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5. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(
A.对角线互相平分
B.每条对角线平分一组对角
C.对角线相等
D.对角相等
B
)。A.对角线互相平分
B.每条对角线平分一组对角
C.对角线相等
D.对角相等
答案
5. B
解析
【分析】
解题时需先分别回忆矩形和正方形的性质，再逐个对比选项，筛选出仅正方形具有、普通矩形不具有的性质即可。首先明确矩形的核心性质：对角相等、对角线相等且互相平分；正方形作为特殊的矩形，除具备矩形的全部性质外，还有对角线平分对角、邻边相等、对角线互相垂直等特有性质，据此逐一排除不符合要求的选项。
【解析】
首先梳理两类图形的性质：
1. 矩形的性质：四个角均为直角，对角相等；对角线相等且互相平分。
2. 正方形的性质：包含矩形的所有性质，同时新增特有性质：四条边相等，对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
对各选项逐一分析：
选项A：对角线互相平分是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
选项B：每条对角线平分一组对角是正方形的特有性质，邻边不等的普通矩形不具备该性质，符合题意；
选项C：对角线相等是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
选项D：对角相等是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质、特殊平行四边形辨析
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查矩形和正方形的性质差异，掌握特殊平行四边形的共性与特性，用排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需先分别回忆矩形和正方形的性质，再逐个对比选项，筛选出仅正方形具有、普通矩形不具有的性质即可。首先明确矩形的核心性质：对角相等、对角线相等且互相平分；正方形作为特殊的矩形，除具备矩形的全部性质外，还有对角线平分对角、邻边相等、对角线互相垂直等特有性质，据此逐一排除不符合要求的选项。
【解析】
首先梳理两类图形的性质：
1. 矩形的性质：四个角均为直角，对角相等；对角线相等且互相平分。
2. 正方形的性质：包含矩形的所有性质，同时新增特有性质：四条边相等，对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
对各选项逐一分析：
选项A：对角线互相平分是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
选项B：每条对角线平分一组对角是正方形的特有性质，邻边不等的普通矩形不具备该性质，符合题意；
选项C：对角线相等是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
选项D：对角相等是矩形和正方形共有的性质，不符合题意，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质、特殊平行四边形辨析
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查矩形和正方形的性质差异，掌握特殊平行四边形的共性与特性，用排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角相等
D.邻边相等
B
)。A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角相等
D.邻边相等
答案
6. B
解析
【分析】
解题时需先分别回忆菱形和正方形的性质，明确我们要找的是仅正方形普遍具备、而菱形不一定具备的特性，再将选项逐一对应两种图形的性质进行比对，排除二者共有的性质，即可得到正确答案。
【解析】
首先梳理两类图形的性质：
1. 菱形的基本性质：四条边长度相等（邻边相等），对角相等，对角线互相垂直且平分；
2. 正方形是特殊的菱形，除具备菱形的所有性质外，还具备对角线相等、四个角都是直角的独有性质。
逐一分析选项：
A. 对角线互相垂直是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
B. 对角线相等是正方形具备的性质，普通菱形的对角线仅满足垂直平分，不相等，仅当菱形为正方形时对角线才相等，因此该性质正方形具有而菱形不一定具有，符合题意；
C. 对角相等是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
D. 邻边相等是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、特殊平行四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查特殊平行四边形的性质差异，解题的关键是熟记菱形和正方形的共性与特性，做好分类区分即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时需先分别回忆菱形和正方形的性质，明确我们要找的是仅正方形普遍具备、而菱形不一定具备的特性，再将选项逐一对应两种图形的性质进行比对，排除二者共有的性质，即可得到正确答案。
【解析】
首先梳理两类图形的性质：
1. 菱形的基本性质：四条边长度相等（邻边相等），对角相等，对角线互相垂直且平分；
2. 正方形是特殊的菱形，除具备菱形的所有性质外，还具备对角线相等、四个角都是直角的独有性质。
逐一分析选项：
