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4 从立体图形到平面图形(第2课时)
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
答案
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
解析
【分析】
解题时需结合各立体图形的基本特征，逐个匹配对应内容即可：首先回忆正方体、长方体、五棱柱、圆柱、圆锥的底面形状、侧面形状，以及侧面展开后的形状，依次分析每个空缺对应的结论。
①对应正方体的底面：正方体所有面都是正方形，底面也为正方形；
②对应长方体的侧面：长方体的侧面均为长方形；
③对应五棱柱的侧面展开图：五棱柱的5个侧面都是长方形，拼接展开后整体为长方形；
④对应圆柱的底面：圆柱上下两个底面都是圆形；
⑤对应圆锥的侧面展开图：圆锥侧面沿母线剪开后得到的图形是扇形。
【解析】
我们逐个分析每个空缺：
1. 正方体的底面是正方形，因此①填正方形；
2. 长方体的侧面都为长方形，因此②填长方形；
3. 五棱柱的侧面由5个长方形组成，侧面展开后整体是长方形，因此③填长方形；
4. 圆柱的上下底面均为圆形，因此④填圆；
5. 圆锥的侧面展开图为扇形，因此⑤填扇形。
【答案】
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
【知识点】
几何体展开图、棱柱的特征、圆柱圆锥的特征
【点评】
本题考查常见立体图形的构成及表面展开图的相关知识，属于基础题型，熟练掌握各类常见几何体的基本特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时需结合各立体图形的基本特征，逐个匹配对应内容即可：首先回忆正方体、长方体、五棱柱、圆柱、圆锥的底面形状、侧面形状，以及侧面展开后的形状，依次分析每个空缺对应的结论。
①对应正方体的底面：正方体所有面都是正方形，底面也为正方形；
②对应长方体的侧面：长方体的侧面均为长方形；
③对应五棱柱的侧面展开图：五棱柱的5个侧面都是长方形，拼接展开后整体为长方形；
④对应圆柱的底面：圆柱上下两个底面都是圆形；
⑤对应圆锥的侧面展开图：圆锥侧面沿母线剪开后得到的图形是扇形。
【解析】
我们逐个分析每个空缺：
1. 正方体的底面是正方形，因此①填正方形；
2. 长方体的侧面都为长方形，因此②填长方形；
3. 五棱柱的侧面由5个长方形组成，侧面展开后整体是长方形，因此③填长方形；
4. 圆柱的上下底面均为圆形，因此④填圆；
5. 圆锥的侧面展开图为扇形，因此⑤填扇形。
【答案】
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
【知识点】
几何体展开图、棱柱的特征、圆柱圆锥的特征
【点评】
本题考查常见立体图形的构成及表面展开图的相关知识，属于基础题型，熟练掌握各类常见几何体的基本特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
1.将圆柱的表面展开后得到的平面图形是（
B
）。答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确圆柱的表面组成：圆柱包含2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面，侧面沿高展开后得到的是长方形。接下来逐一分析选项，排除不符合“侧面为长方形、两个底面为圆形”特征的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆圆柱表面展开图的特征：圆柱的侧面沿高展开是长方形，上下两个底面是完全相同的圆。
选项A：只有1个圆形和1个长方形，缺少1个底面圆，不符合圆柱展开图的要求；
选项B：由1个长方形和上下2个大小相同的圆组成，符合圆柱表面展开图的特征；
选项C：上下两个面是长方形，属于棱柱的展开图，不是圆柱的展开图；
选项D：包含扇形结构，是圆锥类相关的展开图，不符合圆柱的特征。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱展开图特征；立体图形展开图识别
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查常见立体图形展开图的特征，熟记圆柱、圆锥、棱柱等常见立体图形的展开图结构就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆柱的表面组成：圆柱包含2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面，侧面沿高展开后得到的是长方形。接下来逐一分析选项，排除不符合“侧面为长方形、两个底面为圆形”特征的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆圆柱表面展开图的特征：圆柱的侧面沿高展开是长方形，上下两个底面是完全相同的圆。
