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8. (张家界期末)在$△ ABC$中,若$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 = 0$,则$∠ C$的度数是
【 】
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
【 】
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
答案
B
解析
【分析】
首先，绝对值和偶次平方都具有非负性，两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0，由此可得到sinA和cosB的具体值。接下来结合三角形内角的取值范围（0°＜内角＜180°），求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和为180°计算∠C的度数，注意要排除不符合内角和要求的∠A的取值。
【解析】
解：
∵ $\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| ≥ 0$，$( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 根据非负数的性质可得：
$\sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\cos B - \dfrac{1}{2} = 0$
即 $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{1}{2}$
∵ ∠A、∠B都是△ABC的内角，即$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$
∴ 由$\cos B = \dfrac{1}{2}$可得$∠ B = 60°$
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$可得$∠ A = 45°$或$∠ A = 135°$
若$∠ A = 135°$，则$∠ A + ∠ B = 135° + 60° = 195° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，舍去
∴ $∠ A = 45°$
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 60° = 75°$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质得到对应角的三角函数值，再结合三角形内角的取值范围确定角的大小，计算时要注意验证角的取值是否符合内角和要求，避免因多解出错。
【难度系数】
0.7
首先，绝对值和偶次平方都具有非负性，两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0，由此可得到sinA和cosB的具体值。接下来结合三角形内角的取值范围（0°＜内角＜180°），求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和为180°计算∠C的度数，注意要排除不符合内角和要求的∠A的取值。
【解析】
解：
∵ $\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| ≥ 0$，$( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 根据非负数的性质可得：
$\sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\cos B - \dfrac{1}{2} = 0$
即 $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{1}{2}$
∵ ∠A、∠B都是△ABC的内角，即$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$
∴ 由$\cos B = \dfrac{1}{2}$可得$∠ B = 60°$
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$可得$∠ A = 45°$或$∠ A = 135°$
若$∠ A = 135°$，则$∠ A + ∠ B = 135° + 60° = 195° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，舍去
∴ $∠ A = 45°$
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 60° = 75°$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质得到对应角的三角函数值，再结合三角形内角的取值范围确定角的大小，计算时要注意验证角的取值是否符合内角和要求，避免因多解出错。
【难度系数】
0.7
9. 计算：
(1) $\cos^2 30° · \tan 60° - 4\sin 30° + \tan 45°$；
(2) $\cos^2 45° - \frac{\cos 60°}{1 - \sin 30°} + \tan^2 45° - \tan^2 60°$。
(1) $\cos^2 30° · \tan 60° - 4\sin 30° + \tan 45°$；
(2) $\cos^2 45° - \frac{\cos 60°}{1 - \sin 30°} + \tan^2 45° - \tan^2 60°$。
答案
(1) $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-1$ (2) $-\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
本题是特殊角三角函数的混合运算题，解题思路分为三步：①先准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值；②将对应三角函数值代入原式，替换掉各个三角函数项；③严格按照实数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分，计算过程中注意根式化简和符号处理。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
