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4. 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG//EF。
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长。
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长。
答案
4. (1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ OB = OD。
∵ E是AD的中点,
∴ OE是△ABD的中位线,
∴ OE//FG。
∵ OG//EF,
∴ 四边形OEFG是平行四边形。
∵ EF ⊥ AB,
∴ ∠EFG = 90°,
∴ ▱OEFG是矩形
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BD ⊥ AC,AB = AD = 10,∠AOD = 90°。
∵ E是AD的中点,
∴ OE = AE = $\frac{1}{2}AD$ = 5。由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴ FG = OE = 5。
∵ AE = 5, EF = 4,
∴ AF = $\sqrt{AE^2 - EF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3,
∴ BG = AB - AF - FG = 10 - 3 - 5 = 2
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ OB = OD。
∵ E是AD的中点,
∴ OE是△ABD的中位线,
∴ OE//FG。
∵ OG//EF,
∴ 四边形OEFG是平行四边形。
∵ EF ⊥ AB,
∴ ∠EFG = 90°,
∴ ▱OEFG是矩形
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BD ⊥ AC,AB = AD = 10,∠AOD = 90°。
∵ E是AD的中点,
∴ OE = AE = $\frac{1}{2}AD$ = 5。由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴ FG = OE = 5。
∵ AE = 5, EF = 4,
∴ AF = $\sqrt{AE^2 - EF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3,
∴ BG = AB - AF - FG = 10 - 3 - 5 = 2
解析
【分析】
(1) 要证四边形OEFG是矩形，遵循“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路：首先利用菱形对角线互相平分的性质，结合E是AD中点，可得OE是△ABD的中位线，推出OE//FG，再结合已知OG//EF，先证得四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到直角，即可判定为矩形。
(2) 求OE时，利用菱形对角线互相垂直的性质得△AOD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出OE；求BG时，先由矩形性质得FG=OE，再在Rt△AEF中用勾股定理求出AF，最后用AB长度减去AF和FG的长度即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB = OD。
∵ E是AD的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE//FG。
∵ OG//EF，
∴ 四边形OEFG是平行四边形。
∵ EF ⊥ AB，
∴ ∠EFG = 90°，
∴ 平行四边形OEFG是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BD ⊥ AC，AB = AD = 10，∠AOD = 90°。
∵ E是AD的中点，
∴ OE = AE = $\frac{1}{2}AD$ = 5。
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴ FG = OE = 5。
∵ AE = 5，EF = 4，
∴ 在Rt△AEF中，AF = $\sqrt{AE^2 - EF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3，
∴ BG = AB - AF - FG = 10 - 3 - 5 = 2。
【答案】
(1) 四边形OEFG是矩形，证明成立；
(2) OE=5，BG=2
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定、直角三角形的相关性质，解题时需要熟练掌握各几何图形的定理，理清线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形OEFG是矩形，遵循“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路：首先利用菱形对角线互相平分的性质，结合E是AD中点，可得OE是△ABD的中位线，推出OE//FG，再结合已知OG//EF，先证得四边形OEFG是平行四边形，最后由EF⊥AB得到直角，即可判定为矩形。
(2) 求OE时，利用菱形对角线互相垂直的性质得△AOD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出OE；求BG时，先由矩形性质得FG=OE，再在Rt△AEF中用勾股定理求出AF，最后用AB长度减去AF和FG的长度即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB = OD。
∵ E是AD的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE//FG。
∵ OG//EF，
∴ 四边形OEFG是平行四边形。
∵ EF ⊥ AB，
∴ ∠EFG = 90°，
