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典例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，用直尺和圆规在AC上作点P，使点P到点A和点B的距离相等。
答案
解：
作法：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
点P满足PA=PB，符合要求。
作法：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
点P满足PA=PB，符合要求。
解析
【分析】
要确定符合要求的点P，首先明确点P需满足PA=PB。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。因此只需用尺规作出AB的垂直平分线，该线与AC的交点即为所求的点P，接下来按照线段垂直平分线的标准尺规作法操作即可。
【解析】
我们通过作AB的垂直平分线确定点P，步骤如下：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
原理：因为直线MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P满足PA=PB，符合题目要求。
【答案】
解：
作法：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
点P满足PA=PB，符合要求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是将“点到两点距离相等”的条件转化为作对应线段的垂直平分线，主要考察对垂直平分线相关定理的理解和基本尺规作图技能的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定符合要求的点P，首先明确点P需满足PA=PB。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。因此只需用尺规作出AB的垂直平分线，该线与AC的交点即为所求的点P，接下来按照线段垂直平分线的标准尺规作法操作即可。
【解析】
我们通过作AB的垂直平分线确定点P，步骤如下：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
原理：因为直线MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P满足PA=PB，符合题目要求。
【答案】
解：
作法：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于M、N两点；
2. 作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
点P满足PA=PB，符合要求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是将“点到两点距离相等”的条件转化为作对应线段的垂直平分线，主要考察对垂直平分线相关定理的理解和基本尺规作图技能的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在△AEF中，利用直尺和圆规作图如下：分别以点E和点F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则线段AO为三角形的(
A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
B
).A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
答案
1. B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图类型：该作图是作线段EF的垂直平分线的标准尺规作图方法。第一步先由作图特征推导GH是EF的垂直平分线，可得GH与EF的交点O是EF的中点；再结合三角形高线、中线、角平分线的定义，判断AO属于哪类线段即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线GH是线段EF的垂直平分线，
∴ 点O是线段EF的中点，
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AO是△AEF中EF边上的中线。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作垂直平分线；线段垂直平分线性质；三角形中线定义
【点评】
本题考查基本尺规作图的识别与三角形相关线段的概念，解题核心是先判断出O为EF的中点，再对应概念判断即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
首先识别题中的尺规作图类型：该作图是作线段EF的垂直平分线的标准尺规作图方法。第一步先由作图特征推导GH是EF的垂直平分线，可得GH与EF的交点O是EF的中点；再结合三角形高线、中线、角平分线的定义，判断AO属于哪类线段即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线GH是线段EF的垂直平分线，
∴ 点O是线段EF的中点，
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AO是△AEF中EF边上的中线。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作垂直平分线；线段垂直平分线性质；三角形中线定义
【点评】
本题考查基本尺规作图的识别与三角形相关线段的概念，解题核心是先判断出O为EF的中点，再对应概念判断即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
典例2 画出图中轴对称图形的所有对称轴.
规律方法 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作图步骤：
(1)找出任意一对对称点；
(2)连接这对对称点；
(3)画出对称点所连线段的垂直平分线.
举一反三 如图,网格中的△ABC与△DEF成轴对称.
(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l.
(2)画出顶点在格点,以BC为一边,且与△ABC全等(不与△ABC重合)的三角形,这样的三角形在网格内共能画出
规律方法 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作图步骤：
(1)找出任意一对对称点；
(2)连接这对对称点；
(3)画出对称点所连线段的垂直平分线.
举一反三 如图,网格中的△ABC与△DEF成轴对称.
(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l.
(2)画出顶点在格点,以BC为一边,且与△ABC全等(不与△ABC重合)的三角形,这样的三角形在网格内共能画出
1
个.答案
2. (1) 解 如图，直线l即为所作。
(2) 1 解析 如图，△MBC即为以BC为一边，且与△ABC全等(不与△ABC重合)的三角形，这样的三角形在网格内能画1个.