选项A：只有1个圆形和1个长方形，缺少1个底面圆，不符合圆柱展开图的要求；
选项B：由1个长方形和上下2个大小相同的圆组成，符合圆柱表面展开图的特征；
选项C：上下两个面是长方形，属于棱柱的展开图，不是圆柱的展开图；
选项D：包含扇形结构，是圆锥类相关的展开图，不符合圆柱的特征。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱展开图特征；立体图形展开图识别
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查常见立体图形展开图的特征，熟记圆柱、圆锥、棱柱等常见立体图形的展开图结构就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.如图所示的平面图形,不可能围成圆锥的是(
D
)。答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个平面图形不能围成圆锥，首先需要明确圆锥展开图的基本特征：圆锥由侧面和底面组成，侧面展开后是扇形，底面是圆形，且底面圆需要和扇形的弧边相接、圆的周长等于扇形的弧长才能围成封闭的圆锥。我们只需逐一分析各选项的图形组成是否符合该特征即可。
【解析】
圆锥的展开图必须包含1个扇形（对应圆锥侧面）和1个圆形（对应圆锥底面），且圆形要与扇形的弧边对应：
A、B、C三个选项中都包含扇形和圆形，满足圆锥展开图的基本构成，只要尺寸匹配即可围成圆锥，不符合题意；
D选项的图形是三角形和圆形，没有作为圆锥侧面的扇形，三角形的边为直线段，无法与圆形的曲线边匹配围成圆锥侧面，因此不可能围成圆锥，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图，图形折叠
【点评】
本题考查几何体展开图的识别，解题关键是牢记圆锥侧面展开为扇形这一核心特征，即可快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
要判断哪个平面图形不能围成圆锥，首先需要明确圆锥展开图的基本特征：圆锥由侧面和底面组成，侧面展开后是扇形，底面是圆形，且底面圆需要和扇形的弧边相接、圆的周长等于扇形的弧长才能围成封闭的圆锥。我们只需逐一分析各选项的图形组成是否符合该特征即可。
【解析】
圆锥的展开图必须包含1个扇形（对应圆锥侧面）和1个圆形（对应圆锥底面），且圆形要与扇形的弧边对应：
A、B、C三个选项中都包含扇形和圆形，满足圆锥展开图的基本构成，只要尺寸匹配即可围成圆锥，不符合题意；
D选项的图形是三角形和圆形，没有作为圆锥侧面的扇形，三角形的边为直线段，无法与圆形的曲线边匹配围成圆锥侧面，因此不可能围成圆锥，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图，图形折叠
【点评】
本题考查几何体展开图的识别，解题关键是牢记圆锥侧面展开为扇形这一核心特征，即可快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
3.下列图形能通过折叠围成一个三棱柱的是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个图形能折叠围成三棱柱，首先需明确三棱柱展开图的特征：三棱柱有2个全等的三角形底面、3个长方形侧面，展开后2个三角形需分别位于3个长方形组成的侧面区域的两侧，三角形的边和对应长方形的边长相等，折叠后无面重叠、无面缺失。解题时逐一分析各选项，想象折叠过程，判断是否符合上述特征即可。
【解析】
我们结合三棱柱展开图的特征逐一判断：
选项A：两个三角形都在侧面长方形的同一侧，折叠后两个三角形会重合，只能形成1个底面，缺失另一个底面，不能围成三棱柱；
选项B：折叠后两个三角形会落在三棱柱的同一端，无法分别作为上下两个底面，不能围成三棱柱；
选项C：两个三角形分别位于侧面展开图的对应位置，折叠后3个长方形刚好作为侧面，两个三角形刚好作为上下两个全等的底面，无面重叠、无面缺失，可以围成三棱柱；
选项D：折叠后存在面重叠的情况，且底面位置不符合要求，不能围成三棱柱。
【答案】
C
【知识点】
1.三棱柱展开图特征
2.展开图折叠成几何体
3.立体图形与平面图形转化
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题时既可以通过空间想象折叠过程判断，也可以通过动手操作折叠验证，需要重点关注展开图中底面的位置、形状是否符合对应立体图形的结构要求。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形能折叠围成三棱柱，首先需明确三棱柱展开图的特征：三棱柱有2个全等的三角形底面、3个长方形侧面，展开后2个三角形需分别位于3个长方形组成的侧面区域的两侧，三角形的边和对应长方形的边长相等，折叠后无面重叠、无面缺失。解题时逐一分析各选项，想象折叠过程，判断是否符合上述特征即可。
