13.（天津中考）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）。某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A、E、C依次在同一条水平直线上，$CD ⊥ AC$，$EF ⊥ AC$，且$CD=EF=1.7\ \mathrm{m}$。在点D处测得世纪钟建筑顶部点B的仰角为$22°$，在点F处测得世纪钟建筑顶部点B的仰角为$31°$，$CE=32\ \mathrm{m}$。根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度。（结果取整数。参考数据：$\tan22° \approx 0.4$，$\tan31° \approx 0.6$）

13. 如图,延长 DF 与AB 相交于点G. 根据题意,得 DG // CA,则 ∠GDB=22°, ∠GFB=31°,∠DGB=90°, AG=EF=CD=1.7 m, DF=CE=32 m. 在Rt△FGB 中,$\tan∠GFB=\dfrac{GB}{GF}$,$\therefore GF=\dfrac{GB}{\tan31°}$. 在Rt△DGB 中,$\tan∠GDB=\dfrac{GB}{GD}$,$\therefore GD=\dfrac{GB}{\tan22°}$.$\because GF+DF=GD$,$\therefore \dfrac{GB}{\tan31°}+32=\dfrac{GB}{\tan22°}$.$\therefore GB=\dfrac{32\tan22°\tan31°}{\tan31°-\tan22°}\approx\dfrac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}=38.4\ \mathrm{m}$.$\therefore AB=AG+GB\approx1.7+38.4\approx40(\mathrm{m})$. 即世纪钟建筑 AB 的高度约为40m

【分析】
这是利用仰角测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先构造辅助线，延长DF交AB于点G，可得DG为水平线，形成两个含公共直角边BG的直角三角形$\mathrm{Rt}△ FGB$和$\mathrm{Rt}△ DGB$。明确已知条件：测角仪高度$EF=CD=1.7\ \mathrm{m}$，两点水平距离$CE=DF=32\ \mathrm{m}$，两个仰角分别为$31°$和$22°$。再利用锐角正切函数，分别用BG表示出GF和GD的长度，根据$GD=GF+DF$的等量关系列方程求出BG的长度，最后AB的高度为BG与AG（AG等于测角仪高度）的和，计算取整即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长DF与AB相交于点G。
根据题意，得$DG // AC$，则$∠ GDB=22°$，$∠ GFB=31°$，$∠ DGB=90°$，$AG=EF=CD=1.7\ \mathrm{m}$，$DF=CE=32\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ FGB$中，$\tan∠ GFB=\dfrac{GB}{GF}$，$\therefore GF=\dfrac{GB}{\tan31°}$。
在$\mathrm{Rt}△ DGB$中，$\tan∠ GDB=\dfrac{GB}{GD}$，$\therefore GD=\dfrac{GB}{\tan22°}$。
$\because GF+DF=GD$，$\therefore \dfrac{GB}{\tan31°}+32=\dfrac{GB}{\tan22°}$。
代入数据$\tan22° \approx 0.4$，$\tan31° \approx 0.6$，解得：
$GB=\dfrac{32\tan22°\tan31°}{\tan31°-\tan22°}\approx\dfrac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}=38.4\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AG+GB\approx1.7+38.4\approx40(\mathrm{m})$。
【答案】
世纪钟建筑AB的高度约为40m

【知识点】
解直角三角形应用，正切函数，仰角问题
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造直角三角形，找到边长之间的等量关系建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6

14.（滨州中考）【活动背景】如图，建筑物AC、BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC、BD的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为150 m，用测角仪在点C处测得点D的俯角为$35°$，测得点B的俯角为$43°$.
【问题解决】（1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC、BD的高度；（结果保留整数.参考数据：$\sin35°\approx0.57$，$\cos35°\approx0.82$，$\tan35°\approx0.70$，$\sin43°\approx0.68$，$\cos43°\approx0.73$，$\tan43°\approx0.93$）
（2）请再设计一种测量建筑物AC、BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC、BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）

14. (1) 如图①,过点 D 作 DE ⊥ AC 于点E,则四边形 ABDE 是矩形. 由题意可知,AB=150 m, ∠CDE=35°, ∠ABC=43°.
∴DE=AB=150 m, AE=BD. 在Rt△ABC 中,$\tan∠ABC=\dfrac{AC}{AB}$,$\therefore AC=AB\tan∠ABC=AB·\tan43°\approx150×0.93\approx140(\mathrm{m})$. 在Rt△CDE 中,$\tan∠CDE=\dfrac{CE}{DE}$,$\therefore CE=DE\tan35°\approx150×0.70=105(\mathrm{m})$.$\therefore AE=AC-CE=35(\mathrm{m})$.$\therefore BD=AE=35\mathrm{m}$. 即建筑物 AC 的高度约为140 m,建筑物 BD 的高度约为35 m (2) 平面示意图如图②所示. 用皮尺测得 A、B 之间的水平距离为a m,用测角仪在 A 处测得点 D 的仰角为α,在 B 处测得点 C 的仰角为β. 在Rt△ABC 中,$AC=(AB·\tanβ)\mathrm{m}$. 在Rt△ABD 中,$BD=(AB·\tanα)\mathrm{m}$

【分析】
(1) 求解建筑物高度需将已知俯角转化到直角三角形中计算：首先过点D作DE⊥AC，可得矩形ABDE，将已知的AB=150m转化为DE的长度，同时得到AE=BD；再分别在Rt△ABC和Rt△CDE中，利用正切函数的定义求出AC和CE的长度，最后通过AC-CE得到AE即BD的长度。
(2) 设计测量方案时，可利用仰角构造直角三角形：测量AB的水平距离，再分别在A、B两点测量对面建筑物顶部的仰角，即可通过正切函数表示出两个建筑物的高度。
【解析】
(1) 如图①，过点D作DE⊥AC于点E，则四边形ABDE是矩形。由题意得AB=150m，从C处测得D的俯角为35°，测得B的俯角为43°，因此∠CDE=35°，∠ABC=43°。
∴DE=AB=150m，AE=BD。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ABC=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore AC=AB·\tan43°\approx150×0.93\approx140(\mathrm{m})$。
在Rt△CDE中，$\tan∠ CDE=\dfrac{CE}{DE}$，
$\therefore CE=DE·\tan35°\approx150×0.70=105(\mathrm{m})$。
$\therefore AE=AC-CE\approx140-105=35(\mathrm{m})$，即$BD=AE\approx35\mathrm{m}$。
(2) 方案：平面示意图如图②所示，用皮尺测得A、B之间的水平距离为$a\ \mathrm{m}$，用测角仪在A处测得点D的仰角为$α$，在B处测得点C的仰角为$β$。
在Rt△ABC中，$AC=AB·\tanβ=a\tanβ\ (\mathrm{m})$；
在Rt△ABD中，$BD=AB·\tanα=a\tanα\ (\mathrm{m})$。
（方案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 建筑物AC的高度约为140m，建筑物BD的高度约为35m；
(2) 平面示意图如图②所示，测得AB水平距离为$a\ \mathrm{m}$，A处测D的仰角为$α$，B处测C的仰角为$β$，则$AC=a\tanβ\ \mathrm{m}$，$BD=a\tanα\ \mathrm{m}$（方案合理即可）

【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，既需要学生掌握俯角、仰角的概念，能合理构造直角三角形利用三角函数求解线段长度，也考查了学生的方案设计能力，贴合实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.7