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平面直角坐标系中的位似图形
(1)在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的图形与原图形是以
(2)在平面直角坐标系中,把一个多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的
(1)在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的图形与原图形是以
原点
为位似中心的位似图形,位似比为k
.(2)在平面直角坐标系中,把一个多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的
k
倍的图形.答案
(1)原点 k (2)k
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中位似变换的相关规律：①如果位似变换以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标的比等于位似比；②位似中心是位似图形对应点连线的公共交点。首先看第一问，原图形有一个顶点是原点，所有顶点坐标乘k后原点坐标仍为(0,0)，所有对应点连线都会经过原点，因此位似中心是原点，对应点到位似中心的距离比为k，即位似比为k。第二问，坐标缩放的倍数和图形边长缩放的倍数一致，因此图形放大或缩小的倍数就是k。
【解析】
(1) 原多边形有一个顶点为原点，将各顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍后，原点坐标保持(0,0)不变，所有对应点的连线均经过原点，且对应点到原点的距离之比为k，因此所得图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k。
(2) 顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍时，多边形的对应边长也会变为原来的k倍，因此所得多边形是把原多边形放大或缩小至原来的k倍的图形。
【答案】
(1) 原点；k
(2) k
【知识点】
坐标系中位似变换、位似中心、位似比
【点评】
本题考查平面直角坐标系中位似变换的基础概念，是位似章节的基础识记类题目，掌握位似中心在原点时的坐标变化规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平面直角坐标系中位似变换的相关规律：①如果位似变换以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标的比等于位似比；②位似中心是位似图形对应点连线的公共交点。首先看第一问，原图形有一个顶点是原点，所有顶点坐标乘k后原点坐标仍为(0,0)，所有对应点连线都会经过原点，因此位似中心是原点，对应点到位似中心的距离比为k，即位似比为k。第二问，坐标缩放的倍数和图形边长缩放的倍数一致，因此图形放大或缩小的倍数就是k。
【解析】
(1) 原多边形有一个顶点为原点，将各顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍后，原点坐标保持(0,0)不变，所有对应点的连线均经过原点，且对应点到原点的距离之比为k，因此所得图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k。
(2) 顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍时，多边形的对应边长也会变为原来的k倍，因此所得多边形是把原多边形放大或缩小至原来的k倍的图形。
【答案】
(1) 原点；k
(2) k
【知识点】
坐标系中位似变换、位似中心、位似比
【点评】
本题考查平面直角坐标系中位似变换的基础概念，是位似章节的基础识记类题目，掌握位似中心在原点时的坐标变化规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例】(2025 扬州月考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(-1,2),C(2,3).请以原点O为位似中心,在x轴上方画出△ABC的位似图形△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为点A₁,B₁,C₁),使得△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1.
答案
解:如图,△A₁B₁C₁即为所求.
解析
【分析】
要画出以原点为位似中心、相似比为2:1且在x轴上方的△ABC的位似图形，首先回忆位似图形的坐标变换规律：以原点为位似中心的位似变换，若位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标均为原坐标乘以相似比。本题要求位似图形在x轴上方，与原图形同侧，相似比为2，因此先计算△ABC三个顶点对应点的坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
【解析】
1. 计算对应点坐标：
已知相似比为2:1，位似中心为原点，且△A₁B₁C₁在x轴上方，因此各对应点的横、纵坐标均为原坐标的2倍：
点A(1,4)的对应点A₁坐标为(1×2,4×2)=(2,8)；
点B(-1,2)的对应点B₁坐标为(-1×2,2×2)=(-2,4)；
点C(2,3)的对应点C₁坐标为(2×2,3×2)=(4,6)。
2. 在平面直角坐标系中依次描出A₁(2,8)、B₁(-2,4)、C₁(4,6)三个点。
3. 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求的位似图形。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
位似图形的性质；位似作图；坐标与图形变化
【点评】
本题属于基础作图题，核心是掌握以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，解题时需注意位似图形的位置要求，准确计算对应点坐标，避免符号或倍数计算错误。
【难度系数】
0.8
要画出以原点为位似中心、相似比为2:1且在x轴上方的△ABC的位似图形，首先回忆位似图形的坐标变换规律：以原点为位似中心的位似变换，若位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标均为原坐标乘以相似比。本题要求位似图形在x轴上方，与原图形同侧，相似比为2，因此先计算△ABC三个顶点对应点的坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
【解析】
1. 计算对应点坐标：
已知相似比为2:1，位似中心为原点，且△A₁B₁C₁在x轴上方，因此各对应点的横、纵坐标均为原坐标的2倍：
点A(1,4)的对应点A₁坐标为(1×2,4×2)=(2,8)；
点B(-1,2)的对应点B₁坐标为(-1×2,2×2)=(-2,4)；
点C(2,3)的对应点C₁坐标为(2×2,3×2)=(4,6)。
2. 在平面直角坐标系中依次描出A₁(2,8)、B₁(-2,4)、C₁(4,6)三个点。
