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10. 利用平方差公式简便计算：
(1) $20\frac{1}{3} × 19\frac{2}{3}$；
(2) $13.2 × 12.8$。
(1) $20\frac{1}{3} × 19\frac{2}{3}$；
(2) $13.2 × 12.8$。
答案
10. (1) 原式$=(20+\dfrac{1}{3})×(20-\dfrac{1}{3})=20^2-(\dfrac{1}{3})^2=399\dfrac{8}{9}$ (2) 原式$=(13+0.2)×(13-0.2)=13^2-0.2^2=168.96$
解析
【分析】
要使用平方差公式简便计算，首先回忆平方差公式结构：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是将两个相乘的数转化为“同一个数加一个数”和“同一个数减同一个数”的形式：
1. 对于第(1)题，$20\frac{1}{3}$和$19\frac{2}{3}$都接近20，可拆分为$20+\frac{1}{3}$和$20-\frac{1}{3}$，刚好符合平方差公式的结构，其中$a=20$，$b=\frac{1}{3}$；
2. 对于第(2)题，$13.2$和$12.8$都接近13，可拆分为$13+0.2$和$13-0.2$，符合平方差公式结构，其中$a=13$，$b=0.2$；
最后代入公式计算即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(20+\frac{1}{3})×(20-\frac{1}{3})\\&=20^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=400 - \frac{1}{9}\\&=399\frac{8}{9}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(13+0.2)×(13-0.2)\\&=13^2 - 0.2^2\\&=169 - 0.04\\&=168.96\end{aligned}$
【答案】
(1) $399\dfrac{8}{9}$；(2) $168.96$
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在简便计算中的应用，解题关键是观察相乘两数的数字特征，快速找到共同的基准数，将原式转化为平方差公式的标准形式，大幅降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
要使用平方差公式简便计算，首先回忆平方差公式结构：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是将两个相乘的数转化为“同一个数加一个数”和“同一个数减同一个数”的形式：
1. 对于第(1)题，$20\frac{1}{3}$和$19\frac{2}{3}$都接近20，可拆分为$20+\frac{1}{3}$和$20-\frac{1}{3}$，刚好符合平方差公式的结构，其中$a=20$，$b=\frac{1}{3}$；
2. 对于第(2)题，$13.2$和$12.8$都接近13，可拆分为$13+0.2$和$13-0.2$，符合平方差公式结构，其中$a=13$，$b=0.2$；
最后代入公式计算即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(20+\frac{1}{3})×(20-\frac{1}{3})\\&=20^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=400 - \frac{1}{9}\\&=399\frac{8}{9}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(13+0.2)×(13-0.2)\\&=13^2 - 0.2^2\\&=169 - 0.04\\&=168.96\end{aligned}$
【答案】
(1) $399\dfrac{8}{9}$；(2) $168.96$
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在简便计算中的应用，解题关键是观察相乘两数的数字特征，快速找到共同的基准数，将原式转化为平方差公式的标准形式，大幅降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
11. 下列计算中,正确的是 【 】
A.$(a+3)(a-3)=a^2 - 3$
B.$(3b+2)(3b-2)=3b^2 - 4$
C.$(x+2)(x-3)=x^2 - 6$
D.$(3m - 2n)(-2n - 3m)=4n^2 - 9m^2$
A.$(a+3)(a-3)=a^2 - 3$
B.$(3b+2)(3b-2)=3b^2 - 4$
C.$(x+2)(x-3)=x^2 - 6$
D.$(3m - 2n)(-2n - 3m)=4n^2 - 9m^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式乘法的正误判断，解题思路为：先回忆平方差公式的结构特征（两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方），对符合平方差结构的选项用公式计算验证；对不符合平方差结构的选项，用多项式乘多项式的法则展开计算，逐一对比每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由平方差公式可得：$(a+3)(a-3)=a^2 - 3^2 = a^2 - 9 ≠ a^2 - 3$，故A错误；
B. 由平方差公式可得：$(3b+2)(3b-2)=(3b)^2 - 2^2 = 9b^2 - 4 ≠ 3b^2 - 4$，故B错误；
C. 由多项式乘多项式法则展开：$(x+2)(x-3)=x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 ≠ x^2 - 6$，故C错误；
D. 先变形为符合平方差的结构：$(3m - 2n)(-2n - 3m)=(-2n + 3m)(-2n - 3m)$，由平方差公式可得：$(-2n)^2 - (3m)^2 = 4n^2 - 9m^2$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，解题核心是准确把握平方差公式的结构特征，计算时要注意不要出现系数漏平方、多项式相乘漏乘项等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法的正误判断，解题思路为：先回忆平方差公式的结构特征（两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方），对符合平方差结构的选项用公式计算验证；对不符合平方差结构的选项，用多项式乘多项式的法则展开计算，逐一对比每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由平方差公式可得：$(a+3)(a-3)=a^2 - 3^2 = a^2 - 9 ≠ a^2 - 3$，故A错误；
B. 由平方差公式可得：$(3b+2)(3b-2)=(3b)^2 - 2^2 = 9b^2 - 4 ≠ 3b^2 - 4$，故B错误；
