$是$AC$上的动点.连接$BP$,以$BP$为边作等边三角形$BPQ$,连接$CQ$,则线段$CQ$长的最小值是 （ ）
A. $2$
B. $4$
C. $2\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}+2$

第7题

第8题

第9题

A

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$,将$△ ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转角度$α$($0°＜α＜90°$),得到$△ A'B'C$,设$A'C$交边$AB$于点$D$,连接$AA'$.若$△ AA'D$是等腰三角形,则旋转角$α$的度数为$\underline{\hspace{3em}}$.

$20^{\circ}$或$40^{\circ}$

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=\sqrt{2}$,$AC=4$,以点$C$为旋转中心,将线段$CB$按顺时针方向旋转$90°$得线段$CD$,连接$AD$,则$AD$长的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.

$3\sqrt{2}$

10. 如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应,点E恰好落在边AD上,$BH⊥CE$于点H.
(1) 求证:$AB=BH$;
(2) 连接BG,交CH于点O,若$AB=5$,$BC=13$,求BG的长.

（1）证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle ADC = 90^{\circ}，$$AD// BC，$$AB = CD。$ 所以$\angle DEC=\angle BCH。$ 因为$\angle ADC = 90^{\circ}，$$BH\perp CE，$所以$\angle ADC=\angle BHC = 90^{\circ}。$ 由旋转的性质，知$CE = CB。$ 在$\triangle EDC$和$\triangle CHB$中， $\begin{cases}\angle DEC=\angle HCB\\\angle EDC=\angle CHB\\EC = CB\end{cases}，$ 所以$\triangle EDC\cong\triangle CHB(AAS)。$ 所以$CD = BH。$所以$AB = BH。$ （2）解：易得$AB = BH = CG。$ 在矩形$FECG$中，$\angle ECG = 90^{\circ}。$ 在$\triangle HBO$和$\triangle CGO$中， $\begin{cases}\angle OHB=\angle OCG = 90^{\circ}\\\angle HOB=\angle COG\\HB = CG\end{cases}，$ 所以$\triangle HBO\cong\triangle CGO(AAS)。$ 所以$OH = OC，$$OB = OG。$ 在$Rt\triangle BCH$中，$BH = AB = 5，$$BC = 13，$由勾股定理，得$CH=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12。$ 所以$OH=\dfrac{1}{2}CH = 6。$ 在$Rt\triangle OHB$中，由勾股定理，得$OB=\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{61}，$ 所以$BG = 2OB = 2\sqrt{61}。$

11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转角度$α$得到$△ DEC$，点$A,B$的对应点分别是$D,E$．
（1）如图①，当点$E$恰好在边$AC$上时，连接$AD$，求$∠ ADE$的度数；
（2）如图②，若$α=60°$，$F$是边$AC$的中点，连接$BF,BE,DF$，$BE$与$AC$相交于点$G$，试判断$BF$与$DE$之间的数量关系和位置关系．

（1）解：因为$\triangle ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转角度$\alpha$得到$\triangle DEC，$点$E$恰好在边$AC$上， 所以$CA = CD，$$\angle DCE=\angle ACB = 30^{\circ}，$$\angle DEC=\angle ABC = 90^{\circ}。$ 所以$\angle CAD=\angle CDA=\dfrac{1}{2}\times(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}。$ 所以$\angle ADE = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}。$ （2）解：因为在$Rt\triangle ABC$中，$F$是边$AC$的中点，所以$AF = CF = BF=\dfrac{1}{2}AC。$ 因为$\angle ACB = 30^{\circ}，$所以$\angle A = 60^{\circ}，$$AB=\dfrac{1}{2}AC。$ 所以$CF = BF = AB。$ 因为$\triangle ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle DEC，$ 所以$\angle BCE=\angle ACD = 60^{\circ}，$$\angle A=\angle CDE = 60^{\circ}，$$BC = EC，$$AB = DE。$ 所以$\triangle BEC$为等边三角形，$\angle ACD=\angle CDE，$$CF = DE = BF。$ 所以$BE = CB = EC。$ 在$\triangle CDE$和$\triangle DCF$中， $\begin{cases}CD = DC\\\angle CDE=\angle DCF\\DE = CF\end{cases}，$ 所以$\triangle CDE\cong\triangle DCF(SAS)。$ 所以$CE = DF。$所以$BE = DF。$ 又因为$BF = DE，$所以四边形$BEDF$是平行四边形。 所以$BF// DE。$