1. (2024·兴安盟)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.如图所示的图象反映的过程是该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆.图中用$x(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n})$表示时间,$y(\mathrm{k}\mathrm{m})$表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:① 体育场离该同学家$2.5\mathrm{k}\mathrm{m}$;② 该同学在体育场锻炼了$15\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$;③ 该同学跑步的平均速度是步行平均速度的$2$倍;④ 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的$1.5$倍,则$a$的值是$3.75$.其中,正确结论的个数是(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
1. C 解析:①②④正确.
2. (2023·乐山)下列各点在函数$y=2x-1$的图象上的是(
A.$(-1,3)$
B.$(0,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(2,3)$
D
)A.$(-1,3)$
B.$(0,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(2,3)$
答案
2. D
解析
将各点代入函数$y = 2x - 1$：
对于点$A(-1, 3)$，当$x=-1$时，$y=2×(-1)-1=-3\neq3$，不在函数图象上；
对于点$B(0, 1)$，当$x=0$时，$y=2×0 - 1=-1\neq1$，不在函数图象上；
对于点$C(1, -1)$，当$x=1$时，$y=2×1 - 1=1\neq-1$，不在函数图象上；
对于点$D(2, 3)$，当$x=2$时，$y=2×2 - 1=3$，在函数图象上。
D
对于点$A(-1, 3)$，当$x=-1$时，$y=2×(-1)-1=-3\neq3$，不在函数图象上；
对于点$B(0, 1)$，当$x=0$时，$y=2×0 - 1=-1\neq1$，不在函数图象上；
对于点$C(1, -1)$，当$x=1$时，$y=2×1 - 1=1\neq-1$，不在函数图象上；
对于点$D(2, 3)$，当$x=2$时，$y=2×2 - 1=3$，在函数图象上。
D
3. (2024·临夏)一次函数$y=kx-1(k\ne 0)$的函数值$y$随$x$的增大而减小,它的图象不经过的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. A
解析
∵一次函数$y = kx - 1(k \neq 0)$的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∴$k ＜ 0$。
∵$b=-1 ＜ 0$，
∴一次函数$y = kx - 1$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
A
4. (2023·陕西)在平面直角坐标系中,直线$y=-x+m$($m$为常数)与$x$轴交于点$A$,将该直线沿$x$轴向左平移$6$个单位长度后,与$x$轴交于点$A'$.若点$A'$与点$A$关于原点$O$对称,则$m$的值为(
A.$-3$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
B
)A.$-3$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
答案
4. B
解析
解：对于直线$y = -x + m$，令$y = 0$，则$-x + m = 0$，解得$x = m$，所以点$A$的坐标为$(m, 0)$。
将直线$y = -x + m$沿$x$轴向左平移$6$个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得到平移后的直线解析式为$y = -(x + 6) + m = -x - 6 + m$。
对于平移后的直线$y = -x - 6 + m$，令$y = 0$，则$-x - 6 + m = 0$，解得$x = m - 6$，所以点$A'$的坐标为$(m - 6, 0)$。
因为点$A'$与点$A$关于原点$O$对称，所以两点的横坐标互为相反数，即$m + (m - 6) = 0$，解得$2m - 6 = 0$，$2m = 6$，$m = 3$。
B
将直线$y = -x + m$沿$x$轴向左平移$6$个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得到平移后的直线解析式为$y = -(x + 6) + m = -x - 6 + m$。
对于平移后的直线$y = -x - 6 + m$，令$y = 0$，则$-x - 6 + m = 0$，解得$x = m - 6$，所以点$A'$的坐标为$(m - 6, 0)$。
因为点$A'$与点$A$关于原点$O$对称，所以两点的横坐标互为相反数，即$m + (m - 6) = 0$，解得$2m - 6 = 0$，$2m = 6$，$m = 3$。
B
5. 已知点$P(a,b)$在直线$y=-3x-4$上,且$2a-5b\leqslant 0$,则下列不等式一定成立的是(
A.$\dfrac{a}{b}\leqslant \dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{b}{a}\geqslant \dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{b}{a}\leqslant \dfrac{2}{5}$
