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5. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AC上的一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F。
(1)猜想:如图①,线段OE与线段OF的数量关系为
(2)拓展:如图②,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,AM,DB的延长线相交于点F,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请仅就图②给出证明;如果不成立,请说明理由。
(1)猜想:如图①,线段OE与线段OF的数量关系为
$OE=OF$
。(2)拓展:如图②,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,AM,DB的延长线相交于点F,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请仅就图②给出证明;如果不成立,请说明理由。
答案
5. (1) $OE = OF$
(2)成立。证明:在正方形ABCD中,$∠ AOF = ∠ BOE = 90°,OA = OB$。$\because ∠ ABC = 90°,\therefore ∠ EBC + ∠ ABM = 90°$。$\because AM ⊥ BE,\therefore ∠ ABM + ∠ BAF = 90°$。$\therefore ∠ EBC = ∠ BAF$。又$\because ∠ OAB = ∠ OBC = 45°,\therefore ∠ OAF = ∠ OBE$。$\therefore △ AOF≌△ BOE(ASA),\therefore OE = OF$
(2)成立。证明:在正方形ABCD中,$∠ AOF = ∠ BOE = 90°,OA = OB$。$\because ∠ ABC = 90°,\therefore ∠ EBC + ∠ ABM = 90°$。$\because AM ⊥ BE,\therefore ∠ ABM + ∠ BAF = 90°$。$\therefore ∠ EBC = ∠ BAF$。又$\because ∠ OAB = ∠ OBC = 45°,\therefore ∠ OAF = ∠ OBE$。$\therefore △ AOF≌△ BOE(ASA),\therefore OE = OF$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先结合正方形性质得到对角线相关的边角关系：OA=OB，∠AOF=∠BOE=90°；再根据AM⊥BE的垂直条件，利用同角的余角相等推导∠OAF=∠OBE，即可证明△AOF和△BOE全等，进而得到OE与OF的数量关系。
(2) 求解第二问时，和第一问思路一致：即使E在AC延长线上，正方形对角线的性质仍成立，依旧通过角的互余关系推导相等的角，证明两个三角形全等，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，因此OA=OB，∠AOF=∠BOE=90°。
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°，可得∠OAF+∠AEB=90°，
又
∵∠OBE+∠AEB=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
∴△AOF≌△BOE（ASA），因此OE=OF。
(2) 结论成立，证明如下：
在正方形ABCD中，∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB。
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABM=90°。
∵AM⊥BE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAF+∠ABM=90°，
∴∠EBC=∠BAF。
又
∵正方形中∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠OAB+∠BAF=∠OBC+∠EBC，即∠OAF=∠OBE。
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠AOF=∠BOE \\OA=OB \\∠OAF=∠OBE\end{array} $
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF。
【答案】
(1) $OE = OF$
(2) 成立，证明如上，结论仍为$OE = OF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于图形变化类几何题，解题核心是抓住正方形对角线的不变性质，通过同角的余角相等推导等角，进而证明三角形全等得到线段相等，需要掌握在图形动态变化中寻找不变边角关系的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先结合正方形性质得到对角线相关的边角关系：OA=OB，∠AOF=∠BOE=90°；再根据AM⊥BE的垂直条件，利用同角的余角相等推导∠OAF=∠OBE，即可证明△AOF和△BOE全等，进而得到OE与OF的数量关系。
(2) 求解第二问时，和第一问思路一致：即使E在AC延长线上，正方形对角线的性质仍成立，依旧通过角的互余关系推导相等的角，证明两个三角形全等，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，因此OA=OB，∠AOF=∠BOE=90°。
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°，可得∠OAF+∠AEB=90°，
又
∵∠OBE+∠AEB=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
∴△AOF≌△BOE（ASA），因此OE=OF。
(2) 结论成立，证明如下：
在正方形ABCD中，∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB。
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABM=90°。
∵AM⊥BE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAF+∠ABM=90°，
∴∠EBC=∠BAF。
又
∵正方形中∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠OAB+∠BAF=∠OBC+∠EBC，即∠OAF=∠OBE。
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠AOF=∠BOE \\OA=OB \\∠OAF=∠OBE\end{array} $
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF。
【答案】
(1) $OE = OF$
(2) 成立，证明如上，结论仍为$OE = OF$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于图形变化类几何题，解题核心是抓住正方形对角线的不变性质，通过同角的余角相等推导等角，进而证明三角形全等得到线段相等，需要掌握在图形动态变化中寻找不变边角关系的方法。
【难度系数】
0.7
定义:若一个四边形满足三个条件:a. 有一组对角互补,b. 一组邻边相等,c. 相等邻边的夹角为直角,则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形,简称为“直等补”四边形。根据以上定义,解答下列问题。
