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14. 为了运用平方差公式计算$(x + 3y - z)(x - 3y + z)$，下列变形中正确的是【 】
A.$[x - (3y + z)]^2$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x - (3y - z)][x + (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x - 3y) + z]$
A.$[x - (3y + z)]^2$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x - (3y - z)][x + (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x - 3y) + z]$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构特征：两个多项式相乘，存在完全相同的项，以及互为相反数的项，可写成$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$的形式。第一步先从原式两个括号中找出相同的项，再把剩余部分看作整体，变形为互为相反数的形式，变形时要遵循添括号的符号规则，即可得到符合平方差公式的变形。
【解析】
平方差公式的标准形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，特征是两个因式中有完全相同的项$a$，以及互为相反数的项$b$和$-b$。
对原式$(x + 3y - z)(x - 3y + z)$分析：
1. 确定相同项：两个括号中均有$x$，即$a=x$；
2. 处理剩余部分：第一个括号剩余$3y-z$，第二个括号剩余$-3y+z=-(3y-z)$，可将$3y-z$看作整体，即$b=3y-z$；
因此原式可变形为$[x + (3y - z)][x - (3y - z)]$，符合平方差公式结构。
逐一分析选项：
A选项为完全平方形式，不符合平方差公式的特征，错误；
B选项中两个因式的相同项为$x-3y$，剩余项均为$+z$，不是互为相反数，错误；
C选项与推导的变形一致，正确；
D选项两个因式没有统一的相同项，不符合平方差公式结构，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，变形时要注意添括号时若括号前为负号，括号内各项均要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆平方差公式的结构特征：两个多项式相乘，存在完全相同的项，以及互为相反数的项，可写成$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$的形式。第一步先从原式两个括号中找出相同的项，再把剩余部分看作整体，变形为互为相反数的形式，变形时要遵循添括号的符号规则，即可得到符合平方差公式的变形。
【解析】
平方差公式的标准形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，特征是两个因式中有完全相同的项$a$，以及互为相反数的项$b$和$-b$。
对原式$(x + 3y - z)(x - 3y + z)$分析：
1. 确定相同项：两个括号中均有$x$，即$a=x$；
2. 处理剩余部分：第一个括号剩余$3y-z$，第二个括号剩余$-3y+z=-(3y-z)$，可将$3y-z$看作整体，即$b=3y-z$；
因此原式可变形为$[x + (3y - z)][x - (3y - z)]$，符合平方差公式结构。
逐一分析选项：
A选项为完全平方形式，不符合平方差公式的特征，错误；
B选项中两个因式的相同项为$x-3y$，剩余项均为$+z$，不是互为相反数，错误；
C选项与推导的变形一致，正确；
D选项两个因式没有统一的相同项，不符合平方差公式结构，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，变形时要注意添括号时若括号前为负号，括号内各项均要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
15. 计算：$(x + 3y)(x^2 + 9y^2)(x - 3y) = \underline{\hspace{10cm}}.$
答案
$x^4 - 81y^4$
解析
【分析】
首先观察式子的结构，发现因式中存在$(x+3y)$和$(x-3y)$，恰好符合平方差公式“两数和乘以这两数的差”的形式，因此可以利用乘法交换律调整因式的运算顺序，先计算这两个因式的乘积，简化运算后，再和剩余的$(x^2+9y^2)$相乘，再次运用平方差公式即可得到最终结果，避免直接逐项展开多项式带来的繁琐计算和错误。
【解析】
$\begin{aligned}&(x + 3y)(x^2 + 9y^2)(x - 3y)\\=&(x + 3y)(x - 3y)(x^2 + 9y^2)\\=&[x^2 - (3y)^2](x^2 + 9y^2)\\=&(x^2 - 9y^2)(x^2 + 9y^2)\\=&(x^2)^2 - (9y^2)^2\\=&x^4 - 81y^4\end{aligned}$
