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10. 用充电器给某手机充电时,其屏幕的起始画面如图 1.经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量$ E $(单位:$\%$)与充电时间$ t $(单位:$ h $)之间的函数图象分别为图 2 中的线段$ AB $、$ AC $.
(1)求线段$ AC $对应的函数表达式.
(2)已知该手机正常使用时的耗电量为$ 10\%/h $,在用快速充电器将其充满电后,正常使用$ a \ h $,接着再用普通充电器将其充满电,其“充电—耗电—充电”的时间恰好是$ 6 \ h $.求$ a $的值.
(1)求线段$ AC $对应的函数表达式.
(2)已知该手机正常使用时的耗电量为$ 10\%/h $,在用快速充电器将其充满电后,正常使用$ a \ h $,接着再用普通充电器将其充满电,其“充电—耗电—充电”的时间恰好是$ 6 \ h $.求$ a $的值.
答案
解：
(1)设线段$AC$的函数表达式为$E = kt + b(0\lt t\leqslant6)，$ 将$(0,20)，$$(6,100)$代入，得$\begin{cases}b = 20\\6k + b = 100\end{cases}，$ 将$b = 20$代入$6k + b = 100，$得$6k+20 = 100，$$6k=100 - 20 = 80，$解得$k=\frac{40}{3}，$ 所以线段$AC$的函数表达式为$E=\frac{40}{3}t + 20(0\lt t\leqslant6)。$ (2)根据题意，得$\frac{40}{3}\times(6 - 2 - a)=10a，$ $\frac{40}{3}\times(4 - a)=10a，$ $\frac{160}{3}-\frac{40}{3}a = 10a，$ $160 - 40a = 30a，$ $70a = 160，$ 解得$a=\frac{16}{7}。$
(1)设线段$AC$的函数表达式为$E = kt + b(0\lt t\leqslant6)，$ 将$(0,20)，$$(6,100)$代入，得$\begin{cases}b = 20\\6k + b = 100\end{cases}，$ 将$b = 20$代入$6k + b = 100，$得$6k+20 = 100，$$6k=100 - 20 = 80，$解得$k=\frac{40}{3}，$ 所以线段$AC$的函数表达式为$E=\frac{40}{3}t + 20(0\lt t\leqslant6)。$ (2)根据题意，得$\frac{40}{3}\times(6 - 2 - a)=10a，$ $\frac{40}{3}\times(4 - a)=10a，$ $\frac{160}{3}-\frac{40}{3}a = 10a，$ $160 - 40a = 30a，$ $70a = 160，$ 解得$a=\frac{16}{7}。$
11. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续往甲地行驶，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各地终点后停止.两车之间的距离 $ y(\mathrm{km}) $ 与慢车行驶的时间 $ x(\mathrm{h}) $ 之间的函数关系如图所示.
(1) 甲、乙两地之间的距离为 ______ km.
(2) 求快车和慢车的速度，并直接写出点 $ E $ 的坐标.
(3) 求线段 $ AB $、$ CD $ 对应的函数表达式.
(4) 慢车出发多少小时后，两车相距 $ 300 \ \mathrm{km} $？
(1) 甲、乙两地之间的距离为 ______ km.
(2) 求快车和慢车的速度，并直接写出点 $ E $ 的坐标.
(3) 求线段 $ AB $、$ CD $ 对应的函数表达式.
(4) 慢车出发多少小时后，两车相距 $ 300 \ \mathrm{km} $？
答案
$480$ ; 解：
(2)根据题意，$BC$段只有慢车在行驶，则慢车的速度为$60\div(4 - 3)=60(km/h)；$ 因为$AB$段表示两车都在行驶，所以快车与慢车的速度和为$480\div3 = 160(km/h)，$ 则快车的速度为$160 - 60 = 100(km/h)。$ 由图象可知，快车先到达目的地，则$DE$段只有慢车在行驶，慢车到达终点所用的时间为$480\div60 = 8(h)，$所以点$E$的坐标为$(8,480)。