3. 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求的位似图形。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
位似图形的性质；位似作图；坐标与图形变化
【点评】
本题属于基础作图题，核心是掌握以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，解题时需注意位似图形的位置要求，准确计算对应点坐标，避免符号或倍数计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，且位似比为$\frac{2}{3}$。若点B的坐标为(2,2)，则点E的坐标为（
A.(1,1)
B.(3,3)
C.(4,4)
D.(5,5)
B
）A.(1,1)
B.(3,3)
C.(4,4)
D.(5,5)
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似中心为原点时，同一象限内的对应点坐标的比值等于位似比。首先确定两个正方形的位似中心为原点O，且都在第一象限，对应点坐标符号相同；再明确位似比是正方形OABC与正方形ODEF的比为$\frac{2}{3}$，即ODEF的边长是OABC边长的$\frac{3}{2}$倍；最后找到两个正方形的对应顶点B和E，结合B点坐标即可求出E点坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，位似比为$\frac{2}{3}$，且两个图形均位于第一象限，
∴两个正方形对应点的坐标之比为$\frac{2}{3}$，即点E的坐标是点B坐标的$\frac{3}{2}$倍。
已知点B的坐标为$(2,2)$，
则点E的横坐标为：$2×\frac{3}{2}=3$，
点E的纵坐标为：$2×\frac{3}{2}=3$，
因此点E的坐标为$(3,3)$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，坐标变换规律
【点评】
本题属于位似的基础应用题型，解题的核心是准确把握位似比的对应关系，牢记以原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，避免因搞错位似比的前后项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似中心为原点时，同一象限内的对应点坐标的比值等于位似比。首先确定两个正方形的位似中心为原点O，且都在第一象限，对应点坐标符号相同；再明确位似比是正方形OABC与正方形ODEF的比为$\frac{2}{3}$，即ODEF的边长是OABC边长的$\frac{3}{2}$倍；最后找到两个正方形的对应顶点B和E，结合B点坐标即可求出E点坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，位似比为$\frac{2}{3}$，且两个图形均位于第一象限，
∴两个正方形对应点的坐标之比为$\frac{2}{3}$，即点E的坐标是点B坐标的$\frac{3}{2}$倍。
已知点B的坐标为$(2,2)$，
则点E的横坐标为：$2×\frac{3}{2}=3$，
点E的纵坐标为：$2×\frac{3}{2}=3$，
因此点E的坐标为$(3,3)$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，坐标变换规律
【点评】
本题属于位似的基础应用题型，解题的核心是准确把握位似比的对应关系，牢记以原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，避免因搞错位似比的前后项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. (2025绥化月考)在平面直角坐标系中，已知点$A(6,2),B(6,-2)$，以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，把$△ ABO$缩小，则点$A$的对应点$A'$的坐标是（
A.$(12,4)$
B.$(-3,-1)$
C.$(3,1)$或$(-3,-1)$
D.$(-12,4)$或$(12,4)$
C
）A.$(12,4)$
B.$(-3,-1)$
C.$(3,1)$或$(-3,-1)$
D.$(-12,4)$或$(12,4)$
答案
2. C
解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。本题要求将△ABO缩小，相似比为2:1，即新图形与原图形的相似比为1/2，需分位似图形与原图形在原点同侧、异侧两种情况计算点A的对应点坐标，即可得到答案。
【解析】
已知以原点O为位似中心，相似比为2:1缩小△ABO，即位似比$k=\frac{1}{2}$。
位似图形与原图形在原点同侧时，点A的对应点$A'$的坐标为：
$(6×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(3,1)$
位似图形与原图形在原点异侧时，点A的对应点$A'$的坐标为：
$(6×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-3,-1)$
综上，点A的对应点$A'$的坐标是$(3,1)$或$(-3,-1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似变换坐标规律，平面直角坐标系位似性质
【点评】
本题重点考查原点为位似中心的位似变换坐标计算，解题时需注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，两种情况均要考虑，避免因漏解选错答案。
【难度系数】
0.7
首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。本题要求将△ABO缩小，相似比为2:1，即新图形与原图形的相似比为1/2，需分位似图形与原图形在原点同侧、异侧两种情况计算点A的对应点坐标，即可得到答案。
【解析】
已知以原点O为位似中心，相似比为2:1缩小△ABO，即位似比$k=\frac{1}{2}$。
位似图形与原图形在原点同侧时，点A的对应点$A'$的坐标为：
$(6×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(3,1)$
位似图形与原图形在原点异侧时，点A的对应点$A'$的坐标为：
$(6×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-3,-1)$
综上，点A的对应点$A'$的坐标是$(3,1)$或$(-3,-1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似变换坐标规律，平面直角坐标系位似性质
【点评】
本题重点考查原点为位似中心的位似变换坐标计算，解题时需注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，两种情况均要考虑，避免因漏解选错答案。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为 (
A.$(-3,2)$
B.$(0,1)$
C.$(0,0)$
D.$(3,-2)$
第3题图 第4题图
A
)A.$(-3,2)$
B.$(0,1)$
C.$(0,0)$
D.$(3,-2)$