D
)A.$\dfrac{a}{b}\leqslant \dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{b}{a}\geqslant \dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{b}{a}\leqslant \dfrac{2}{5}$
答案
5. D
解析
解：
∵点$P(a,b)$在直线$y = -3x - 4$上，
∴$b=-3a - 4$。
∵$2a-5b\leqslant0$，
∴$2a-5(-3a - 4)\leqslant0$，
$2a + 15a+20\leqslant0$，
$17a\leqslant-20$，
$a\leqslant-\dfrac{20}{17}$。
$b=-3a - 4$，$a\leqslant-\dfrac{20}{17}$，则$-3a\geqslant\dfrac{60}{17}$，$b\geqslant\dfrac{60}{17}-4=\dfrac{60}{17}-\dfrac{68}{17}=-\dfrac{8}{17}$，
∴$a＜0$，$b＞0$。
由$2a\leqslant5b$，两边同除以$5a$（$a＜0$，不等号变向），得$\dfrac{2}{5}\geqslant\dfrac{b}{a}$，即$\dfrac{b}{a}\leqslant\dfrac{2}{5}$。
D
∵点$P(a,b)$在直线$y = -3x - 4$上，
∴$b=-3a - 4$。
∵$2a-5b\leqslant0$，
∴$2a-5(-3a - 4)\leqslant0$，
$2a + 15a+20\leqslant0$，
$17a\leqslant-20$，
$a\leqslant-\dfrac{20}{17}$。
$b=-3a - 4$，$a\leqslant-\dfrac{20}{17}$，则$-3a\geqslant\dfrac{60}{17}$，$b\geqslant\dfrac{60}{17}-4=\dfrac{60}{17}-\dfrac{68}{17}=-\dfrac{8}{17}$，
∴$a＜0$，$b＞0$。
由$2a\leqslant5b$，两边同除以$5a$（$a＜0$，不等号变向），得$\dfrac{2}{5}\geqslant\dfrac{b}{a}$，即$\dfrac{b}{a}\leqslant\dfrac{2}{5}$。
D
6. (2023·盘锦)已知关于$x$的一次函数$y=(2a+1)x+a-2$.若$y$随$x$的增大而增大,且图象与$y$轴的交点在原点下方,则实数$a$的取值范围是
$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 2$
.答案
6. $-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 2$
解析
解：因为一次函数$y=(2a + 1)x + a - 2$中$y$随$x$的增大而增大，所以$2a+1＞0$，解得$a＞-\frac{1}{2}$。
又因为图象与$y$轴的交点在原点下方，所以当$x = 0$时，$y=a - 2＜0$，解得$a＜2$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜2$。
又因为图象与$y$轴的交点在原点下方，所以当$x = 0$时，$y=a - 2＜0$，解得$a＜2$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜2$。
7. (1) 将一次函数$y=2x-4$的图象沿$x$轴向左平移$4$个单位长度,所得到的图象对应的函数表达式为
(2) 一个正比例函数的图象经过点$A(-2,3)$,$B(a,-3)$,则$a$的值为
$y = 2x + 4$
;(2) 一个正比例函数的图象经过点$A(-2,3)$,$B(a,-3)$,则$a$的值为
2
.答案
7. (1) $y = 2x + 4$
(2) 2
(2) 2
8. (2023·济南)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图,$l_{1}$和$l_{2}$分别表示两人到小亮家的距离$s(\mathrm{k}\mathrm{m})$和时间$t(\mathrm{h})$之间的关系,则出发
]
0.35
$\mathrm{h}$后两人相遇.]
答案
8. 0.35
解析
解：设$l_{1}$的解析式为$s=k_{1}t+b$，将$(0,3.5)$，$(0.5,6)$代入得：
$\begin{cases}b=3.5 \\0.5k_{1}+b=6\end{cases}$
解得$k_{1}=5$，$b=3.5$，故$s=5t+3.5$。
设$l_{2}$的解析式为$s=k_{2}t$，将$(0.4,6)$代入得$0.4k_{2}=6$，解得$k_{2}=15$，故$s=15t$。
令$5t+3.5=15t$，解得$t=0.35$。
0.35
$\begin{cases}b=3.5 \\0.5k_{1}+b=6\end{cases}$
解得$k_{1}=5$，$b=3.5$，故$s=5t+3.5$。
设$l_{2}$的解析式为$s=k_{2}t$，将$(0.4,6)$代入得$0.4k_{2}=6$，解得$k_{2}=15$，故$s=15t$。
令$5t+3.5=15t$，解得$t=0.35$。
0.35
9. 已知一次函数$y=3x-1$的图象与正比例函数$y=kx$($k$是常数,$k\ne 0$)的图象的交点坐标是$(1,2)$,则方程组$\left\{\begin{array}{l}3x-y=1,\\ kx-y=0\end{array}\right.$的解是 ______ .
答案
9. $\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$