A. 对角线互相垂直是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
B. 对角线相等是正方形具备的性质，普通菱形的对角线仅满足垂直平分，不相等，仅当菱形为正方形时对角线才相等，因此该性质正方形具有而菱形不一定具有，符合题意；
C. 对角相等是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除；
D. 邻边相等是菱形和正方形共有的性质，不符合题意，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、特殊平行四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查特殊平行四边形的性质差异，解题的关键是熟记菱形和正方形的共性与特性，做好分类区分即可快速作答。
【难度系数】
0.8
1. (2024·重庆中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M。若BE=DF=1,则DM的长为(
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$
D
)。A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
1. D 提示:$△ AMF≌△ AME(SAS)$。设$DM = x$,则$EM = DF = 1 + x,CM = 4 - x$。在$\mathrm{Rt}△ ECM$中,利用$CE^2 + CM^2 = EM^2$,可得出$DM$的长
解析
【分析】
解题可按三步思路推进：第一步，结合正方形性质，利用已知BE=DF证明△ABE≌△ADF，得到AE=AF，为后续全等证明铺垫条件；第二步，根据AM是∠EAF的角平分线，结合公共边AM，用SAS证明△AMF≌△AME，得到EM=FM，实现线段关系转化，即EM=DF+DM；第三步，设DM为x，用含x的式子表示EM、CM的长度，在Rt△ECM中利用勾股定理列方程求解，即可得到DM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠C=90°，BC=CD=4
在△ABE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ B=∠ ADF\\ BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），可得$AE=AF$
∵AM平分∠EAF，
∴$∠ FAM=∠ EAM$
在△AMF和△AME中：
$\{\begin{array}{l}AF=AE\\ ∠ FAM=∠ EAM\\ AM=AM\end{array} $
∴△AMF≌△AME（SAS），可得$EM=FM$
设$DM=x$，则$FM=DF+DM=1+x$，即$EM=1+x$
由线段和差关系得：$CM=CD-DM=4-x$，$CE=BC-BE=4-1=3$
在Rt△ECM中，根据勾股定理$CE^2+CM^2=EM^2$，代入得：
$3^2+(4-x)^2=(1+x)^2$
展开化简：$9+16-8x+x^2=1+2x+x^2$
整理得：$10x=24$
解得：$x=\frac{12}{5}$，即$DM=\frac{12}{5}$
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查几何中线段长度的计算，核心是通过全等三角形转化相等线段，将未知与已知线段集中到同一直角三角形中，借助勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思路推进：第一步，结合正方形性质，利用已知BE=DF证明△ABE≌△ADF，得到AE=AF，为后续全等证明铺垫条件；第二步，根据AM是∠EAF的角平分线，结合公共边AM，用SAS证明△AMF≌△AME，得到EM=FM，实现线段关系转化，即EM=DF+DM；第三步，设DM为x，用含x的式子表示EM、CM的长度，在Rt△ECM中利用勾股定理列方程求解，即可得到DM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠C=90°，BC=CD=4
在△ABE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ B=∠ ADF\\ BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），可得$AE=AF$
∵AM平分∠EAF，
∴$∠ FAM=∠ EAM$
在△AMF和△AME中：
$\{\begin{array}{l}AF=AE\\ ∠ FAM=∠ EAM\\ AM=AM\end{array} $
∴△AMF≌△AME（SAS），可得$EM=FM$
设$DM=x$，则$FM=DF+DM=1+x$，即$EM=1+x$
由线段和差关系得：$CM=CD-DM=4-x$，$CE=BC-BE=4-1=3$
在Rt△ECM中，根据勾股定理$CE^2+CM^2=EM^2$，代入得：
$3^2+(4-x)^2=(1+x)^2$
展开化简：$9+16-8x+x^2=1+2x+x^2$
整理得：$10x=24$
解得：$x=\frac{12}{5}$，即$DM=\frac{12}{5}$
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查几何中线段长度的计算，核心是通过全等三角形转化相等线段，将未知与已知线段集中到同一直角三角形中，借助勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
A.2.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.2