∴ 平行四边形OEFG是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BD ⊥ AC，AB = AD = 10，∠AOD = 90°。
∵ E是AD的中点，
∴ OE = AE = $\frac{1}{2}AD$ = 5。
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴ FG = OE = 5。
∵ AE = 5，EF = 4，
∴ 在Rt△AEF中，AF = $\sqrt{AE^2 - EF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3，
∴ BG = AB - AF - FG = 10 - 3 - 5 = 2。
【答案】
(1) 四边形OEFG是矩形，证明成立；
(2) OE=5，BG=2
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定、直角三角形的相关性质，解题时需要熟练掌握各几何图形的定理，理清线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题。
(1)对如图①所示的任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
(2)对如图②所示的任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
请你用上面图示的方法，解答下列问题。
(1)对如图①所示的任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
(2)对如图②所示的任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
答案
1. 拼接方案如
所示：取三角形任意两边的中点，连接两个中点得到中位线，过三角形上方的顶点向底边作垂线，沿中位线和垂线将原三角形分为3部分，将左右两个小直角三角形分别绕各自所在边的中点旋转180°，即可拼接得到与原三角形面积相等的矩形。2. 拼接方案如
所示：依次取四边形四条边的中点，连接对应中点将原四边形分割为6部分，将边角的4个小三角形分别绕对应的边中点旋转，即可拼接得到与原四边形面积相等的矩形。解析
【分析】
首先提炼题目给出的直角三角形拼矩形的方法本质：通过取边的中点作中位线，分割图形后利用旋转180°使对应边重合，过程中仅进行割补、旋转操作，总面积保持不变，最终凑出矩形的内角与边。
(1)针对任意三角形，类比上述方法：先取任意两条边的中点作中位线，将三角形分为上方小三角形和下方梯形两部分；再过上方顶点向中位线作垂线，将小三角形分为两个直角三角形，最后把两个小直角三角形绕对应边中点旋转180°，补到梯形两侧即可得到矩形。
(2)针对任意四边形，借鉴三角形的处理思路：先取四边形四条边的中点，连接对边中点将四边形分割为6部分，再将四个角的小三角形绕对应边的中点旋转，凑出矩形的四个直角，即可得到面积相等的矩形。
【解析】
(1)步骤如下：
①取任意三角形任意两条边的中点，连接两中点得到三角形的中位线；
②过与中位线平行的边所对的顶点，向中位线作垂线，沿中位线和垂线将三角形分割为3部分；
③将分割得到的两个小直角三角形，分别绕各自所在边的中点旋转180°，即可拼接得到和原三角形面积相等的矩形。
(2)步骤如下：
①依次取任意四边形四条边的中点，连接对边的中点，将原四边形分割为6部分；
②将四个角处的4个小三角形，分别绕对应的边中点旋转180°，即可拼接得到和原四边形面积相等的矩形。
【答案】
1. 拼接方案如所示：取三角形任意两边的中点，连接两个中点得到中位线，过三角形上方的顶点向底边作垂线，沿中位线和垂线将原三角形分为3部分，将左右两个小直角三角形分别绕各自所在边的中点旋转180°，即可拼接得到与原三角形面积相等的矩形。
2. 拼接方案如所示：依次取四边形四条边的中点，连接对应中点将原四边形分割为6部分，将边角的4个小三角形分别绕对应的边中点旋转，即可拼接得到与原四边形面积相等的矩形。
【知识点】
图形割补拼接、三角形中位线定理、旋转的性质
【点评】
本题是图形操作类题型，需要学生读懂示例的核心逻辑，将“中点分割+旋转等积变形”的方法迁移到新的图形问题中，能有效考查学生的知识迁移能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
首先提炼题目给出的直角三角形拼矩形的方法本质：通过取边的中点作中位线，分割图形后利用旋转180°使对应边重合，过程中仅进行割补、旋转操作，总面积保持不变，最终凑出矩形的内角与边。
(1)针对任意三角形，类比上述方法：先取任意两条边的中点作中位线，将三角形分为上方小三角形和下方梯形两部分；再过上方顶点向中位线作垂线，将小三角形分为两个直角三角形，最后把两个小直角三角形绕对应边中点旋转180°，补到梯形两侧即可得到矩形。
(2)针对任意四边形，借鉴三角形的处理思路：先取四边形四条边的中点，连接对边中点将四边形分割为6部分，再将四个角的小三角形绕对应边的中点旋转，凑出矩形的四个直角，即可得到面积相等的矩形。
【解析】
(1)步骤如下：
①取任意三角形任意两条边的中点，连接两中点得到三角形的中位线；
②过与中位线平行的边所对的顶点，向中位线作垂线，沿中位线和垂线将三角形分割为3部分；
③将分割得到的两个小直角三角形，分别绕各自所在边的中点旋转180°，即可拼接得到和原三角形面积相等的矩形。
(2)步骤如下：
①依次取任意四边形四条边的中点，连接对边的中点，将原四边形分割为6部分；
②将四个角处的4个小三角形，分别绕对应的边中点旋转180°，即可拼接得到和原四边形面积相等的矩形。
【答案】
1. 拼接方案如
所示：取三角形任意两边的中点，连接两个中点得到中位线，过三角形上方的顶点向底边作垂线，沿中位线和垂线将原三角形分为3部分，将左右两个小直角三角形分别绕各自所在边的中点旋转180°，即可拼接得到与原三角形面积相等的矩形。2. 拼接方案如
所示：依次取四边形四条边的中点，连接对应中点将原四边形分割为6部分，将边角的4个小三角形分别绕对应的边中点旋转，即可拼接得到与原四边形面积相等的矩形。【知识点】
图形割补拼接、三角形中位线定理、旋转的性质
【点评】
本题是图形操作类题型，需要学生读懂示例的核心逻辑，将“中点分割+旋转等积变形”的方法迁移到新的图形问题中，能有效考查学生的知识迁移能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
