1. (兰州中考)计算：$(x+2y)^2=$ 【 】

A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$

A

【分析】
这道题考查两数和的平方公式的应用，解题时首先回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，先确定公式里对应的a、b分别为x和2y，再代入公式逐项计算，最后对照选项选出正确答案即可，计算时要注意系数的运算，避免漏乘或者漏算平方。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
本题中$a=x$，$b=2y$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x+2y)^2&=x^2+2· x· 2y+(2y)^2\\&=x^2+4xy+4y^2\end{aligned}$
对比选项，A选项符合计算结果。
【答案】
A
【知识点】
完全平方和公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对完全平方和公式的掌握程度，解题时要注意公式中“2ab”项的系数以及第二个底数带系数时，系数也要参与平方运算，避免出现漏项、系数计算错误的问题。
【难度系数】
0.85

2. 下列计算中，正确的是 【 】

A.$(x+y)^2=x^2+y^2$
B.$(3x+y)^2=3x^2+6xy+y^2$
C.$(-2x-y)^2=4x^2+2xy+y^2$
D.$(\frac{1}{3}x-2y)^2=\frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}xy+4y^2$

D

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其核心特征是“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍放中央，符号与原式中间的符号一致”；接下来将每个选项中的式子对应公式里的a和b，按公式展开后与选项给出的结果对比，即可判断对错。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一分析选项：
选项A：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，选项缺少$2xy$项，计算错误。
选项B：$(3x+y)^2=(3x)^2+2×3x· y+y^2=9x^2+6xy+y^2$，选项中$3x^2$计算错误。
选项C：$(-2x-y)^2=[-(2x+y)]^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$，选项中中间项$2xy$计算错误。
选项D：$(\frac{1}{3}x-2y)^2=(\frac{1}{3}x)^2-2×\frac{1}{3}x·2y+(2y)^2=\frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}xy+4y^2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，计算时要注意各项的系数、次数和符号，避免出现漏项、系数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7

3. 下列各式中，计算结果是$2mn - m^2 - n^2$的是 【 】

A.$(m-n)^2$
B.$-(m-n)^2$
C.$-(m+n)^2$
D.$(m+n)^2$

B

【分析】
要选出计算结果为$2mn - m^2 - n^2$的选项，有两种解题思路：思路一：先对目标多项式变形，提取负号后观察括号内的多项式是否符合完全平方公式的结构，再转化为完全平方的形式，对应选项即可；思路二：利用完全平方公式分别展开四个选项，将展开结果和题干的多项式对比，找出匹配的选项。解题时要注意提取负号时括号内各项都要变号，避免符号错误。
【解析】
我们可以通过两种方法求解：
方法1：变形目标多项式
首先调整目标式的项的顺序：
$2mn - m^2 - n^2 = -m^2 + 2mn - n^2$
提取公因式$-1$，可得：
$= -(m^2 - 2mn + n^2)$
根据完全平方差公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可知$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$，因此：
原式$= -(m-n)^2$
方法2：逐一展开选项验证
A选项：$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，和题干结果不符，排除；
B选项：$-(m-n)^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) = -m^2 + 2mn - n^2 = 2mn - m^2 - n^2$，和题干结果一致；
C选项：$-(m+n)^2 = -(m^2 + 2mn + n^2) = -m^2 - 2mn - n^2$，和题干结果不符，排除；
D选项：$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，和题干结果不符，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，整式化简
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，两种解题方法都很常用，运算过程中符号的处理是易错点，需要格外注意。
【难度系数】
0.8

4. 计算$(a+b)^2 - (a-b)^2$的结果是 【 】

A.$2a^2 + 2b^2$
B.$4ab$
C.$-4ab$
D.$4b^2$

B

【分析】
本题是整式化简计算类题目，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开规则，分别将$(a+b)^2$和$(a-b)^2$展开为多项式形式，再代入原式做减法运算；去括号时注意括号前为负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到化简结果。也可将$(a+b)$、$(a-b)$看作整体，用平方差公式因式分解计算，两种方法均符合课标要求。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\&=4ab\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、整式的加减运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查对完全平方公式的掌握程度，易错点是去括号时忽略符号变化，熟练掌握公式和去括号法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