【答案】
$x^4 - 81y^4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，幂的乘方运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是先观察式子特征，通过调整因式运算顺序，多次运用平方差公式简化计算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
首先观察式子的结构，发现因式中存在$(x+3y)$和$(x-3y)$，恰好符合平方差公式“两数和乘以这两数的差”的形式，因此可以利用乘法交换律调整因式的运算顺序，先计算这两个因式的乘积，简化运算后，再和剩余的$(x^2+9y^2)$相乘，再次运用平方差公式即可得到最终结果，避免直接逐项展开多项式带来的繁琐计算和错误。
【解析】
$\begin{aligned}&(x + 3y)(x^2 + 9y^2)(x - 3y)\\=&(x + 3y)(x - 3y)(x^2 + 9y^2)\\=&[x^2 - (3y)^2](x^2 + 9y^2)\\=&(x^2 - 9y^2)(x^2 + 9y^2)\\=&(x^2)^2 - (9y^2)^2\\=&x^4 - 81y^4\end{aligned}$
【答案】
$x^4 - 81y^4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，幂的乘方运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是先观察式子特征，通过调整因式运算顺序，多次运用平方差公式简化计算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
16. 甲方为建设一项目，准备向乙方租赁一块边长为$a\ \mathrm{km}(a ＞ 0.5)$的正方形土地，乙方的场地租赁费为每年每平方千米30万元。后来甲方因为项目调整，需要将正方形场地的一边长增加500 m，另一边长减少500 m，乙方说：“增加的边长和减少的边长一样，所以每年租金不用调整。”乙方的说法合理吗？如果不合理，请计算出甲方应付的租金如何调整。
答案
16. 乙方的说法不合理. 理由如下:边长为$a\ \mathrm{km}(a ＞ 0.5)$的正方形土地的面积为$a^2\ \mathrm{km}^2$,$\because$乙方的场地租赁费为每年每平方千米30万元,$\therefore$甲方每年应付的场地租赁费为$30a^2$万元. 当正方形场地的一边长增加500 m,另一边长减少500 m时,租地的面积为: $(a + 0.5)(a - 0.5)=(a^2 - 0.25)\ \mathrm{km}^2$,$\therefore$租地的面积减少了$0.25\ \mathrm{km}^2$,$\therefore$每年租金应减少$0.25×30=7.5$(万元). $\therefore$乙方的说法不合理,甲方应少付租金7.5万元.
解析
【分析】
要判断乙方说法是否合理，本质是比较场地调整前后的面积是否相等，租金随面积变化而调整。解题时首先统一单位，将500m换算为0.5km；接着分别计算原正方形场地的面积和调整后长方形场地的面积，调整后的长和宽分别为(a+0.5)km和(a-0.5)km，可利用平方差公式快速计算面积；最后计算面积差，乘以每平方千米的租金即可得到租金的调整额度。
【解析】
首先统一单位：$\mathrm{500\ m = 0.5\ km}$。
1. 计算原正方形场地的面积与原租金：
原正方形边长为$a\ \mathrm{km}$，面积为$a^2\ \mathrm{km}^2$，每年应付租金为$30 × a^2 = 30a^2$万元。
2. 计算调整后长方形场地的面积：
调整后一边长为$(a+0.5)\ \mathrm{km}$，另一边长为$(a-0.5)\ \mathrm{km}$，根据平方差公式可得：
$(a+0.5)(a-0.5) = a^2 - 0.5^2 = a^2 - 0.25\ \mathrm{km}^2$
3. 计算面积差与租金调整额：
调整后面积比原面积减少了$a^2 - (a^2 - 0.25) = 0.25\ \mathrm{km}^2$，
对应每年租金减少：$0.25 × 30 = 7.5$万元。
因此乙方说法不合理，甲方每年租金应减少7.5万元。
【答案】
乙方的说法不合理，甲方每年应少付租金7.5万元。
【知识点】
平方差公式，面积计算，代数式的实际应用
【点评】
本题结合生活租赁场景考查数学知识的应用，解题核心是将租金调整问题转化为面积差的计算，需要注意计算前统一单位，避免因单位不一致出现错误，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
要判断乙方说法是否合理，本质是比较场地调整前后的面积是否相等，租金随面积变化而调整。解题时首先统一单位，将500m换算为0.5km；接着分别计算原正方形场地的面积和调整后长方形场地的面积，调整后的长和宽分别为(a+0.5)km和(a-0.5)km，可利用平方差公式快速计算面积；最后计算面积差，乘以每平方千米的租金即可得到租金的调整额度。
【解析】
首先统一单位：$\mathrm{500\ m = 0.5\ km}$。
1. 计算原正方形场地的面积与原租金：