第3题图 第4题图
答案
3. A
解析
【分析】
本题要找位似中心的坐标，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，即位似中心是任意两组对应点连线的交点。解题思路如下：1. 先确定两组对应点的坐标；2. 分别求出两组对应点所在直线的解析式；3. 求两个直线解析式的交点坐标，即为位似中心P的坐标。
【解析】
首先确定对应点坐标：$B(-3,0)$，$B'(-3,-2)$，$A(-1,1)$，$A'(1,0)$。
1. 求直线$BB'$的解析式：B和$B'$的横坐标均为-3，因此直线$BB'$为竖直线$x=-3$。
2. 求直线$AA'$的解析式：设直线$AA'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,1)$、$A'(1,0)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\k + b = 0\end{cases}$
两式相加解得$2b=1$，即$b=\frac{1}{2}$，代入第二个式子得$k=-\frac{1}{2}$，因此直线$AA'$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
3. 求交点P的坐标：将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}×(-3)+\frac{1}{2}=2$，因此交点P的坐标为$(-3,2)$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数解析式求解，平面直角坐标系
【点评】
本题核心考查位似图形的性质，解题关键是明确位似中心为对应点连线的交点，除了通过求解直线交点得到结果，也可直接延长对应点连线，在网格中直接读取交点坐标，方法更简便。
【难度系数】
0.7
本题要找位似中心的坐标，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，即位似中心是任意两组对应点连线的交点。解题思路如下：1. 先确定两组对应点的坐标；2. 分别求出两组对应点所在直线的解析式；3. 求两个直线解析式的交点坐标，即为位似中心P的坐标。
【解析】
首先确定对应点坐标：$B(-3,0)$，$B'(-3,-2)$，$A(-1,1)$，$A'(1,0)$。
1. 求直线$BB'$的解析式：B和$B'$的横坐标均为-3，因此直线$BB'$为竖直线$x=-3$。
2. 求直线$AA'$的解析式：设直线$AA'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,1)$、$A'(1,0)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\k + b = 0\end{cases}$
两式相加解得$2b=1$，即$b=\frac{1}{2}$，代入第二个式子得$k=-\frac{1}{2}$，因此直线$AA'$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
3. 求交点P的坐标：将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}×(-3)+\frac{1}{2}=2$，因此交点P的坐标为$(-3,2)$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数解析式求解，平面直角坐标系
【点评】
本题核心考查位似图形的性质，解题关键是明确位似中心为对应点连线的交点，除了通过求解直线交点得到结果，也可直接延长对应点连线，在网格中直接读取交点坐标，方法更简便。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A₁B₁C₁位似,原点O是位似中心,且$\frac{AB}{A_1B_1}=3$.若A(9,3),则点A₁的坐标是（
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(27,9)
D.(9,27)
B
）A.(1,3)
B.(3,1)
C.(27,9)
D.(9,27)
答案
4. B
解析
【分析】
首先回忆位似图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律：若两个图形以原点为位似中心位似，且位似比为k，则对应点的坐标比为k或-k（同象限为正，异象限为负）。本题已知两个三角形位似，原点是位似中心，且对应边的比$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，说明△A₁B₁C₁和△ABC的位似比为$\frac{1}{3}$，结合两个图形都在第一象限，可知点A₁的坐标是点A的坐标乘以$\frac{1}{3}$，代入A点坐标计算即可。
【解析】
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，
∴△A₁B₁C₁与△ABC的位似比为$\frac{1}{3}$。
由图可知两个位似图形都在第一象限，因此点A₁的横、纵坐标均为点A对应横、纵坐标的$\frac{1}{3}$。
已知A点坐标为(9,3)，则：
A₁的横坐标：$9×\frac{1}{3}=3$，
A₁的纵坐标：$3×\frac{1}{3}=1$，
∴点A₁的坐标为(3,1)。
【答案】
B
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题考查位似图形的坐标变化规律，解题关键是明确以原点为位似中心时，对应点的坐标与位似比的关系，注意结合图形位置判断坐标的符号，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆位似图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律：若两个图形以原点为位似中心位似，且位似比为k，则对应点的坐标比为k或-k（同象限为正，异象限为负）。本题已知两个三角形位似，原点是位似中心，且对应边的比$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，说明△A₁B₁C₁和△ABC的位似比为$\frac{1}{3}$，结合两个图形都在第一象限，可知点A₁的坐标是点A的坐标乘以$\frac{1}{3}$，代入A点坐标计算即可。
【解析】
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，
∴△A₁B₁C₁与△ABC的位似比为$\frac{1}{3}$。
由图可知两个位似图形都在第一象限，因此点A₁的横、纵坐标均为点A对应横、纵坐标的$\frac{1}{3}$。
已知A点坐标为(9,3)，则：
A₁的横坐标：$9×\frac{1}{3}=3$，
A₁的纵坐标：$3×\frac{1}{3}=1$，
∴点A₁的坐标为(3,1)。
【答案】
B
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题考查位似图形的坐标变化规律，解题关键是明确以原点为位似中心时，对应点的坐标与位似比的关系，注意结合图形位置判断坐标的符号，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
