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7.（营口中考）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且$AE=BF$，$∠ A=∠ B$，$∠ ACE=∠ BDF$.
（1）求证：$△ ACE ≌ △ BDF$；
（2）若$AB=8$，$AC=2$，求$CD$的长.
（1）求证：$△ ACE ≌ △ BDF$；
（2）若$AB=8$，$AC=2$，求$CD$的长.
答案
7. (1) 在 $△ ACE$ 和 $△ BDF$ 中, $\because \begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$ $\therefore △ ACE ≌ △ BDF$ (2) 由(1)知, $△ ACE ≌ △ BDF, \therefore AC=BD=2. \because AB=8, \therefore CD=AB-AC-BD=4$
解析
【分析】
（1）要证明△ACE≌△BDF，先梳理已知条件：题目已给出两组对应角相等（∠A=∠B，∠ACE=∠BDF），还有一组对边相等（AE=BF），刚好符合全等三角形判定中的“角角边（AAS）”定理，直接代入条件即可完成证明。
（2）求CD的长时，先利用第一问全等的性质，得到对应边AC=BD，再结合AB的总长度，用AB减去AC和BD的长度，就能求出CD的长度。
【解析】
（1）证明：在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\because \begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BDF\ (\mathrm{AAS})$
（2）解：由（1）可知$△ ACE ≌ △ BDF$，根据全等三角形对应边相等可得$AC=BD$。
已知$AC=2$，$\therefore BD=2$。
又$\because AB=8$，且点A、C、D、B在同一条直线上，
$\therefore CD=AB-AC-BD=8-2-2=4$
【答案】
（1）$△ ACE ≌ △ BDF$，证明见上述过程；
（2）$CD=4$
【知识点】
全等三角形AAS判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，核心考查全等三角形的判定方法和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，计算线段长度时需理清同一直线上各线段的和差关系。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ACE≌△BDF，先梳理已知条件：题目已给出两组对应角相等（∠A=∠B，∠ACE=∠BDF），还有一组对边相等（AE=BF），刚好符合全等三角形判定中的“角角边（AAS）”定理，直接代入条件即可完成证明。
（2）求CD的长时，先利用第一问全等的性质，得到对应边AC=BD，再结合AB的总长度，用AB减去AC和BD的长度，就能求出CD的长度。
【解析】
（1）证明：在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\because \begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BDF\ (\mathrm{AAS})$
（2）解：由（1）可知$△ ACE ≌ △ BDF$，根据全等三角形对应边相等可得$AC=BD$。
已知$AC=2$，$\therefore BD=2$。
又$\because AB=8$，且点A、C、D、B在同一条直线上，
$\therefore CD=AB-AC-BD=8-2-2=4$
【答案】
（1）$△ ACE ≌ △ BDF$，证明见上述过程；
（2）$CD=4$
【知识点】
全等三角形AAS判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，核心考查全等三角形的判定方法和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，计算线段长度时需理清同一直线上各线段的和差关系。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD、BC相交于点P，点C在DE上.
（1）求证：△ABC ≅ △ADE；
（2）若∠B=30°，∠APC=70°，求∠BCD的度数.
（1）求证：△ABC ≅ △ADE；
（2）若∠B=30°，∠APC=70°，求∠BCD的度数.
答案
(1) $\because ∠ BAD=∠ CAE, \therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$, 即 $∠ BAC=∠ DAE$. 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中, $\because \begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=AD,\\∠ BAC=∠ DAE,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ ADE$ (2) $\because ∠ B=∠ D, ∠ B=30°, \therefore ∠ D=30°. \because ∠ APC=70°, \therefore ∠ BCD=∠ APC-∠ D=40°$
解析
【分析】
（1）要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已有AB=AD、∠B=∠D，还缺一组对应角相等。由已知∠BAD=∠CAE，两边同时加公共角∠DAC，即可推导出∠BAC=∠DAE，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可完成证明。
（2）求∠BCD的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，得∠D=∠B=30°；再观察∠APC是△PCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可知∠APC=∠D+∠BCD，代入已知角度即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
（1）证明：$\because ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即 $∠ BAC=∠ DAE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=AD,\\∠ BAC=∠ DAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ADE(\mathrm{ASA})$。
（2）解：由（1）中△ABC≌△ADE的结论可得∠D=∠B，
$\because ∠ B=30°, \therefore ∠ D=30°$。
$\because ∠APC$是△PCD的外角，满足外角性质：$∠ APC=∠ D+∠BCD$，
又$\because ∠ APC=70°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ APC-∠ D=70°-30°=40°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boxed{40°}$
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于全等三角形章节的基础常考题，难度不高，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活通过角的和差关系推导相等角，结合三角形外角性质求解角度。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已有AB=AD、∠B=∠D，还缺一组对应角相等。由已知∠BAD=∠CAE，两边同时加公共角∠DAC，即可推导出∠BAC=∠DAE，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可完成证明。
（2）求∠BCD的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，得∠D=∠B=30°；再观察∠APC是△PCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可知∠APC=∠D+∠BCD，代入已知角度即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
（1）证明：$\because ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即 $∠ BAC=∠ DAE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=AD,\\∠ BAC=∠ DAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ADE(\mathrm{ASA})$。
（2）解：由（1）中△ABC≌△ADE的结论可得∠D=∠B，
$\because ∠ B=30°, \therefore ∠ D=30°$。
$\because ∠APC$是△PCD的外角，满足外角性质：$∠ APC=∠ D+∠BCD$，
又$\because ∠ APC=70°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ APC-∠ D=70°-30°=40°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boxed{40°}$
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于全等三角形章节的基础常考题，难度不高，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活通过角的和差关系推导相等角，结合三角形外角性质求解角度。
【难度系数】
0.7