5. 若$x^2 + mx + 25$是完全平方式，则$m$的值是 【 】

A.$\pm10$
B.$\pm5$
C.$10$
D.$5$

A

【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构：完全平方式分为两数和的平方、两数差的平方两种，通用结构为$a^2\pm2ab+b^2$。观察题目给出的多项式$x^2+mx+25$，先确定平方项对应的底数：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；常数项25是$5^2$，对应$b^2$，即$b=5$。中间项$mx$对应$\pm2ab$，通过系数对应即可求出$m$的值，注意不要遗漏差的平方对应的负系数情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$x^2+mx+25$是完全平方式，将其与公式结构对比：
$x^2=x^2$，$25=5^2$，因此中间项满足：
$mx=\pm2× x×5=\pm10x$
对比等式两边系数，可得$m=\pm10$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的判定
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的易错点是容易忽略两数差的平方的情况，只算出$m=10$而漏选负的情况，学习时要牢记完全平方式的两种形式。
【难度系数】
0.8

6. 计算:
(1) $(1+4a)^2 = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $(-5+3y)^2 = \_\_\_\_\_\_$;
(3) $(x^2 - 6y)^2 = \_\_\_\_\_\_$;
(4) $(-2x - \dfrac{1}{3})^2 = \_\_\_\_\_\_$;
(5) $(2a+1)^2 - 4a(a-1) = \_\_\_\_\_\_$.

(1) $1+8a+16a^2$ (2) $25-30y+9y^2$ (3) $x^4-12x^2y+36y^2$ (4) $4x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}$ (5) $8a+1$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用及整式的混合运算，解题时先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。前4个小题直接套用公式展开即可，展开时先确定公式中$a$、$b$对应的项，注意符号不要出错；第(5)小题先分别按照完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式计算：
$(1+4a)^2=1^2+2×1×4a+(4a)^2=1+8a+16a^2$
(2) 将式子变形为$(3y-5)^2$，根据完全平方差公式计算：
$(-5+3y)^2=(3y-5)^2=(3y)^2-2×3y×5+5^2=9y^2-30y+25=25-30y+9y^2$
(3) 根据完全平方差公式计算：
$(x^2-6y)^2=(x^2)^2-2× x^2×6y+(6y)^2=x^4-12x^2y+36y^2$
(4) 先提取负号，平方后负号消除，再根据完全平方和公式计算：
$(-2x-\frac{1}{3})^2=(2x+\frac{1}{3})^2=(2x)^2+2×2x×\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2=4x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}$
(5) 先分别展开两个整式，再合并同类项：
$(2a+1)^2=4a^2+4a+1$，$4a(a-1)=4a^2-4a$
原式$=4a^2+4a+1-(4a^2-4a)=4a^2+4a+1-4a^2+4a=8a+1$
【答案】
(1) $1+8a+16a^2$ (2) $25-30y+9y^2$ (3) $x^4-12x^2y+36y^2$ (4) $4x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}$ (5) $8a+1$
【知识点】
完全平方公式、整式的混合运算、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，展开时要注意各项的符号和系数，进行混合运算时要遵守运算顺序，去括号时谨防符号出错。
【难度系数】
0.8

7. 已知$a+b=7$，$ab=5$，则$a^2 + b^2 =$。

7. 39

【分析】
本题已知$a+b$与$ab$的数值，要求$a^2+b^2$的值，可联想完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对公式进行移项变形，就能将$a^2+b^2$用已知的$a+b$和$ab$表示，最后代入数值计算即可得到结果。解题步骤可分为：第一步回忆完全平方公式，第二步对公式做变形得到$a^2+b^2$的表达式，第三步代入已知条件计算。
【解析】
根据完全平方和公式：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
对公式移项变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=7$，$ab=5$代入上式计算：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 &= 7^2 - 2×5 \\&= 49 - 10 \\&= 39\end{aligned}$
【答案】
39
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，无需死记硬背变形结论，从原始公式推导即可快速得到所求式子的表达式，代入数值细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

8. 填空:(1) $a^2 + 6a + \_\_\_\_\_\_ = (a + \_\_\_\_\_\_)^2$; (2) $4x^2 - 20x + \_\_\_\_\_\_ = (2x - \_\_\_\_\_\_)^2$.

