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9. 如图,已知AC、BD相交于点E,∠A=∠D,要添加一个条件使得$△ ABC ≌ △ DCB$,下列所添加的条件中不正确的是 【 】
A.$∠ ABC=∠ DCB$
B.$EB=EC$
C.$AC=BD$
D.$∠ DBC=∠ ACB$
A.$∠ ABC=∠ DCB$
B.$EB=EC$
C.$AC=BD$
D.$∠ DBC=∠ ACB$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个添加条件不能使△ABC≌△DCB，首先明确两个三角形已有的条件：已知∠A=∠D，且BC是两个三角形的公共边，即BC=CB。接下来结合全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SAS、SSS，注意SSA无法判定全等），逐一分析每个选项添加后是否满足判定条件即可。
【解析】
已知在△ABC和△DCB中，∠A=∠D，BC=CB（公共边）：
选项A：添加∠ABC=∠DCB，此时满足AAS（两角及其中一角的对边相等）判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意；
选项B：添加EB=EC，根据等边对等角可得∠ACB=∠DBC，此时满足AAS判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意；
选项C：添加AC=BD，此时已知条件为∠A=∠D，BC=CB，AC=BD，属于SSA的情况，SSA无法判定三角形全等，不能证明△ABC≌△DCB，该选项符合题意；
选项D：添加∠DBC=∠ACB，此时满足AAS判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，公共边的应用
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要注意挖掘隐含的公共边条件，逐一验证选项，尤其要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定定理导致出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪个添加条件不能使△ABC≌△DCB，首先明确两个三角形已有的条件：已知∠A=∠D，且BC是两个三角形的公共边，即BC=CB。接下来结合全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SAS、SSS，注意SSA无法判定全等），逐一分析每个选项添加后是否满足判定条件即可。
【解析】
已知在△ABC和△DCB中，∠A=∠D，BC=CB（公共边）：
选项A：添加∠ABC=∠DCB，此时满足AAS（两角及其中一角的对边相等）判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意；
选项B：添加EB=EC，根据等边对等角可得∠ACB=∠DBC，此时满足AAS判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意；
选项C：添加AC=BD，此时已知条件为∠A=∠D，BC=CB，AC=BD，属于SSA的情况，SSA无法判定三角形全等，不能证明△ABC≌△DCB，该选项符合题意；
选项D：添加∠DBC=∠ACB，此时满足AAS判定定理，可证明△ABC≌△DCB，该选项不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，公共边的应用
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要注意挖掘隐含的公共边条件，逐一验证选项，尤其要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定定理导致出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中的全等三角形有 【 】
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
C
解析
【分析】
解题时可结合长方形性质、折叠的性质，按从整体到局部的顺序逐一寻找全等三角形：首先利用长方形对边相等、角为直角的特征找出第一对全等三角形；再根据折叠前后图形完全重合的性质得到第二对全等三角形；结合前两对全等的传递性得到第三对全等三角形；最后观察折叠后形成的两个小三角形，利用等角等边的条件判定第四对全等，统计总数即可得到结果。
【解析】
我们逐对判定全等三角形：
1. 判定$△ ABD≌△ CDB$：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AB=CD$，$AD=BC$，又$BD$是公共边，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABD≌△ CDB$。
2. 判定$△ CDB≌△ EDB$：
$△ EDB$是$△ CDB$沿$BD$折叠得到的，折叠前后的图形完全重合，因此$△ CDB≌△ EDB$。
3. 判定$△ ABD≌△ EDB$：
由$△ ABD≌△ CDB$，$△ CDB≌△ EDB$，根据全等的传递性，可得$△ ABD≌△ EDB$。
4. 判定$△ ABF≌△ EDF$：
由$△ ABD≌△ EDB$可得$AB=ED$，$∠ A=∠ E=90°$，又$∠ AFB$和$∠ EFD$是对顶角，$∠ AFB=∠ EFD$，根据AAS全等判定定理，可得$△ ABF≌△ EDF$。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题的易错点是寻找全等三角形时出现漏数或多数的情况，解题时按固定顺序逐一排查，结合相关性质和全等判定定理验证，就能准确找出所有全等三角形。
【难度系数】
0.7
解题时可结合长方形性质、折叠的性质，按从整体到局部的顺序逐一寻找全等三角形：首先利用长方形对边相等、角为直角的特征找出第一对全等三角形；再根据折叠前后图形完全重合的性质得到第二对全等三角形；结合前两对全等的传递性得到第三对全等三角形；最后观察折叠后形成的两个小三角形，利用等角等边的条件判定第四对全等，统计总数即可得到结果。
【解析】
我们逐对判定全等三角形：
1. 判定$△ ABD≌△ CDB$：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AB=CD$，$AD=BC$，又$BD$是公共边，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABD≌△ CDB$。
2. 判定$△ CDB≌△ EDB$：
$△ EDB$是$△ CDB$沿$BD$折叠得到的，折叠前后的图形完全重合，因此$△ CDB≌△ EDB$。
3. 判定$△ ABD≌△ EDB$：
由$△ ABD≌△ CDB$，$△ CDB≌△ EDB$，根据全等的传递性，可得$△ ABD≌△ EDB$。
4. 判定$△ ABF≌△ EDF$：
