7. 如图，将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕直角边$AC$的中点$H$旋转，得到$△ EFD$.若$△ EFD$的直角顶点$D$落在$△ ABC$的斜边$AB$上，$EF$与$AC$交于点$G$，且$△ EGH$恰好是以$GH$为底边的等腰三角形，则$∠ A=\_\_\_\_\_\_$.

$36^{\circ}$

三、解答题
8. 已知 $3x + 1$ 的算术平方根是 $4$，$x + 2y$ 的立方根是 $-1$，
(1) 求 $x$、$y$ 的值.
(2) 求 $2x - 5y$ 的平方根.

解：
(1)因为$3x + 1$的算术平方根是$4，$所以$3x + 1 = 4^{2}=16，$ 则$3x=16 - 1=15，$解得$x = 5。$ 又因为$x + 2y$的立方根是$-1，$所以$x + 2y = (-1)^{3}=-1，$ 把$x = 5$代入$x + 2y = -1，$得$5 + 2y = -1，$$2y=-1 - 5=-6，$解得$y = - 3。$ (2)由
(1)知$x = 5，$$y = - 3，$则$2x - 5y = 2\times5 - 5\times(-3)=10 + 15 = 25，$ 所以$2x - 5y$的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5。$

9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$B$、$A$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上,$AB=8$.以$AB$为斜边作等腰直角三角形$ABC$,点$C$落在第四象限内,连接$OC$.取边$AB$的中点$D$,连接$OD$交$AC$于点$E$.
(1)求$OD$的长.
(2)若$OA=OC$,求四边形$AOCB$的面积.

解：
(1)因为$OA\perp OB，$$D$为边$AB$的中点，$AB = 8，$ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}AB = 4。$ (2)连接$CD。$
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AC = BC，$$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}。$ 又$AB = 8，$则$2AC^{2}=8^{2}，$$AC^{2}=32，$解得$AC = 4\sqrt{2}$（负值舍去）。 因为$D$是$AB$的中点，$AB$是等腰直角三角形$ABC$的斜边，所以$CD\perp AB，$$CD = BD=\frac{1}{2}AB = 4。$ 又$OA = OC，$所以点$O$、$D$在线段$AC$的垂直平分线上，即$OD$垂直平分$AC，$所以$OD\perp AC，$$AE = CE=\frac{1}{2}AC = 2\sqrt{2}。$ 由
(1)得$OD = 4，$ 所以$S_{四边形AOCB}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle CDB}=\frac{1}{2}OD\cdot AE+\frac{1}{2}OD\cdot CE+\frac{1}{2}CD\cdot BD$ $=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\times4\times4=8\sqrt{2}+8。$