8. (1) 9 3 (2) 25 5

【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构：$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，公式左侧二次三项式满足“首平方、尾平方，首尾乘积2倍在中央”的特征。对于每道小题，先根据已知的平方项确定公式中的$m$，再用一次项除以$2m$得到$n$，最后计算$n^2$即为需要补充的常数项，$n$就是括号内要填的数。
【解析】
我们根据完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$来求解：
(1) 对比$a^2 + 6a + \_\_\_\_\_\_ = (a+\_\_\_\_\_\_)^2$，可知此处$m=a$，中间项$2mn=6a$：
将$m=a$代入得$2· a · n =6a$，解得$n=3$，则$n^2=3^2=9$，因此第一个空填9，第二个空填3。
(2) 对比$4x^2 -20x + \_\_\_\_\_\_ = (2x-\_\_\_\_\_\_)^2$，可知此处$m=2x$，中间项绝对值为$2mn=20x$：
将$m=2x$代入得$2· 2x · n=20x$，解得$n=5$，则$n^2=5^2=25$，因此第一个空填25，第二个空填5。
【答案】
(1) 9；3 (2) 25；5
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是对完全平方公式结构的基础考查，熟练掌握公式三项的对应关系是解题的核心，借助“首平方、尾平方，首尾乘积2倍在中央”的口诀可快速定位对应项，提高解题效率。
【难度系数】
0.9

9. 计算:
(1) $(-4a + 3b)^2$;
(2) $(\frac{1}{2}x + 2y)^2 + (\frac{1}{2}x - 2y)^2$;
(3) $(3 + y)^2 - (3 - y)^2$;
(4) $(a - b + c)^2$.

(1) $16a^2-24ab+9b^2$ (2) $\frac{1}{2}x^2+8y^2$ (3) $12y$ (4) $a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先牢记完全平方公式：$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$；1. 对于单组完全平方的计算（如第(1)题），先确定式子中对应公式里的m和n，注意符号，直接套用公式展开化简即可；2. 对于两个完全平方相加/减的题型（如第(2)(3)题），可分别套用公式展开，再合并同类项，注意交叉项会出现抵消的情况，可简化计算；3. 对于三项的平方计算（如第(4)题），可将其中两项看作一个整体，转化为两数和的平方形式，先套用公式展开，再对整体部分进一步展开化简。
【解析】
(1) 套用完全平方公式，将$-4a$看作$m$，$3b$看作$n$：
$\begin{aligned}(-4a + 3b)^2&=(-4a)^2 + 2×(-4a)×3b + (3b)^2\\&=16a^2 -24ab +9b^2\end{aligned}$
(2) 分别展开两个完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2}x + 2y)^2 + (\frac{1}{2}x - 2y)^2&=(\frac{1}{4}x^2 + 2xy +4y^2) + (\frac{1}{4}x^2 -2xy +4y^2)\\&=\frac{1}{4}x^2 + 2xy +4y^2 + \frac{1}{4}x^2 -2xy +4y^2\\&=\frac{1}{2}x^2 +8y^2\end{aligned}$
(3) 分别展开两个完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}(3 + y)^2 - (3 - y)^2&=(9 +6y + y^2) - (9 -6y + y^2)\\&=9 +6y + y^2 -9 +6y - y^2\\&=12y\end{aligned}$
(4) 将$a-b$看作整体，套用完全平方公式后再展开：
$\begin{aligned}(a - b + c)^2&=[(a-b)+c]^2\\&=(a-b)^2 +2×(a-b)× c +c^2\\&=a^2 -2ab +b^2 +2ac -2bc +c^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $16a^2-24ab+9b^2$；(2) $\frac{1}{2}x^2+8y^2$；(3) $12y$；(4) $a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；整体代换思想
【点评】
本题是完全平方公式的常规应用题型，解题核心是准确识别公式中对应的“a”和“b”，注意符号不要出错，对于多项平方的计算，合理使用整体思想可有效降低出错率，熟练掌握公式变形能进一步提升计算效率。
【难度系数】
0.75