$ (3)设线段$AB$对应的函数表达式为$y = k_{1}x + b_{1}(0\leqslant x\leqslant3)，$ 把点$A(0,480)$、$B(3,0)$的坐标代入，得$\begin{cases}b_{1}=480\\3k_{1}+b_{1}=0\end{cases}，$ 将$b_{1}=480$代入$3k_{1}+b_{1}=0，$得$3k_{1}+480 = 0，$$3k_{1}=-480，$解得$k_{1}=-160，$ 所以线段$AB$对应的函数表达式为$y=-160x + 480(0\leqslant x\leqslant3)；$ 由图象可知，$CD$段表示快车修好后开始行驶，且快车中途维修了$1h，$而快车正常行驶到目的地需要$480\div100 = 4.8(h)，$ 所以快车到达目的地共需要$5.8h，$故点$D$的横坐标为$5.8，$ 在$4\leqslant x\leqslant5.8$时间段内，快车和慢车一共走的路程为$(100 + 60)\times1.8 = 288(km)，$故点$D$的纵坐标为$288 + 60 = 348，$所以点$D$的坐标为$(5.8,348)，$ 设线段$CD$对应的函数表达式为$y = k_{2}x + b_{2}(4\leqslant x\leqslant5.8)，$ 把点$C(4,60)$、$D(5.8,348)$的坐标代入，得$\begin{cases}5.8k_{2}+b_{2}=348\\4k_{2}+b_{2}=60\end{cases}，$ 用$5.8k_{2}+b_{2}=348$减去$4k_{2}+b_{2}=60，$得$1.8k_{2}=288，$
解得$k_{2}=160，$ 把$k_{2}=160$代入$4k_{2}+b_{2}=60，$得$640 + b_{2}=60，$$b_{2}=60 - 640=-580，$ 所以线段$CD$对应的函数表达式为$y = 160x - 580(4\leqslant x\leqslant5.8)。$ (4)因为点$D(5.8,348)，$所以两车相距$300km$时在$AB$段和$CD$段。 把$y = 300$代入$y=-160x + 480，$得$300=-160x + 480，$$160x=480 - 300 = 180，$解得$x=\frac{9}{8}，$满足$0\leqslant x\leqslant3，$符合题意； 把$y = 300$代入$y = 160x - 580，$得$300 = 160x - 580，$$160x=300 + 580 = 880，$解得$x=\frac{11}{2}，$满足$4\leqslant x\leqslant5.8，$符合题意。 综上所述，慢车出发$\frac{9}{8}h$或$\frac{11}{2}h$后，两车相距$300km。$
(2)根据题意，$BC$段只有慢车在行驶，则慢车的速度为$60\div(4 - 3)=60(km/h)；$ 因为$AB$段表示两车都在行驶，所以快车与慢车的速度和为$480\div3 = 160(km/h)，$ 则快车的速度为$160 - 60 = 100(km/h)。$ 由图象可知，快车先到达目的地，则$DE$段只有慢车在行驶，慢车到达终点所用的时间为$480\div60 = 8(h)，$所以点$E$的坐标为$(8,480)。$ (3)设线段$AB$对应的函数表达式为$y = k_{1}x + b_{1}(0\leqslant x\leqslant3)，$ 把点$A(0,480)$、$B(3,0)$的坐标代入，得$\begin{cases}b_{1}=480\\3k_{1}+b_{1}=0\end{cases}，$ 将$b_{1}=480$代入$3k_{1}+b_{1}=0，$得$3k_{1}+480 = 0，$$3k_{1}=-480，$解得$k_{1}=-160，$ 所以线段$AB$对应的函数表达式为$y=-160x + 480(0\leqslant x\leqslant3)；$ 由图象可知，$CD$段表示快车修好后开始行驶，且快车中途维修了$1h，$而快车正常行驶到目的地需要$480\div100 = 4.8(h)，$ 所以快车到达目的地共需要$5.8h，$故点$D$的横坐标为$5.8，$ 在$4\leqslant x\leqslant5.8$时间段内，快车和慢车一共走的路程为$(100 + 60)\times1.8 = 288(km)，$故点$D$的纵坐标为$288 + 60 = 348，$所以点$D$的坐标为$(5.8,348)，$ 设线段$CD$对应的函数表达式为$y = k_{2}x + b_{2}(4\leqslant x\leqslant5.8)，$ 把点$C(4,60)$、$D(5.8,348)$的坐标代入，得$\begin{cases}5.8k_{2}+b_{2}=348\\4k_{2}+b_{2}=60\end{cases}，$ 用$5.8k_{2}+b_{2}=348$减去$4k_{2}+b_{2}=60，$得$1.8k_{2}=288，$
解得$k_{2}=160，$ 把$k_{2}=160$代入$4k_{2}+b_{2}=60，$得$640 + b_{2}=60，$$b_{2}=60 - 640=-580，$ 所以线段$CD$对应的函数表达式为$y = 160x - 580(4\leqslant x\leqslant5.8)。$ (4)因为点$D(5.8,348)，$所以两车相距$300km$时在$AB$段和$CD$段。 把$y = 300$代入$y=-160x + 480，$得$300=-160x + 480，$$160x=480 - 300 = 180，$解得$x=\frac{9}{8}，$满足$0\leqslant x\leqslant3，$符合题意； 把$y = 300$代入$y = 160x - 580，$得$300 = 160x - 580，$$160x=300 + 580 = 880，$解得$x=\frac{11}{2}，$满足$4\leqslant x\leqslant5.8，$符合题意。 综上所述，慢车出发$\frac{9}{8}h$或$\frac{11}{2}h$后，两车相距$300km。$