B
）。A.2.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.2
答案
2. B 提示:连接$AC,CF$,得出$∠ ACF = 90°$,由$H$是$AF$的中点得$CH = \frac{1}{2}AF$
解析
【分析】
遇到含正方形与中点的几何线段求解问题，可按以下思路思考：①正方形的对角线平分内角为45°，且对角线长度为边长的√2倍，可尝试连接两个正方形的对角线AC、CF；②计算∠ACF的度数，可发现两个45°角相加为90°，即△ACF是直角三角形；③已知H是AF中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知CH=½AF，只需用勾股定理计算AF的长度即可得到CH的长。
【解析】
解：连接AC、CF。
∵四边形ABCD是正方形，BC=1，
∴AC=√(BC²+AB²)=√(1²+1²)=√2，∠ACD=45°。
∵四边形CEFG是正方形，CE=3，
∴CF=√(CE²+EF²)=√(3²+3²)=3√2，∠FCG=45°。
∴∠ACF=∠ACD+∠FCG=45°+45°=90°，即△ACF是直角三角形。
∵H是AF的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得CH=½AF。
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
AF=√(AC²+CF²)=√[(√2)²+(3√2)²]=√(2+18)=√20=2√5，
∴CH=½×2√5=√5。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是常见的几何综合基础题，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形斜边的一半，结合正方形和直角三角形的相关性质即可快速求解，考查了学生的几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到含正方形与中点的几何线段求解问题，可按以下思路思考：①正方形的对角线平分内角为45°，且对角线长度为边长的√2倍，可尝试连接两个正方形的对角线AC、CF；②计算∠ACF的度数，可发现两个45°角相加为90°，即△ACF是直角三角形；③已知H是AF中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知CH=½AF，只需用勾股定理计算AF的长度即可得到CH的长。
【解析】
解：连接AC、CF。
∵四边形ABCD是正方形，BC=1，
∴AC=√(BC²+AB²)=√(1²+1²)=√2，∠ACD=45°。
∵四边形CEFG是正方形，CE=3，
∴CF=√(CE²+EF²)=√(3²+3²)=3√2，∠FCG=45°。
∴∠ACF=∠ACD+∠FCG=45°+45°=90°，即△ACF是直角三角形。
∵H是AF的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得CH=½AF。
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
AF=√(AC²+CF²)=√[(√2)²+(3√2)²]=√(2+18)=√20=2√5，
∴CH=½×2√5=√5。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是常见的几何综合基础题，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形斜边的一半，结合正方形和直角三角形的相关性质即可快速求解，考查了学生的几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上。若$△ ABE$ 的面积为 8,$CE = 3$,则线段 BE 的长为
5
。答案
3. 5
解析
【分析】
本题可结合正方形的性质与勾股定理求解：①首先明确正方形对边平行、各边长相等、内角为直角，△ABE以AB为底时，对应的高恰好等于正方形的边长，因此可通过△ABE的面积求出正方形的边长；②得到边长后，在Rt△BCE中，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出BE的长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ a $。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $ AB=BC=a $，$ AB// CD $，$ ∠ C=90° $。
∵ AB与CD平行，
∴ △ABE以AB为底时，高等于正方形的边长$ a $，
则$ S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × a=\frac{1}{2}a^2=8 $，
解得$ a^2=16 $，
∵ $ a＞0 $，
∴ $ a=4 $，即$ BC=4 $。
在Rt△BCE中，$ CE=3 $，$ BC=4 $，由勾股定理得：
$ BE=\sqrt{BC^2 + CE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是发现△ABE的面积和正方形边长的关系，再结合勾股定理计算线段长度，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
