1. 如图，A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在().

A.AC，BC 的两条高线的交点处
B.∠A，∠B 两内角平分线的交点处
C.AC，BC 两边中线的交点处
D.AC，BC 两条边垂直平分线的交点处

1. D

【分析】
首先明确题目要求是找到一个点，到A、B、C三个顶点的距离相等。我们可以结合线段垂直平分线的判定逆定理来推导：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。我们先确定满足到两个顶点距离相等的点的位置，再找公共交点即可。同时要区分三角形不同特殊交点的性质，逐一排除错误选项：角平分线交点是到三边距离相等，中线交点是重心，高线交点是垂心，均不符合到三个顶点距离相等的要求。
【解析】
要使超市到A、B、C三个小区的距离相等，即找到一个点到三角形三个顶点的距离相等：
1. 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
若点到A、C两点距离相等，则该点在AC边的垂直平分线上；
若点到B、C两点距离相等，则该点在BC边的垂直平分线上。
因此AC、BC两条边垂直平分线的交点，同时满足到A、B、C三点距离相等。
2. 逐一排除错误选项：
选项A：AC、BC两条高线的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
选项B：∠A、∠B两内角平分线的交点是三角形的内心，到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
选项C：AC、BC两边中线的交点是三角形的重心，不满足到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是区分三角形各类特殊交点的性质，注意不要混淆“到三角形三个顶点距离相等”和“到三角形三边距离相等”对应的结论，前者是三边垂直平分线的交点（外心），后者是三个内角平分线的交点（内心）。
【难度系数】
0.8

2. 如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点 D，连接BD.若AC=8,CD=5,则BD 的长度为.

2. 3

【分析】
解题时首先提取题目关键条件：点D在AB的垂直平分线上，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可推得BD=AD，只需先求出AD的长度就能得到BD的长度。已知AC和CD的长度，AD可通过AC与CD的差直接计算得到，按这个思路即可逐步解题。
【解析】
第一步先计算AD的长度：
已知AC=8，CD=5，
∴ $AD = AC - CD = 8 - 5 = 3$，
第二步结合垂直平分线的性质推导BD的长度：
∵ 点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ $BD = AD = 3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段等量转换，将待求的BD转化为容易计算的AD，再结合线段和差运算即可求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9

3. 命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是。

3. 如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要拆分原命题的题设（条件）和结论。对于“如果……那么……”形式的命题，“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论，逆命题只需将原命题的题设和结论互换位置，再整理成通顺的语句即可。
【解析】
第一步，拆分原命题的题设和结论：
原命题的题设：两个角是同一个角的补角
原命题的结论：这两个角相等
第二步，将题设和结论互换位置，整理为规范的“如果……那么……”形式，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角。
【答案】
如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
【知识点】
逆命题的定义、命题的组成
【点评】
本题考查逆命题的改写，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，互换后注意语句表述通顺合理，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4.如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$AE = 5\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$的周长为$26\ \mathrm{cm}$，求$△ ABD$的周长。

4. 解
∵DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD,AC=2AE=10 cm.
∵△ABC 的周长为 26 cm，
∴AB+BC=26−AC=16(cm)，
∴△ABD 的周长=AB+(BD+AD)=AB+BC=16(cm).

【分析】
解题时先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=CD；二是垂直平分线平分对应线段，可得AC=2AE，先求出AC的长度。再结合△ABC的周长，算出AB与BC的长度和。最后观察△ABD的周长构成，将AD替换为相等的CD，就可以把△ABD的周长转化为AB+BC，代入数值即可求解。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD，AC=2AE=2×5=10 cm，
∵△ABC的周长为26 cm，即AB+BC+AC=26 cm，
∴AB+BC=26 - AC=26 - 10=16 cm，
∴△ABD的周长=AB + BD + AD = AB + BD + CD = AB + BC = 16 cm。
【答案】
16 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现相等线段的代换，将待求三角形的周长转化为与已知周长相关的线段和，简化计算过程，是垂直平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8

5. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $O$ 是 $△ ABC$ 内一点,且 $OB = OC$. 求证 $AO ⊥ BC$.