【解析】
我们结合三棱柱展开图的特征逐一判断：
选项A：两个三角形都在侧面长方形的同一侧，折叠后两个三角形会重合，只能形成1个底面，缺失另一个底面，不能围成三棱柱；
选项B：折叠后两个三角形会落在三棱柱的同一端，无法分别作为上下两个底面，不能围成三棱柱；
选项C：两个三角形分别位于侧面展开图的对应位置，折叠后3个长方形刚好作为侧面，两个三角形刚好作为上下两个全等的底面，无面重叠、无面缺失，可以围成三棱柱；
选项D：折叠后存在面重叠的情况，且底面位置不符合要求，不能围成三棱柱。
【答案】
C
【知识点】
1.三棱柱展开图特征
2.展开图折叠成几何体
3.立体图形与平面图形转化
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题时既可以通过空间想象折叠过程判断，也可以通过动手操作折叠验证，需要重点关注展开图中底面的位置、形状是否符合对应立体图形的结构要求。
【难度系数】
0.7
4.一个六棱柱的底面边长都是5 cm，侧棱长是4 cm，则它的侧面积是
120 cm²
。答案
4.120 cm²
解析
【分析】
要计算六棱柱的侧面积，首先需明确六棱柱的结构特征：六棱柱共有6个完全相同的侧面，每个侧面都是长方形，长方形的长为底面边长，宽为侧棱长。解题时先算出单个侧面的长方形面积，再乘以侧面的数量6，即可得到总侧面积。
【解析】
六棱柱的侧面共有6个，且每个侧面都是长为5cm、宽为4cm的长方形。
单个侧面的面积 = 长×宽 = 5×4 = 20（cm²）
侧面积 = 单个侧面面积×侧面数量 = 20×6 = 120（cm²）
【答案】
120 cm²
【知识点】
棱柱的结构特征、长方形面积计算
【点评】
本题考查棱柱侧面积的计算，解题的关键是掌握棱柱侧面的形状和数量，属于基础概念应用题，熟练掌握常见几何体的结构特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要计算六棱柱的侧面积，首先需明确六棱柱的结构特征：六棱柱共有6个完全相同的侧面，每个侧面都是长方形，长方形的长为底面边长，宽为侧棱长。解题时先算出单个侧面的长方形面积，再乘以侧面的数量6，即可得到总侧面积。
【解析】
六棱柱的侧面共有6个，且每个侧面都是长为5cm、宽为4cm的长方形。
单个侧面的面积 = 长×宽 = 5×4 = 20（cm²）
侧面积 = 单个侧面面积×侧面数量 = 20×6 = 120（cm²）
【答案】
120 cm²
【知识点】
棱柱的结构特征、长方形面积计算
【点评】
本题考查棱柱侧面积的计算，解题的关键是掌握棱柱侧面的形状和数量，属于基础概念应用题，熟练掌握常见几何体的结构特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5.如图，长方形纸片上的阴影部分恰好能围成一个圆柱（阴影部分的四边形是正方形），设圆的半径为R。
（1）用含R的代数式表示圆柱的体积；
（2）当R＝8 cm，π≈3.14时，求圆柱的体积（结果精确到0.1 cm³）。
（1）用含R的代数式表示圆柱的体积；
（2）当R＝8 cm，π≈3.14时，求圆柱的体积（结果精确到0.1 cm³）。
答案
5.(1)$2π^2 R^3$ (2)$10 096.2\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确圆柱侧面展开图的性质：阴影部分的正方形是圆柱的侧面展开图，因此正方形的边长既等于圆柱底面圆的周长，也等于圆柱的高。首先根据圆的周长公式求出底面周长，得到圆柱的高，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）写出体积的代数式；第二问直接将数值代入代数式计算即可。
【解析】
（1）已知圆的半径为$R$，则圆柱底面圆的周长为$2π R$。
因为阴影部分的四边形是正方形，所以圆柱的高$h$等于底面圆的周长，即$h=2π R$。
圆柱的底面积$S=π R^2$，根据圆柱体积公式$V=S· h$，可得：
$V=π R^2 · 2π R = 2π^2 R^3$。
（2）当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入体积公式：
$V=2×3.14^2×8^3$
先计算乘方：$3.14^2=9.8596$，$8^3=512$，
再依次计算乘法：$2×9.8596=19.7192$，$19.7192×512=10096.2304$，
结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}^3$，得$V\approx10096.2\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)$2π^2 R^3$；(2)$10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱侧面展开图，代数式求值