解析
【分析】
(1)作两个成轴对称图形的对称轴，可按照给定的作图步骤操作：先找到△ABC和△DEF的一组对称点，比如点A与点D、点B与点E、点C与点F均可，连接该组对称点，再画出这条线段的垂直平分线，即为所求对称轴l。
(2)要画出以BC为边且与△ABC全等的格点三角形，依据全等三角形的SSS判定规则，固定边BC后，只需找到格点，使得该点到B、C的距离分别等于△ABC中A到B、A到C的距离即可，同时排除点A本身的位置，统计符合条件的点的个数即为答案。
【解析】
(1)步骤1：选取一组对应点，例如点A和点D，连接线段AD；
步骤2：利用网格线画出线段AD的垂直平分线，即为所求的对称轴l。
(2)设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC各边长度：BC长度固定，再分别计算AB、AC的长度，在网格中寻找格点P，使得PB=AB、PC=AC或PB=AC、PC=AB，同时△PBC不与△ABC重合。经排查，仅存在1个符合要求的格点，对应三角形为△MBC，因此符合条件的三角形共1个。
【答案】
(1) 如图，直线l即为所作。
(2) 1
【知识点】
1.对称轴的画法
2.全等三角形的判定
3.网格作图
【点评】
本题结合网格考查了轴对称对称轴的作图以及全等三角形的构造，解题的关键是熟练掌握对称轴的作图步骤，灵活运用全等三角形的判定条件，作图时要注意格点的限制，同时不要遗漏“不与原三角形重合”的限定条件。
【难度系数】
0.7
(1)作两个成轴对称图形的对称轴，可按照给定的作图步骤操作：先找到△ABC和△DEF的一组对称点，比如点A与点D、点B与点E、点C与点F均可，连接该组对称点，再画出这条线段的垂直平分线，即为所求对称轴l。
(2)要画出以BC为边且与△ABC全等的格点三角形，依据全等三角形的SSS判定规则，固定边BC后，只需找到格点，使得该点到B、C的距离分别等于△ABC中A到B、A到C的距离即可，同时排除点A本身的位置，统计符合条件的点的个数即为答案。
【解析】
(1)步骤1：选取一组对应点，例如点A和点D，连接线段AD；
步骤2：利用网格线画出线段AD的垂直平分线，即为所求的对称轴l。
(2)设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC各边长度：BC长度固定，再分别计算AB、AC的长度，在网格中寻找格点P，使得PB=AB、PC=AC或PB=AC、PC=AB，同时△PBC不与△ABC重合。经排查，仅存在1个符合要求的格点，对应三角形为△MBC，因此符合条件的三角形共1个。
【答案】
(1) 如图，直线l即为所作。
(2) 1
【知识点】
1.对称轴的画法
2.全等三角形的判定
3.网格作图
【点评】
本题结合网格考查了轴对称对称轴的作图以及全等三角形的构造，解题的关键是熟练掌握对称轴的作图步骤，灵活运用全等三角形的判定条件，作图时要注意格点的限制，同时不要遗漏“不与原三角形重合”的限定条件。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，在$△ ABC$中，$BC＞AC$，以点$C$为圆心，$CA$长为半径作弧交$AB$于点$D$，分别以点$A$和点$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径作弧，两弧交于点$E$，作直线$CE$交$AB$于点$F$。若$∠ B＝55°$，则$∠ BCF$的大小是(
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
典例解析
典例1
作法 如图.
典例2
解 如图.
典例3
作法 如图.
D
)。A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
典例解析
典例1
作法 如图.
典例2
解 如图.
典例3
作法 如图.
答案
3. D 解析 由作法得CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，
∴∠BCF=90°−∠B=90°−55°=35°. 故选D.
∴∠BFC=90°，
∴∠BCF=90°−∠B=90°−55°=35°. 故选D.
解析
【分析】
解题时首先要识别题目给出的尺规作图对应的几何结论：题目中先以C为圆心CA为半径画弧得CD=CA，再按作线段垂直平分线的步骤得到点E，因此直线CE是线段AD的垂直平分线，可得CF⊥AB；接下来在Rt△BCF中，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去已知的∠B的度数，即可求出∠BCF的大小。
【解析】
由尺规作图的作法可知，CE是线段AD的垂直平分线，
∴CF⊥AB，即∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，∠BCF + ∠B = 90°，
已知∠B=55°，
∴∠BCF=90°−∠B=90°−55°=35°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图作垂直平分线；垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将尺规作图与三角形角度计算相结合，核心是准确判断作图所得的垂直关系，再结合直角三角形的性质即可求解，侧重对基础作图结论和基础几何性质的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要识别题目给出的尺规作图对应的几何结论：题目中先以C为圆心CA为半径画弧得CD=CA，再按作线段垂直平分线的步骤得到点E，因此直线CE是线段AD的垂直平分线，可得CF⊥AB；接下来在Rt△BCF中，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去已知的∠B的度数，即可求出∠BCF的大小。
【解析】
由尺规作图的作法可知，CE是线段AD的垂直平分线，
∴CF⊥AB，即∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，∠BCF + ∠B = 90°，
已知∠B=55°，
∴∠BCF=90°−∠B=90°−55°=35°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图作垂直平分线；垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将尺规作图与三角形角度计算相结合，核心是准确判断作图所得的垂直关系，再结合直角三角形的性质即可求解，侧重对基础作图结论和基础几何性质的考查。
【难度系数】
0.8