(1) 代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 × \sqrt{3} - 4×\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{3}{4}×\sqrt{3} - 2 + 1\\&=\frac{3\sqrt{3}}{4} - 1\end{aligned}$
(2) 代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} + 1^2 - (\sqrt{3})^2\\&=\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + 1 - 3\\&=\frac{1}{2} - 1 + 1 - 3\\&=-\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-1$；(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊角三角函数值的掌握程度，以及实数运算规则的应用，计算时需注意乘方运算优先级高于乘除、加减，代入数值时不要混淆不同角度的三角函数值，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是特殊角三角函数的混合运算题，解题思路分为三步：①先准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值；②将对应三角函数值代入原式，替换掉各个三角函数项；③严格按照实数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分，计算过程中注意根式化简和符号处理。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
(1) 代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 × \sqrt{3} - 4×\frac{1}{2} + 1\\&=\frac{3}{4}×\sqrt{3} - 2 + 1\\&=\frac{3\sqrt{3}}{4} - 1\end{aligned}$
(2) 代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} + 1^2 - (\sqrt{3})^2\\&=\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + 1 - 3\\&=\frac{1}{2} - 1 + 1 - 3\\&=-\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-1$；(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊角三角函数值的掌握程度，以及实数运算规则的应用，计算时需注意乘方运算优先级高于乘除、加减，代入数值时不要混淆不同角度的三角函数值，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 有下列条件:①已知一直角边和它所对的锐角;②已知两锐角;③已知斜边和一锐角;④已知直角和斜边;⑤已知斜边和两直角边.其中,不能解该直角三角形的是 【 】
A.①②
B.②③
C.③⑤
D.②④
A.①②
B.②③
C.③⑤
D.②④
答案
D
解析
【分析】要判断是否能解直角三角形，首先明确解直角三角形的要求：需求出直角三角形所有未知的边和角。解直角三角形必须至少已知1条边的长度，若仅已知角的条件，只能确定三角形的形状（得到相似三角形），无法确定边长，无法完成求解。接下来我们逐一验证每个条件：若条件能求出所有未知边、角则可解，反之则不能。
【解析】解：直角三角形本身隐含直角为90°的条件，我们逐个分析5个条件：
1. 条件①：已知一直角边和它所对的锐角
可先求出另一锐角：90°-已知锐角，所有角确定；再通过三角函数（正弦、余弦）结合已知直角边，求出斜边和另一条直角边，可解。
2. 条件②：已知两锐角
三个角（含直角）全部确定，但没有任何边长条件，三角形仅形状固定、大小不唯一，无法求出边长，不可解。
3. 条件③：已知斜边和一锐角
先求出另一锐角：90°-已知锐角，所有角确定；再通过三角函数求出两条直角边，可解。
4. 条件④：已知直角和斜边
直角是直角三角形的固有条件，相当于仅已知斜边1条边的长度，两个锐角、两条直角边都无法唯一确定，不可解。
5. 条件⑤：已知斜边和两直角边
三边全部已知，可通过三角函数求出两个锐角，可解。
综上，不能解直角三角形的是②④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】解直角三角形的条件；直角三角形边角关系
【点评】本题考查解直角三角形的判定，解题关键是牢记解直角三角形必须至少包含一条边的已知条件，仅知道角的条件无法确定三角形大小，不能完成求解。
【难度系数】0.7
【解析】解：直角三角形本身隐含直角为90°的条件，我们逐个分析5个条件：
1. 条件①：已知一直角边和它所对的锐角
可先求出另一锐角：90°-已知锐角，所有角确定；再通过三角函数（正弦、余弦）结合已知直角边，求出斜边和另一条直角边，可解。
2. 条件②：已知两锐角
三个角（含直角）全部确定，但没有任何边长条件，三角形仅形状固定、大小不唯一，无法求出边长，不可解。
3. 条件③：已知斜边和一锐角
先求出另一锐角：90°-已知锐角，所有角确定；再通过三角函数求出两条直角边，可解。
4. 条件④：已知直角和斜边
直角是直角三角形的固有条件，相当于仅已知斜边1条边的长度，两个锐角、两条直角边都无法唯一确定，不可解。
5. 条件⑤：已知斜边和两直角边
三边全部已知，可通过三角函数求出两个锐角，可解。
综上，不能解直角三角形的是②④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】解直角三角形的条件；直角三角形边角关系
【点评】本题考查解直角三角形的判定，解题关键是牢记解直角三角形必须至少包含一条边的已知条件，仅知道角的条件无法确定三角形大小，不能完成求解。
【难度系数】0.7