【点评】
本题核心是将圆柱的侧面展开图特征和体积计算结合，解题的关键是理解正方形边长同时对应圆柱的高和底面周长，熟练掌握相关公式即可快速解答，计算时要注意精确度要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确圆柱侧面展开图的性质：阴影部分的正方形是圆柱的侧面展开图，因此正方形的边长既等于圆柱底面圆的周长，也等于圆柱的高。首先根据圆的周长公式求出底面周长，得到圆柱的高，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）写出体积的代数式；第二问直接将数值代入代数式计算即可。
【解析】
（1）已知圆的半径为$R$，则圆柱底面圆的周长为$2π R$。
因为阴影部分的四边形是正方形，所以圆柱的高$h$等于底面圆的周长，即$h=2π R$。
圆柱的底面积$S=π R^2$，根据圆柱体积公式$V=S· h$，可得：
$V=π R^2 · 2π R = 2π^2 R^3$。
（2）当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入体积公式：
$V=2×3.14^2×8^3$
先计算乘方：$3.14^2=9.8596$，$8^3=512$，
再依次计算乘法：$2×9.8596=19.7192$，$19.7192×512=10096.2304$，
结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}^3$，得$V\approx10096.2\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)$2π^2 R^3$；(2)$10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱侧面展开图，代数式求值
【点评】
本题核心是将圆柱的侧面展开图特征和体积计算结合，解题的关键是理解正方形边长同时对应圆柱的高和底面周长，熟练掌握相关公式即可快速解答，计算时要注意精确度要求。
【难度系数】
0.7
6.在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有(
A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
B
)。A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆四棱柱展开图的结构特征：四棱柱有2个全等的正方形底面、4个长方形侧面，展开后4个侧面是连成一排的长方形，2个底面必须分别在这排侧面的两侧（若在同侧折叠后底面会重合，无法围成四棱柱）。观察题图可知，左侧上下排列的4个长方形就是四棱柱的4个侧面，已经有1个底面在最下方侧面的右侧，因此我们只需把要添加的底面放在4个侧面的另一侧（左侧），每个侧面对应1个可放置的位置，数出符合要求的位置数即可。
【解析】
1. 明确四棱柱展开图的构成：4个侧面为相连的一排长方形，2个底面分居于这排长方形的两侧，每个底面与其中一个侧面的边对齐即可。
2. 分析现有图形：已有4个侧面（左侧4个上下排列的长方形），1个底面位于最下方侧面的右侧，因此新增的底面只能放在4个侧面的左侧。
3. 计数：左侧可分别对齐4个侧面的左边缘放置正方形，共4种不同的添法。
【答案】
B
【知识点】
四棱柱展开图、图形折叠、立体图形的平面展开图
【点评】
本题重点考查对四棱柱展开图特征的掌握，解题核心是明确两个底面需在侧面长条的异侧，考查基础的空间想象能力，注意不要出现将底面放在同侧的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆四棱柱展开图的结构特征：四棱柱有2个全等的正方形底面、4个长方形侧面，展开后4个侧面是连成一排的长方形，2个底面必须分别在这排侧面的两侧（若在同侧折叠后底面会重合，无法围成四棱柱）。观察题图可知，左侧上下排列的4个长方形就是四棱柱的4个侧面，已经有1个底面在最下方侧面的右侧，因此我们只需把要添加的底面放在4个侧面的另一侧（左侧），每个侧面对应1个可放置的位置，数出符合要求的位置数即可。
【解析】
1. 明确四棱柱展开图的构成：4个侧面为相连的一排长方形，2个底面分居于这排长方形的两侧，每个底面与其中一个侧面的边对齐即可。
2. 分析现有图形：已有4个侧面（左侧4个上下排列的长方形），1个底面位于最下方侧面的右侧，因此新增的底面只能放在4个侧面的左侧。
3. 计数：左侧可分别对齐4个侧面的左边缘放置正方形，共4种不同的添法。
【答案】
B
【知识点】
四棱柱展开图、图形折叠、立体图形的平面展开图
【点评】
本题重点考查对四棱柱展开图特征的掌握，解题核心是明确两个底面需在侧面长条的异侧，考查基础的空间想象能力，注意不要出现将底面放在同侧的错误。
【难度系数】
0.7