原正方形边长为$a\ \mathrm{km}$，面积为$a^2\ \mathrm{km}^2$，每年应付租金为$30 × a^2 = 30a^2$万元。
2. 计算调整后长方形场地的面积：
调整后一边长为$(a+0.5)\ \mathrm{km}$，另一边长为$(a-0.5)\ \mathrm{km}$，根据平方差公式可得：
$(a+0.5)(a-0.5) = a^2 - 0.5^2 = a^2 - 0.25\ \mathrm{km}^2$
3. 计算面积差与租金调整额：
调整后面积比原面积减少了$a^2 - (a^2 - 0.25) = 0.25\ \mathrm{km}^2$，
对应每年租金减少：$0.25 × 30 = 7.5$万元。
因此乙方说法不合理，甲方每年租金应减少7.5万元。
【答案】
乙方的说法不合理，甲方每年应少付租金7.5万元。
【知识点】
平方差公式，面积计算，代数式的实际应用
【点评】
本题结合生活租赁场景考查数学知识的应用，解题核心是将租金调整问题转化为面积差的计算，需要注意计算前统一单位，避免因单位不一致出现错误，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
17. 先化简,再求值:$(2m-n)(2m+n)-(-m+5n)(-5n-m)$,其中$m=-3$, $n=2.$
答案
原式$=3m^2 + 24n^2$. 当$m=-3,n=2$时,原式$=3×(-3)^2 + 24×2^2=123$
解析
【分析】
本题属于整式化简求值题，解题思路为：首先观察式子中两个乘积项的结构，均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此先利用平方差公式分别展开两个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$m$和$n$的值代入最简式计算即可得到答案。运用平方差公式展开能简化计算，避免多项式乘多项式的繁琐运算。
【解析】
第一步：利用平方差公式展开两个乘积项
对于$(2m-n)(2m+n)$，对应公式中$a=2m$，$b=n$，因此：
$(2m-n)(2m+n)=(2m)^2 - n^2=4m^2 - n^2$
对于$(-m+5n)(-5n-m)$，调整项的顺序为$(-m+5n)(-m-5n)$，对应公式中$a=-m$，$b=5n$，因此：
$(-m+5n)(-m-5n)=(-m)^2 - (5n)^2=m^2 - 25n^2$
第二步：代入原式去括号、合并同类项
原式$=(4m^2 - n^2) - (m^2 - 25n^2)$
$=4m^2 - n^2 - m^2 + 25n^2$
$=3m^2 + 24n^2$
第三步：代值计算
将$m=-3$，$n=2$代入化简后的式子：
原式$=3× (-3)^2 + 24× 2^2$
$=3×9 + 24×4$
$=27 + 96$
$=123$
【答案】
化简结果为$3m^2+24n^2$，求值结果为$123$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题核心考查平方差公式的运用，解题关键是准确识别平方差公式“两数和乘两数差”的结构特征，展开时要注意项的符号，去括号和代值计算时也要避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值题，解题思路为：首先观察式子中两个乘积项的结构，均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此先利用平方差公式分别展开两个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$m$和$n$的值代入最简式计算即可得到答案。运用平方差公式展开能简化计算，避免多项式乘多项式的繁琐运算。
【解析】
第一步：利用平方差公式展开两个乘积项
对于$(2m-n)(2m+n)$，对应公式中$a=2m$，$b=n$，因此：
$(2m-n)(2m+n)=(2m)^2 - n^2=4m^2 - n^2$
对于$(-m+5n)(-5n-m)$，调整项的顺序为$(-m+5n)(-m-5n)$，对应公式中$a=-m$，$b=5n$，因此：
$(-m+5n)(-m-5n)=(-m)^2 - (5n)^2=m^2 - 25n^2$
第二步：代入原式去括号、合并同类项
原式$=(4m^2 - n^2) - (m^2 - 25n^2)$
$=4m^2 - n^2 - m^2 + 25n^2$
$=3m^2 + 24n^2$
第三步：代值计算
将$m=-3$，$n=2$代入化简后的式子：
原式$=3× (-3)^2 + 24× 2^2$
$=3×9 + 24×4$
$=27 + 96$
$=123$
【答案】
化简结果为$3m^2+24n^2$，求值结果为$123$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题核心考查平方差公式的运用，解题关键是准确识别平方差公式“两数和乘两数差”的结构特征，展开时要注意项的符号，去括号和代值计算时也要避免符号错误。
【难度系数】
0.8
18. 你能确定$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)···(2^{64}+1)$的个位数字吗？试试看.
