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正方形的性质:正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质。
(1)正方形的四个角都是
正方形的性质:正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质。
(1)正方形的四个角都是
直角
,四条边相等
;(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分
。答案
1. 直角、相等
2. 相等且互相垂直平分
2. 相等且互相垂直平分
解析
【分析】
本题考查正方形的基础性质，解题时可结合正方形的从属关系推导：正方形同时具备矩形、菱形的全部性质，我们可以分别对应矩形、菱形的性质推导正方形的边角、对角线特征：①边角维度：矩形的四个角为直角，菱形的四条边相等，可推出正方形的角和边的性质；②对角线维度：矩形对角线相等且互相平分，菱形对角线互相垂直且互相平分，两者结合即可推出正方形对角线的性质。
【解析】
(1) 正方形是特殊的矩形，因此继承矩形“四个角都是直角”的性质；同时正方形是特殊的菱形，继承菱形“四条边相等”的性质，因此第一空填直角，第二空填相等。
(2) 正方形同时继承矩形和菱形的对角线性质：矩形对角线相等且互相平分，菱形对角线互相垂直且互相平分，因此正方形的对角线相等且互相垂直平分。
【答案】
(1) 直角、相等；(2) 相等且互相垂直平分
【知识点】
正方形的性质
【点评】
本题为基础概念考查题，核心是对正方形性质的识记，掌握正方形与矩形、菱形的性质关联即可快速作答，是特殊四边形模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查正方形的基础性质，解题时可结合正方形的从属关系推导：正方形同时具备矩形、菱形的全部性质，我们可以分别对应矩形、菱形的性质推导正方形的边角、对角线特征：①边角维度：矩形的四个角为直角，菱形的四条边相等，可推出正方形的角和边的性质；②对角线维度：矩形对角线相等且互相平分，菱形对角线互相垂直且互相平分，两者结合即可推出正方形对角线的性质。
【解析】
(1) 正方形是特殊的矩形，因此继承矩形“四个角都是直角”的性质；同时正方形是特殊的菱形，继承菱形“四条边相等”的性质，因此第一空填直角，第二空填相等。
(2) 正方形同时继承矩形和菱形的对角线性质：矩形对角线相等且互相平分，菱形对角线互相垂直且互相平分，因此正方形的对角线相等且互相垂直平分。
【答案】
(1) 直角、相等；(2) 相等且互相垂直平分
【知识点】
正方形的性质
【点评】
本题为基础概念考查题，核心是对正方形性质的识记，掌握正方形与矩形、菱形的性质关联即可快速作答，是特殊四边形模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
1. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH//FC交BC于点H。若AB=4，AE=1，则BH的长为(
A.1
B.2
C.3
D.$3\sqrt{2}$
C
)。A.1
B.2
C.3
D.$3\sqrt{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形性质入手，先确定各边的长度关系与边的平行关系：首先根据正方形边长求出BC、EF的长度，再结合EH//FC的条件，判断四边形EFCH的形状，进而得到HC的长度，最后用BC减去HC即可求出BH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，AD//BC。
∵四边形AEFG是正方形，AE=1，
∴EF=AE=1，EF//AD。
又
∵AD//BC，
∴EF//BC。
又
∵EH//FC，
∴四边形EFCH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴HC=EF=1，
∴BH=BC - HC = 4 - 1 = 3。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，解题的核心是利用正方形对边平行的性质推导出EF与BC平行，进而判定平行四边形，转化线段长度求解，思路直接，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的正方形性质入手，先确定各边的长度关系与边的平行关系：首先根据正方形边长求出BC、EF的长度，再结合EH//FC的条件，判断四边形EFCH的形状，进而得到HC的长度，最后用BC减去HC即可求出BH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，AD//BC。
∵四边形AEFG是正方形，AE=1，
∴EF=AE=1，EF//AD。
又
∵AD//BC，
∴EF//BC。
又
∵EH//FC，
∴四边形EFCH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴HC=EF=1，
∴BH=BC - HC = 4 - 1 = 3。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，解题的核心是利用正方形对边平行的性质推导出EF与BC平行，进而判定平行四边形，转化线段长度求解，思路直接，运算量小。
【难度系数】
0.8
2. 如图,若正方形ABCD的面积为1,则以其相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} + 1$
D.$2\sqrt{2} + 1$
B
)。A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} + 1$
D.$2\sqrt{2} + 1$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件正方形ABCD面积为1入手，第一步先求出正方形ABCD的边长；再结合E、F是BC、CD边的中点，得到直角三角形ECF的两条直角边长度，利用勾股定理求出EF的长度；最后根据正方形周长公式计算正方形EFGH的周长即可。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
因为正方形ABCD的面积为1，所以其边长$BC=CD=\sqrt{1}=1$。
2. 求Rt△ECF的直角边长度：
因为E是BC的中点，F是CD的中点，所以$EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$FC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$。
3. 用勾股定理求EF的长度：
在Rt△ECF中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 计算正方形EFGH的周长：
正方形周长=边长×4，因此正方形EFGH的周长为$4× EF=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过正方形性质得到直角三角形的边长，再用勾股定理求出目标线段长度，掌握基础性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件正方形ABCD面积为1入手，第一步先求出正方形ABCD的边长；再结合E、F是BC、CD边的中点，得到直角三角形ECF的两条直角边长度，利用勾股定理求出EF的长度；最后根据正方形周长公式计算正方形EFGH的周长即可。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