5. 证明 由 AB=AC,OB=OC，得AO 垂直平分 BC，从而 AO⊥BC.

【分析】
要证明AO⊥BC，可通过证明AO是线段BC的垂直平分线推导得出。首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目已知AB=AC，说明点A到B、C两点距离相等，因此点A在BC的垂直平分线上；又已知OB=OC，说明点O也到B、C两点距离相等，因此点O也在BC的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，即可推出直线AO就是BC的垂直平分线，进而得到AO⊥BC的结论。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∵ OB = OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线，
∴ AO ⊥ BC。
【答案】
证明 由 AB=AC,OB=OC，得AO 垂直平分 BC，从而 AO⊥BC.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查线段垂直平分线的判定与应用，相较于用全等三角形证明的方法，利用垂直平分线判定解题更简洁高效，解题时注意结合已知条件选择最优解法。
【难度系数】
0.8

6.如图，直线$l$，$m$相交于点$O$，$P$为这两直线外一点，且$OP=2.8$.若点$P$关于直线$l$，$m$对称的点分别是点$P_1$，$P_2$，则点$P_1$，$P_2$之间的距离可能是().


A.0
B.5
C.6
D.7

6. B 解析 如图,连接 OP₁,OP₂,P₁P₂,PP₁,PP₂.

∵点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点P₁,P₂，
∴直线 l 垂直平分 PP₁,直线 m 垂直平分 PP₂，
∴OP₁=OP=OP₂=2.8.
根据三角形三边关系定理可知OP₁−OP₂＜P₁P₂,P₁P₂＜OP₁+OP₂，
即0＜P₁P₂＜5.6,故选 B.

【分析】
解题时首先结合已知条件回忆轴对称的相关性质：点关于直线对称时，直线是两点连线的垂直平分线，因此直线上任意一点到两个对称点的距离相等。由此我们可以先连接$OP_1$、$OP_2$，推导得到$OP_1$、$OP_2$和$OP$的长度关系；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求出$P_1P_2$的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
连接$OP_1$，$OP_2$，$P_1P_2$，$PP_1$，$PP_2$。

∵点$P$关于直线$l$，$m$的对称点分别是点$P_1$，$P_2$，
∴直线$l$垂直平分$PP_1$，直线$m$垂直平分$PP_2$，
∴$OP_1=OP=2.8$，$OP_2=OP=2.8$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$OP_1 - OP_2 ＜ P_1P_2 ＜ OP_1 + OP_2$，
代入数值计算得$0 ＜ P_1P_2 ＜ 5.6$，
结合选项，只有5在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将轴对称性质和三角形三边关系结合考查，解题的突破口是利用轴对称的性质转化得到相等的线段，再通过三边关系确定未知线段的取值范围，能够有效检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$BE$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$E$,$AM⊥ BC$于点$M$,交$BE$于点$G$,$AD$平分$∠ MAC$,交$BC$于点$D$,交$BE$于点$F$.求证:线段$BF$垂直平分线段$AD$.

7. 证明 在△ABC 中，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°，
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.

【分析】
要证明线段BF垂直平分AD，需验证两个核心条件：一是BF与AD垂直，二是BF平分AD（即AF=DF）。我们可以结合已知条件逐步推导：首先利用∠BAC=90°和AM⊥BC，根据同角的余角相等得到∠BAM=∠C；再结合BE、AD分别是角平分线的条件，通过角的等量代换推出∠BAD=∠ADB，得到△ABD为等腰三角形，AB=BD；最后结合BE是∠ABC的角平分线，证明△ABF和△DBF全等，即可得到边和角的对应关系，验证垂直和平分的条件。
【解析】
证明：在△ABC中，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∴∠C=∠BAM。
∵BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF，∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB，
∴AB=BD。
在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF，∠AFB=∠DFB，
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°，即BF⊥AD，
∴线段BF垂直平分线段AD。
【答案】
线段BF垂直平分线段AD。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 垂直平分线的判定
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过直角三角形的余角关系和角平分线条件完成角的等量代换，推导得到等腰三角形，再结合全等三角形的性质得到垂直和平分的结论，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何知识综合运用能力。
【难度系数】
0.65