C. 由多项式乘多项式法则展开：$(x+2)(x-3)=x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 ≠ x^2 - 6$，故C错误；
D. 先变形为符合平方差的结构：$(3m - 2n)(-2n - 3m)=(-2n + 3m)(-2n - 3m)$，由平方差公式可得：$(-2n)^2 - (3m)^2 = 4n^2 - 9m^2$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，解题核心是准确把握平方差公式的结构特征，计算时要注意不要出现系数漏平方、多项式相乘漏乘项等常见错误。
【难度系数】
0.8
12. 计算$2025^2 - 2024 × 2026$的结果是 【
A.0
B.1
C.$-1$
D.$2×2025^2 -1$
B
】A.0
B.1
C.$-1$
D.$2×2025^2 -1$
答案
12. B
解析
【分析】
观察算式可发现，2024和2026分别与2025相差1，因此可将2024转化为$2025-1$，2026转化为$2025+1$，此时乘积$2024×2026$符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后再与$2025^2$合并计算，就能快速得到结果，无需计算大数的平方和乘积。
【解析】
解：$2025^2 - 2024 × 2026$
$=2025^2 - (2025 - 1)(2025 + 1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2025 - 1)(2025 + 1)=2025^2 - 1^2 = 2025^2 - 1$
代入原式计算：
$=2025^2 - (2025^2 - 1)$
$=2025^2 - 2025^2 + 1$
$=1$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式化简计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过对算式中相近数字的合理变形，将复杂的大数乘法转化为平方差公式的形式计算，能有效降低运算量、避免计算错误，是整式乘法的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
观察算式可发现，2024和2026分别与2025相差1，因此可将2024转化为$2025-1$，2026转化为$2025+1$，此时乘积$2024×2026$符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后再与$2025^2$合并计算，就能快速得到结果，无需计算大数的平方和乘积。
【解析】
解：$2025^2 - 2024 × 2026$
$=2025^2 - (2025 - 1)(2025 + 1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2025 - 1)(2025 + 1)=2025^2 - 1^2 = 2025^2 - 1$
代入原式计算：
$=2025^2 - (2025^2 - 1)$
$=2025^2 - 2025^2 + 1$
$=1$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式化简计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过对算式中相近数字的合理变形，将复杂的大数乘法转化为平方差公式的形式计算，能有效降低运算量、避免计算错误，是整式乘法的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分),通过计算两个图形中阴影部分的面积,可以验证的一个等式是 【 】
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$a(a - b) = a^2 - ab$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = a^2 + ab$
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$a(a - b) = a^2 - ab$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = a^2 + ab$
答案
A
解析
【分析】
解题时我们可以通过分别计算两个图形阴影部分的面积，利用阴影部分面积相等推导对应的等式。第一步先计算左图阴影面积：左图是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减小正方形面积。第二步计算右图拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长×宽计算面积。最后令两个面积相等，就能得到对应的验证等式。
【解析】
首先计算左图阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，挖掉的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1 = a^2 - b^2$。
再计算右图拼接后长方形的面积：
观察图形可得，拼接后的长方形长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此长方形面积$S_2 = (a+b)(a-b)$。
由于两个图形的阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；几何图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形面积的计算验证代数恒等式，将抽象的乘法公式和直观的图形面积结合，能帮助我们更好地理解平方差公式的几何意义，解题核心是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以通过分别计算两个图形阴影部分的面积，利用阴影部分面积相等推导对应的等式。第一步先计算左图阴影面积：左图是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减小正方形面积。第二步计算右图拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长×宽计算面积。最后令两个面积相等，就能得到对应的验证等式。
【解析】
首先计算左图阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，挖掉的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1 = a^2 - b^2$。
再计算右图拼接后长方形的面积：
观察图形可得，拼接后的长方形长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此长方形面积$S_2 = (a+b)(a-b)$。
由于两个图形的阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；几何图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形面积的计算验证代数恒等式，将抽象的乘法公式和直观的图形面积结合，能帮助我们更好地理解平方差公式的几何意义，解题核心是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点。
【难度系数】
0.8