(1)如图①,四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在边CB的延长线上,且DE = BF,连接AE,AF,请根据定义判断四边形AFCE是不是“直等补”四边形,并说明理由。
(2)如图②,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB = AD,若AB =20,CD =4,求BC的长。
(1)如图①,四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在边CB的延长线上,且DE = BF,连接AE,AF,请根据定义判断四边形AFCE是不是“直等补”四边形,并说明理由。
(2)如图②,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB = AD,若AB =20,CD =4,求BC的长。
答案
1. 四边形AFCE是“直等补”四边形。理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = AD,∠BAD = ∠D = ∠ABC = 90°,
∴ ∠ABF = 90°。在△ABF 与△ADE 中,AB = AD,∠D = ∠ABF,BF = DE,
∴ △ABF ≌ △ADE ( SAS )。
∴ AF = AE, ∠BAF = ∠DAE,
∴ ∠BAF + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE = 90°,
∴ ∠FAE = 90°,
∴ ∠FAE + ∠C = 180°,
∴ 四边形AFCE是“直等补”四边形
2. 如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是“直等补”四边形,AB = AD,
∴ ∠A = 90°,
∴ ∠C + ∠A = 180°。
∴ ∠C = 90°。
∵ AB = AD = 20,
∴ BD = √(AB² + AD²) = 20√2,
∵ CD = 4,
∴ BC = √(BD² - CD²) = 28
解析
【分析】
(1) 判断四边形AFCE是否为“直等补”四边形，需对照定义的三个条件逐一验证：首先利用正方形的性质得到相等的边和角，证明△ABF≌△ADE，得到邻边AF=AE；再通过角的等量代换证明相等邻边的夹角∠FAE=90°；最后验证对角∠FAE与∠C互补，满足三个条件即可判定。
(2) 已知四边形ABCD是“直等补”四边形且AB=AD，首先根据定义得∠A=90°，且对角∠A与∠C互补，推出∠C=90°；连接BD构造直角三角形，先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 四边形AFCE是“直等补”四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD，∠BAD = ∠D = ∠ABC = 90°，
∴ ∠ABF = 90°。
在△ABF与△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\ ∠ D = ∠ ABF\\ BF = DE\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ADE (SAS)。
∴ AF = AE，∠BAF = ∠DAE，
∴ ∠BAF + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE = 90°，即∠FAE = 90°，
又
∵ 正方形中∠C = 90°，
∴ ∠FAE + ∠C = 180°，满足“直等补”四边形的全部条件。
(2) 如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是“直等补”四边形，AB = AD，
∴ 相等邻边的夹角∠A = 90°，且对角∠A与∠C互补，
∴ ∠C = 180° - ∠A = 90°。
∵ AB = AD = 20，
∴ 在Rt△ABD中，$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}$，
∵ CD = 4，
∴ 在Rt△BCD中，$BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(20\sqrt{2})^2 - 4^2} = 28$。
【答案】
(1) 四边形AFCE是“直等补”四边形，理由见上述解析；
(2) BC的长为28，辅助线作图：
【知识点】
全等三角形判定与性质；勾股定理；新定义应用
【点评】
本题以新定义“直等补”四边形为载体，结合正方形性质考查了全等三角形判定、勾股定理的应用，解题核心是准确理解新定义的内涵，将新定义条件转化为常规几何性质求解，能有效锻炼知识迁移和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断四边形AFCE是否为“直等补”四边形，需对照定义的三个条件逐一验证：首先利用正方形的性质得到相等的边和角，证明△ABF≌△ADE，得到邻边AF=AE；再通过角的等量代换证明相等邻边的夹角∠FAE=90°；最后验证对角∠FAE与∠C互补，满足三个条件即可判定。
(2) 已知四边形ABCD是“直等补”四边形且AB=AD，首先根据定义得∠A=90°，且对角∠A与∠C互补，推出∠C=90°；连接BD构造直角三角形，先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 四边形AFCE是“直等补”四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD，∠BAD = ∠D = ∠ABC = 90°，
∴ ∠ABF = 90°。
在△ABF与△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\ ∠ D = ∠ ABF\\ BF = DE\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ADE (SAS)。
∴ AF = AE，∠BAF = ∠DAE，
∴ ∠BAF + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE = 90°，即∠FAE = 90°，
又
∵ 正方形中∠C = 90°，
∴ ∠FAE + ∠C = 180°，满足“直等补”四边形的全部条件。
(2) 如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是“直等补”四边形，AB = AD，
∴ 相等邻边的夹角∠A = 90°，且对角∠A与∠C互补，
∴ ∠C = 180° - ∠A = 90°。
∵ AB = AD = 20，
∴ 在Rt△ABD中，$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}$，
∵ CD = 4，
∴ 在Rt△BCD中，$BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(20\sqrt{2})^2 - 4^2} = 28$。
【答案】
(1) 四边形AFCE是“直等补”四边形，理由见上述解析；
(2) BC的长为28，辅助线作图：
【知识点】
全等三角形判定与性质；勾股定理；新定义应用
【点评】
本题以新定义“直等补”四边形为载体，结合正方形性质考查了全等三角形判定、勾股定理的应用，解题核心是准确理解新定义的内涵，将新定义条件转化为常规几何性质求解，能有效锻炼知识迁移和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