由$△ ABD≌△ EDB$可得$AB=ED$，$∠ A=∠ E=90°$，又$∠ AFB$和$∠ EFD$是对顶角，$∠ AFB=∠ EFD$，根据AAS全等判定定理，可得$△ ABF≌△ EDF$。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题的易错点是寻找全等三角形时出现漏数或多数的情况，解题时按固定顺序逐一排查，结合相关性质和全等判定定理验证，就能准确找出所有全等三角形。
【难度系数】
0.7
11.（重庆中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$为边$BC$上一点，连结$AD$。过点$B$作$BE ⊥ AD$于点$E$，过点$C$作$CF ⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$。若$BE=4$，$CF=1$，则$EF$的长为
3
。答案
11. 3
解析
【分析】
首先观察图形，已知Rt△ABC是等腰直角三角形，且有BE⊥AD、CF⊥AD两个垂直条件，要计算EF的长度，可先证明△ABE和△CAF全等。第一步，利用∠BAC=90°和BE⊥AD，通过“同角的余角相等”推导∠ABE=∠CAF；第二步，结合两个直角相等、AB=AC的条件，用AAS判定两个三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等，得到AE=CF、AF=BE，最后用AF减去AE即可求出EF的长度。
【解析】
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°，
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠AEB = ∠F = 90°，
∴ ∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF，
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠F \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AE = CF = 1，AF = BE = 4，
∴ EF = AF - AE = 4 - 1 = 3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的全等三角形应用类题型，解题核心是通过角度互余关系推导出相等的角，构造全等三角形，将已知的线段长度转化到目标线段所在的直线上进行计算，掌握全等三角形的判定方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知Rt△ABC是等腰直角三角形，且有BE⊥AD、CF⊥AD两个垂直条件，要计算EF的长度，可先证明△ABE和△CAF全等。第一步，利用∠BAC=90°和BE⊥AD，通过“同角的余角相等”推导∠ABE=∠CAF；第二步，结合两个直角相等、AB=AC的条件，用AAS判定两个三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等，得到AE=CF、AF=BE，最后用AF减去AE即可求出EF的长度。
【解析】
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°，
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠AEB = ∠F = 90°，
∴ ∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF，
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠F \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AE = CF = 1，AF = BE = 4，
∴ EF = AF - AE = 4 - 1 = 3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的全等三角形应用类题型，解题核心是通过角度互余关系推导出相等的角，构造全等三角形，将已知的线段长度转化到目标线段所在的直线上进行计算，掌握全等三角形的判定方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
12. 如图,要测量河两岸相对两点A与B之间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC. 再作出BF的垂线DE,使A、C、E三点在同一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长. 试说明理由.
答案
提示:可证明$△ ABC ≌ △ EDC$
解析
【分析】
要说明DE的长等于AB的长，核心思路是证明AB、DE所在的两个三角形全等。首先根据已知的垂直关系，可得∠B和∠EDC均为直角；再结合题目给出的CD=BC，以及A、C、E共线得到的对顶角相等，正好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两个三角形全等后，即可根据全等性质推出AB=DE。
【解析】
证明：$\because AB⊥ BF$，$DE⊥ BF$，
$\therefore ∠ B=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ EDC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等），
因此测得DE的长就是AB的长。
【答案】
证明$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等可得$AB=DE$，故DE的长就是AB的长。
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将难以直接测量的线段转化为易测量的线段，解题关键是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
要说明DE的长等于AB的长，核心思路是证明AB、DE所在的两个三角形全等。首先根据已知的垂直关系，可得∠B和∠EDC均为直角；再结合题目给出的CD=BC，以及A、C、E共线得到的对顶角相等，正好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两个三角形全等后，即可根据全等性质推出AB=DE。
【解析】
证明：$\because AB⊥ BF$，$DE⊥ BF$，
$\therefore ∠ B=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ EDC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等），
因此测得DE的长就是AB的长。
【答案】
证明$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等可得$AB=DE$，故DE的长就是AB的长。
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将难以直接测量的线段转化为易测量的线段，解题关键是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
