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7.若长方体从一个顶点发出的三条棱长分别为 2，3，4，则该长方体的表面积为
52
，体积为24
。答案
7.52 24
解析
【分析】
首先明确长方体从一个顶点出发的三条棱分别对应它的长、宽、高，本题已给出这三个长度为2、3、4。接下来只需要回忆长方体表面积和体积的计算公式，将数值准确代入公式运算即可，计算时注意先算乘法、再算加法，不要漏乘表面积公式里的系数2。
【解析】
解：由题意得，长方体的长、宽、高分别为2、3、4。
1. 计算表面积：
长方体6个面中相对的面面积相等，因此表面积公式为：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{宽}×\mathrm{高}+\mathrm{长}×\mathrm{高})$
代入数值计算：
$\begin{aligned}S&=2×(2×3 + 3×4 + 2×4)\\&=2×(6+12+8)\\&=2×26\\&=52\end{aligned}$
2. 计算体积：
长方体体积公式为：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$
代入数值计算：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体棱长特征；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查长方体相关公式的直接应用，解题关键是明确从同一顶点出发的三条棱对应长宽高，计算时注意运算顺序，避免因粗心计算丢分。
【难度系数】
0.9
首先明确长方体从一个顶点出发的三条棱分别对应它的长、宽、高，本题已给出这三个长度为2、3、4。接下来只需要回忆长方体表面积和体积的计算公式，将数值准确代入公式运算即可，计算时注意先算乘法、再算加法，不要漏乘表面积公式里的系数2。
【解析】
解：由题意得，长方体的长、宽、高分别为2、3、4。
1. 计算表面积：
长方体6个面中相对的面面积相等，因此表面积公式为：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{宽}×\mathrm{高}+\mathrm{长}×\mathrm{高})$
代入数值计算：
$\begin{aligned}S&=2×(2×3 + 3×4 + 2×4)\\&=2×(6+12+8)\\&=2×26\\&=52\end{aligned}$
2. 计算体积：
长方体体积公式为：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$
代入数值计算：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体棱长特征；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查长方体相关公式的直接应用，解题关键是明确从同一顶点出发的三条棱对应长宽高，计算时注意运算顺序，避免因粗心计算丢分。
【难度系数】
0.9
8.【数学应用】某班数学活动小组的同学们用纸板制作长方体包装盒，其表面展开图和相关尺寸(单位:mm)如下，其中阴影部分为内部粘贴角料，求此长方体包装盒的体积。
答案
8.解:由题意,知此长方体的长为 70 mm,宽为65 mm,高为 40 mm,
则此长方体包装盒的体积为 $70× 65× 40=182\ 000(\mathrm{mm}^3)$。
则此长方体包装盒的体积为 $70× 65× 40=182\ 000(\mathrm{mm}^3)$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确长方体体积计算公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，因此核心是从表面展开图中确定长方体对应的长、宽、高。观察展开图的尺寸标注：横向标注的70mm对应长方体的长，纵向标注的65mm对应长方体的宽，剩余的40mm对应长方体的高，确定三个数值后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据长方体表面展开图的特征，可得该长方体的长为70mm，宽为65mm，高为40mm。
代入长方体体积公式计算：
$\begin{aligned}V&=70×65×40\\&=4550×40\\&=182000(\mathrm{mm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$182000\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
长方体展开图识别；长方体体积计算
【点评】
本题考查立体图形展开图与原立体图形的对应关系，解题关键是准确匹配展开图各边长度和长方体长宽高的对应关系，属于基础应用类题目，掌握展开图的特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确长方体体积计算公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，因此核心是从表面展开图中确定长方体对应的长、宽、高。观察展开图的尺寸标注：横向标注的70mm对应长方体的长，纵向标注的65mm对应长方体的宽，剩余的40mm对应长方体的高，确定三个数值后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据长方体表面展开图的特征，可得该长方体的长为70mm，宽为65mm，高为40mm。
代入长方体体积公式计算：
$\begin{aligned}V&=70×65×40\\&=4550×40\\&=182000(\mathrm{mm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$182000\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
长方体展开图识别；长方体体积计算
【点评】
本题考查立体图形展开图与原立体图形的对应关系，解题关键是准确匹配展开图各边长度和长方体长宽高的对应关系，属于基础应用类题目，掌握展开图的特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图,已知这个长方形相邻的两边长分别为6,4π,求圆柱的体积。
（第9题）
（第9题）答案
9.解:①以$4π$为底面周长,6为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$,
所以圆柱的体积为$π× 2^2× 6=24π$。
②以6为圆柱的底面周长,$4π$为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$,
所以圆柱的体积为$π× (\frac{3}{π})^2× 4π=36$。
所以圆柱的体积为$24π$或36。
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$,
所以圆柱的体积为$π× 2^2× 6=24π$。
②以6为圆柱的底面周长,$4π$为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$,
所以圆柱的体积为$π× (\frac{3}{π})^2× 4π=36$。
所以圆柱的体积为$24π$或36。
解析
【分析】
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征解题，圆柱侧面展开得到的长方形，一条边对应圆柱的高，另一条边对应圆柱底面的周长，题目没有明确哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论，先根据底面周长求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以$4π$为底面周长，6为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，
再根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入得体积$V=π× 2^2× 6=24π$。