答案
18. 原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)\dots(2^{64}+1)=2^{128}-1$. $\because 2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,\dots,\therefore 2^{128}$的个位数字为6. $\therefore 2^{128}-1$的个位数字为5.
解析
【分析】
观察算式结构，每个因式均为“2的2的整数次幂加1”的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的结构，我们可以在算式最前面乘$(2-1)$（其值为1，不会改变原式的大小），从而可以连续运用平方差公式对原式进行化简，得到最简形式后，再探究2的正整数次幂的个位数字的循环规律，即可求出结果的个位数字。
【解析】
解：在原式前乘$(2-1)=1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&\dots\\&=2^{128}-1\end{aligned}$
接下来探究2的正整数次幂的个位数字规律：
$\because 2^1=2$，个位数字为2；
$2^2=4$，个位数字为4；
$2^3=8$，个位数字为8；
$2^4=16$，个位数字为6；
$2^5=32$，个位数字为2；
……
$\therefore$2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期为4。
$\because 128÷4=32$，余数为0，
$\therefore 2^{128}$的个位数字与$2^4$的个位数字相同，为6。
$\therefore 2^{128}-1$的个位数字为$6-1=5$。
【答案】
个位数字为5
【知识点】
平方差公式；乘方的规律探究
【点评】
本题巧妙结合了平方差公式的运用和乘方个位数字的规律探究，解题的突破口是主动构造$(2-1)$来创造平方差公式的使用条件，技巧性较强，能很好地考查对公式的灵活运用能力和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
观察算式结构，每个因式均为“2的2的整数次幂加1”的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的结构，我们可以在算式最前面乘$(2-1)$（其值为1，不会改变原式的大小），从而可以连续运用平方差公式对原式进行化简，得到最简形式后，再探究2的正整数次幂的个位数字的循环规律，即可求出结果的个位数字。
【解析】
解：在原式前乘$(2-1)=1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{64}+1)\\&\dots\\&=2^{128}-1\end{aligned}$
接下来探究2的正整数次幂的个位数字规律：
$\because 2^1=2$，个位数字为2；
$2^2=4$，个位数字为4；
$2^3=8$，个位数字为8；
$2^4=16$，个位数字为6；
$2^5=32$，个位数字为2；
……
$\therefore$2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期为4。
$\because 128÷4=32$，余数为0，
$\therefore 2^{128}$的个位数字与$2^4$的个位数字相同，为6。
$\therefore 2^{128}-1$的个位数字为$6-1=5$。
【答案】
个位数字为5
【知识点】
平方差公式；乘方的规律探究
【点评】
本题巧妙结合了平方差公式的运用和乘方个位数字的规律探究，解题的突破口是主动构造$(2-1)$来创造平方差公式的使用条件，技巧性较强，能很好地考查对公式的灵活运用能力和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