本题可结合正方形的性质与勾股定理求解：①首先明确正方形对边平行、各边长相等、内角为直角，△ABE以AB为底时，对应的高恰好等于正方形的边长，因此可通过△ABE的面积求出正方形的边长；②得到边长后，在Rt△BCE中，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出BE的长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ a $。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $ AB=BC=a $，$ AB// CD $，$ ∠ C=90° $。
∵ AB与CD平行，
∴ △ABE以AB为底时，高等于正方形的边长$ a $，
则$ S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × a=\frac{1}{2}a^2=8 $，
解得$ a^2=16 $，
∵ $ a＞0 $，
∴ $ a=4 $，即$ BC=4 $。
在Rt△BCE中，$ CE=3 $，$ BC=4 $，由勾股定理得：
$ BE=\sqrt{BC^2 + CE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是发现△ABE的面积和正方形边长的关系，再结合勾股定理计算线段长度，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,已知A(4,0),B(0,2),以AB为边作正方形ABCD,则点C的坐标为
(2,6)或(-2,-2)
。答案
4. (2,6)或(-2,-2)
解析
【分析】
已知A、B两点坐标，要得到以AB为边的正方形顶点C的坐标，需结合正方形四边相等、邻边垂直的性质，分两种情况讨论：点C在AB的上方、点C在AB的下方。我们可以通过构造“一线三垂直”模型，证明直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合A、B的坐标计算得到C点的横、纵坐标。
【解析】
已知A(4,0)，B(0,2)，则OA=4，OB=2，∠AOB=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，分两种情况讨论：
1. 当点C在AB的上方时：
过点C作CE⊥y轴于点E，则∠CEB=∠BOA=90°。
∵∠CBE+∠BCE=90°，∠CBE+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠ABO。
在△CEB和△BOA中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEB=∠ BOA\\ ∠ BCE=∠ ABO\\ BC=AB\end{array} $
∴△CEB≌△BOA（AAS），
∴CE=OB=2，BE=OA=4，
∴点C的横坐标为CE=2，纵坐标为OB+BE=2+4=6，即C(2,6)。
2. 当点C在AB的下方时：
过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CFB=∠BOA=90°，
同理可证△CFB≌△BOA（AAS），
∴CF=OB=2，BF=OA=4，
∴点C的横坐标为-CF=-2，纵坐标为OB-BF=2-4=-2，即C(-2,-2)。
综上，点C的坐标为(2,6)或(-2,-2)。
【答案】
(2,6)或(-2,-2)
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题解题的关键是分两种情况讨论点C的位置，结合正方形的性质构造全等三角形求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
已知A、B两点坐标，要得到以AB为边的正方形顶点C的坐标，需结合正方形四边相等、邻边垂直的性质，分两种情况讨论：点C在AB的上方、点C在AB的下方。我们可以通过构造“一线三垂直”模型，证明直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合A、B的坐标计算得到C点的横、纵坐标。
【解析】
已知A(4,0)，B(0,2)，则OA=4，OB=2，∠AOB=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，分两种情况讨论：
1. 当点C在AB的上方时：
过点C作CE⊥y轴于点E，则∠CEB=∠BOA=90°。
∵∠CBE+∠BCE=90°，∠CBE+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠ABO。
在△CEB和△BOA中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEB=∠ BOA\\ ∠ BCE=∠ ABO\\ BC=AB\end{array} $
∴△CEB≌△BOA（AAS），
∴CE=OB=2，BE=OA=4，
∴点C的横坐标为CE=2，纵坐标为OB+BE=2+4=6，即C(2,6)。
2. 当点C在AB的下方时：
过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CFB=∠BOA=90°，
同理可证△CFB≌△BOA（AAS），
∴CF=OB=2，BF=OA=4，
∴点C的横坐标为-CF=-2，纵坐标为OB-BF=2-4=-2，即C(-2,-2)。
综上，点C的坐标为(2,6)或(-2,-2)。
【答案】
(2,6)或(-2,-2)
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题解题的关键是分两种情况讨论点C的位置，结合正方形的性质构造全等三角形求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