② 以6为底面周长，$4π$为圆柱的高：
同理可得底面半径$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
代入体积公式得$V=π× (\frac{3}{π})^2× 4π=36$。
【答案】
$24π$或36
【知识点】
圆柱侧面展开特征、圆的周长计算、圆柱体积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况，解题时要注意结合展开图和圆柱的对应关系，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征解题，圆柱侧面展开得到的长方形，一条边对应圆柱的高，另一条边对应圆柱底面的周长，题目没有明确哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论，先根据底面周长求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以$4π$为底面周长，6为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，
再根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入得体积$V=π× 2^2× 6=24π$。
② 以6为底面周长，$4π$为圆柱的高：
同理可得底面半径$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
代入体积公式得$V=π× (\frac{3}{π})^2× 4π=36$。
【答案】
$24π$或36
【知识点】
圆柱侧面展开特征、圆的周长计算、圆柱体积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况，解题时要注意结合展开图和圆柱的对应关系，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10.【综合与实践】如图所示的是长方体的表面展开图，将其折叠成一个长方体。
(1)和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面？
(2)若$FG=3\ \mathrm{cm}$，$LK=8\ \mathrm{cm}$，$EI=18\ \mathrm{cm}$，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
(1)和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面？
(2)若$FG=3\ \mathrm{cm}$，$LK=8\ \mathrm{cm}$，$EI=18\ \mathrm{cm}$，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
答案
10.解:(1)和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2)$DI=EI-ED=EI-FG=18-3=15(\mathrm{cm})$。
表面积:$(3× 8+3× 15+8× 15)× 2=378(\mathrm{cm}^2)$,
体积:$3× 8× 15=360(\mathrm{cm}^3)$。
(2)$DI=EI-ED=EI-FG=18-3=15(\mathrm{cm})$。
表面积:$(3× 8+3× 15+8× 15)× 2=378(\mathrm{cm}^2)$,
体积:$3× 8× 15=360(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需用到长方体表面展开图相对面的判断规律：同一行/列中间间隔一个面的两个面是相对面。本题中数字1、2、3、4所在的面为同一行相邻的四个面，找和1间隔一个面的数字即可得出答案。
(2) 解决第二问首先要确定长方体的三条棱长：FG对应长方体的一条棱长，LK对应第二条棱长，EI是ED与DI的长度和，且ED和FG长度相等，据此可算出第三条棱DI的长度；再分别代入长方体表面积、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体展开图相对面的判断规律，数字1所在的面和数字3所在的面中间间隔数字2所在的面，因此二者是相对面。
(2) 首先计算第三条棱长：
由展开图特征可知$ED=FG=3\ \mathrm{cm}$，因此$DI=EI-ED=18-3=15(\mathrm{cm})$，即长方体的三条棱长分别为3cm、8cm、15cm。
计算表面积：
$\begin{aligned}S&=(3× 8+3× 15+8× 15)× 2\\&=(24+45+120)×2\\&=189×2\\&=378(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
计算体积：
$\begin{aligned}V&=3× 8× 15\\&=24×15\\&=360(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
(1) 和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2) 长方体的表面积为$378\ \mathrm{cm}^2$，体积为$360\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
长方体展开图特征；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题考查立体图形与平面展开图的转化能力，解题核心是准确识别展开图中相对的面，对应好展开图线段与长方体棱长的关系，属于基础考察题型，熟练掌握相关公式和展开图规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需用到长方体表面展开图相对面的判断规律：同一行/列中间间隔一个面的两个面是相对面。本题中数字1、2、3、4所在的面为同一行相邻的四个面，找和1间隔一个面的数字即可得出答案。
(2) 解决第二问首先要确定长方体的三条棱长：FG对应长方体的一条棱长，LK对应第二条棱长，EI是ED与DI的长度和，且ED和FG长度相等，据此可算出第三条棱DI的长度；再分别代入长方体表面积、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体展开图相对面的判断规律，数字1所在的面和数字3所在的面中间间隔数字2所在的面，因此二者是相对面。
(2) 首先计算第三条棱长：
由展开图特征可知$ED=FG=3\ \mathrm{cm}$，因此$DI=EI-ED=18-3=15(\mathrm{cm})$，即长方体的三条棱长分别为3cm、8cm、15cm。
计算表面积：
$\begin{aligned}S&=(3× 8+3× 15+8× 15)× 2\\&=(24+45+120)×2\\&=189×2\\&=378(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
计算体积：
$\begin{aligned}V&=3× 8× 15\\&=24×15\\&=360(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
(1) 和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2) 长方体的表面积为$378\ \mathrm{cm}^2$，体积为$360\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
长方体展开图特征；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题考查立体图形与平面展开图的转化能力，解题核心是准确识别展开图中相对的面，对应好展开图线段与长方体棱长的关系，属于基础考察题型，熟练掌握相关公式和展开图规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