因为正方形ABCD的面积为1，所以其边长$BC=CD=\sqrt{1}=1$。
2. 求Rt△ECF的直角边长度：
因为E是BC的中点，F是CD的中点，所以$EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$FC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$。
3. 用勾股定理求EF的长度：
在Rt△ECF中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 计算正方形EFGH的周长：
正方形周长=边长×4，因此正方形EFGH的周长为$4× EF=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过正方形性质得到直角三角形的边长，再用勾股定理求出目标线段长度，掌握基础性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,延长BC至点F,使CF=CE,连接DF,BE的延长线与DF相交于点G,则下列结论错误的是(
A.$BE=DF$
B.$BG ⊥ DF$
C.$∠ F + ∠ CEB = 90°$
D.$∠ FDC + ∠ ABG = 90°$
（第3题）
C
)。A.$BE=DF$
B.$BG ⊥ DF$
C.$∠ F + ∠ CEB = 90°$
D.$∠ FDC + ∠ ABG = 90°$
（第3题）答案
3. C
解析
【分析】
首先利用正方形的性质可得边相等、内角为直角，结合已知CF=CE，可证明△BCE和△DCF全等，再根据全等三角形的性质得到对应边、对应角的关系，最后逐一推导每个选项的正误，选出错误结论即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠DCF=∠BCD=90°
在△BCE和△DCF中
$\{\begin{array}{l}BC=DC\\ ∠ BCE=∠ DCF\\ CE=CF\end{array} $
∴△BCE≌△DCF（SAS）
1. 对选项A：由全等得对应边相等，$BE=DF$，A结论正确，不符合题意；
2. 对选项B：由全等得$∠ CBE=∠ CDF$，在Rt△DCF中，$∠ F+∠ CDF=90°$，代入得$∠ F+∠ CBE=90°$，
∴在△BGF中，$∠ BGF=180°-(∠ F+∠ CBE)=90°$，即$BG⊥ DF$，B结论正确，不符合题意；
3. 对选项C：由全等得$∠ CEB=∠ F$，
∴$∠ F+∠ CEB=2∠ F$，仅当$∠ F=45°$时和为90°，一般情况不成立，C结论错误，符合题意；
4. 对选项D：
∵$∠ ABG+∠ CBE=∠ ABC=90°$，又$∠ FDC=∠ CBE$，替换得$∠ FDC+∠ ABG=90°$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是先证明三角形全等得到边、角的等量关系，再结合直角的性质转化角的关系判断选项，是全等三角形和正方形性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
首先利用正方形的性质可得边相等、内角为直角，结合已知CF=CE，可证明△BCE和△DCF全等，再根据全等三角形的性质得到对应边、对应角的关系，最后逐一推导每个选项的正误，选出错误结论即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠DCF=∠BCD=90°
在△BCE和△DCF中
$\{\begin{array}{l}BC=DC\\ ∠ BCE=∠ DCF\\ CE=CF\end{array} $
∴△BCE≌△DCF（SAS）
1. 对选项A：由全等得对应边相等，$BE=DF$，A结论正确，不符合题意；
2. 对选项B：由全等得$∠ CBE=∠ CDF$，在Rt△DCF中，$∠ F+∠ CDF=90°$，代入得$∠ F+∠ CBE=90°$，
∴在△BGF中，$∠ BGF=180°-(∠ F+∠ CBE)=90°$，即$BG⊥ DF$，B结论正确，不符合题意；
3. 对选项C：由全等得$∠ CEB=∠ F$，
∴$∠ F+∠ CEB=2∠ F$，仅当$∠ F=45°$时和为90°，一般情况不成立，C结论错误，符合题意；
4. 对选项D：
∵$∠ ABG+∠ CBE=∠ ABC=90°$，又$∠ FDC=∠ CBE$，替换得$∠ FDC+∠ ABG=90°$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是先证明三角形全等得到边、角的等量关系，再结合直角的性质转化角的关系判断选项，是全等三角形和正方形性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在正方形ABCD中,以BC为边在正方形外部作等边三角形BCE,连接DE,则∠CDE=
$15°$
。答案
4. 15°
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形和等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三边相等，内角为60°。第一步先推导CD和CE的数量关系，判断△CDE的形状；第二步计算△CDE的顶角度数；第三步利用等腰三角形底角相等的性质计算∠CDE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠BCD=90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∴CD=CE，∠DCE=∠BCD+∠BCE=90°+60°=150°，
在△CDE中，CD=CE，即△CDE为等腰三角形，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{180°-∠ DCE}{2}$=$\frac{180°-150°}{2}$=15°。
【答案】
15°
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将正方形、等边三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是先得到相等的边，判断出等腰三角形，再准确计算出顶角的度数即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形和等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三边相等，内角为60°。第一步先推导CD和CE的数量关系，判断△CDE的形状；第二步计算△CDE的顶角度数；第三步利用等腰三角形底角相等的性质计算∠CDE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠BCD=90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∴CD=CE，∠DCE=∠BCD+∠BCE=90°+60°=150°，
在△CDE中，CD=CE，即△CDE为等腰三角形，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{180°-∠ DCE}{2}$=$\frac{180°-150°}{2}$=15°。
【答案】
15°
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将正方形、等边三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是先得到相等的边，判断出等腰三角形，再准确计算出顶角的度数即可求解。
【难度系数】
0.8