11.（青岛期末）如图，某人从坡底A处步行到坡顶B处，已知坡的垂直高度BC为200 m，坡角为α，则他在山坡上步行的距离AB为 【 】
A.$\dfrac{200}{\sinα}$ m
B.$200\sinα$ m
C.$200\cosα$ m
D.$\dfrac{200}{\tanα}$ m
A.$\dfrac{200}{\sinα}$ m
B.$200\sinα$ m
C.$200\cosα$ m
D.$\dfrac{200}{\tanα}$ m
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角α和∠α的对边BC的长度，要求斜边AB的长度，可利用锐角正弦的定义建立边角关系求解。解题时先明确直角三角形中已知角对应的边的类型，再代入正弦公式变形即可得到AB的表达式。
【解析】
由题意可知BC⊥AC，即△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$。
已知BC=200 m，代入得$\sinα=\frac{200}{AB}$，
对公式变形可得$AB=\frac{200}{\sinα}$ m，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形，坡角应用
【点评】
本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题关键是准确掌握锐角三角函数的定义，理清已知角和对应边的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角α和∠α的对边BC的长度，要求斜边AB的长度，可利用锐角正弦的定义建立边角关系求解。解题时先明确直角三角形中已知角对应的边的类型，再代入正弦公式变形即可得到AB的表达式。
【解析】
由题意可知BC⊥AC，即△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$。
已知BC=200 m，代入得$\sinα=\frac{200}{AB}$，
对公式变形可得$AB=\frac{200}{\sinα}$ m，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形，坡角应用
【点评】
本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题关键是准确掌握锐角三角函数的定义，理清已知角和对应边的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 如图，AB为小明家的朝南窗户，测得$\tanα=\frac{1}{4}$，$∠β=45°$，窗户AB的高度为1.5m.
为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，需要安装一个遮阳棚，根据实际，计算遮阳棚的跨度QM的长为
为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，需要安装一个遮阳棚，根据实际，计算遮阳棚的跨度QM的长为
2
m.答案
12. 2
解析
【分析】
要计算遮阳棚跨度QM的长度，我们可以通过分析两个角的正切值与竖直高度AB的关系建立方程求解：首先设QM的长度为x m，由于QM是水平的，因此M点到AB所在竖直线的水平距离等于QM的长度x；其次分别用x表示出M点相对于A点、B点的竖直高度差，两个高度差的差即为窗户AB的高度，代入已知三角函数值即可列方程求解。
【解析】
设遮阳棚的跨度$QM=x\ \mathrm{m}$。
∵ QM为水平线段，
∴ M到AB所在竖直线的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由正切的定义可知：
M点与B点的竖直高度差为$x· \tanα$，
M点与A点的竖直高度差为$x· \tanβ$，
两个高度差的差等于AB的高度，即：
$x· \tanβ - x· \tanα = AB$
代入$\tanα=\frac{1}{4}$，$\tanβ=\tan45°=1$，$AB=1.5\ \mathrm{m}$得：
$x×1 - x×\frac{1}{4}=1.5$
$\frac{3}{4}x=1.5$
解得：$x=1.5×\frac{4}{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
正切的定义，解直角三角形的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角函数的应用，解题的关键是找准水平距离、竖直高度与三角函数的对应关系，通过建立方程即可快速求解，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.7
要计算遮阳棚跨度QM的长度，我们可以通过分析两个角的正切值与竖直高度AB的关系建立方程求解：首先设QM的长度为x m，由于QM是水平的，因此M点到AB所在竖直线的水平距离等于QM的长度x；其次分别用x表示出M点相对于A点、B点的竖直高度差，两个高度差的差即为窗户AB的高度，代入已知三角函数值即可列方程求解。
【解析】
设遮阳棚的跨度$QM=x\ \mathrm{m}$。
∵ QM为水平线段，
∴ M到AB所在竖直线的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由正切的定义可知：
M点与B点的竖直高度差为$x· \tanα$，
M点与A点的竖直高度差为$x· \tanβ$，
两个高度差的差等于AB的高度，即：
$x· \tanβ - x· \tanα = AB$
代入$\tanα=\frac{1}{4}$，$\tanβ=\tan45°=1$，$AB=1.5\ \mathrm{m}$得：
$x×1 - x×\frac{1}{4}=1.5$
$\frac{3}{4}x=1.5$
解得：$x=1.5×\frac{4}{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
正切的定义，解直角三角形的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角函数的应用，解题的关键是找准水平距离、竖直高度与三角函数的对应关系，通过建立方程即可快速求解，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.7
