10. 已知一次函数$y=kx+b(k\ne 0)$的图象经过点$(0,2)$,且与两坐标轴围成的三角形的面积为$2$,则该一次函数的表达式为
$y = x + 2$ 或 $y = -x + 2$
.答案
10. $y = x + 2$ 或 $y = -x + 2$ 解析:由题意,得 $b = 2$,
∴ $y = kx + 2$,
∴ 该一次函数的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标分别为 $(-\frac{2}{k},0),(0,2)$,
∴ $\frac{1}{2} × |-\frac{2}{k}| × 2 = 2$,
∴ $|-\frac{2}{k}| = 2$,解得 $k = 1$ 或 $k = -1$,
∴ 该一次函数的表达式为 $y = x + 2$ 或 $y = -x + 2$.
∴ $y = kx + 2$,
∴ 该一次函数的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标分别为 $(-\frac{2}{k},0),(0,2)$,
∴ $\frac{1}{2} × |-\frac{2}{k}| × 2 = 2$,
∴ $|-\frac{2}{k}| = 2$,解得 $k = 1$ 或 $k = -1$,
∴ 该一次函数的表达式为 $y = x + 2$ 或 $y = -x + 2$.
11. 一次函数$y=x+1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$,$B$两点,点$C$在$x$轴上.若$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$共有
4
个.答案
11. 4 解析:分 $AB = AC$,$BA = BC$,$CA = CB$ 三种情况进行讨论，可借助圆规寻找点 $C$ 的位置.
解析
解：在$y=x+1$中，令$y=0$，得$x=-1$，则$A(-1,0)$；令$x=0$，得$y=1$，则$B(0,1)$。$OA=1$，$OB=1$，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}$。
情况1：$AB=AC$
以$A$为圆心，$AB$为半径画圆，与$x$轴交于两点（不含$A$）。
情况2：$BA=BC$
以$B$为圆心，$BA$为半径画圆，与$x$轴交于两点（含原点左侧一点）。
情况3：$CA=CB$
线段$AB$的垂直平分线与$x$轴交于一点（原点左侧）。
综上，满足条件的点$C$共有$4$个。
$\boxed{4}$
情况1：$AB=AC$
以$A$为圆心，$AB$为半径画圆，与$x$轴交于两点（不含$A$）。
情况2：$BA=BC$
以$B$为圆心，$BA$为半径画圆，与$x$轴交于两点（含原点左侧一点）。
情况3：$CA=CB$
线段$AB$的垂直平分线与$x$轴交于一点（原点左侧）。
综上，满足条件的点$C$共有$4$个。
$\boxed{4}$
12. 在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$(-1,-1)$,点$B$的坐标为$(2,7)$,$M$为$x$轴上的一个动点.若要使$MB-MA$的值最大,则点$M$的坐标为
$(-\frac{3}{2},0)$
.答案
12. $(-\frac{3}{2},0)$ 解析:作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$,则直线 $AB'$ 与 $x$ 轴的交点的坐标即为所求.
解析
作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，$B$的坐标为$(2,7)$，则$B'$的坐标为$(2,-7)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,-1)$，$B'(2,-7)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = -1 \\2k + b = -7\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -2 \\b = -3\end{cases}$
所以直线$AB'$的解析式为$y=-2x - 3$。
令$y=0$，则$-2x - 3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
所以点$M$的坐标为$\left(-\frac{3}{2},0\right)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,-1)$，$B'(2,-7)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = -1 \\2k + b = -7\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -2 \\b = -3\end{cases}$
所以直线$AB'$的解析式为$y=-2x - 3$。
令$y=0$，则$-2x - 3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
所以点$M$的坐标为$\left(-\frac{3}{2},0\right)$。
13. (2023·温州)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0,3)$.
(1) 求$m$的值和直线$AB$对应的函数表达式;
(2) 若点$P(t,y_{1})$在线段$AB$上,点$Q(t-1,y_{2})$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,求$y_{1}-y_{2}$的最大值.
]
(1) 求$m$的值和直线$AB$对应的函数表达式;
(2) 若点$P(t,y_{1})$在线段$AB$上,点$Q(t-1,y_{2})$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,求$y_{1}-y_{2}$的最大值.
]答案
13. (1) 把 $A(2,m)$ 代入 $y = 2x - \frac{5}{2}$,得 $m = \frac{3}{2}$. 设直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$. 把 $A(2,\frac{3}{2}),B(0,3)$ 代入,得 $\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2} \\ b = 3 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\frac{3}{4} \\ b = 3 \end{cases}$
∴ 直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = -\frac{3}{4}x + 3$ (2)
∵ 点 $P(t,y_1)$ 在线段 $AB$ 上,点 $Q(t - 1,y_2)$ 在直线 $y = 2x - \frac{5}{2}$ 上,
∴ $y_1 = -\frac{3}{4}t + 3$,$y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$,$0 \leq t \leq 2$,
∴ $y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$
∵ $-\frac{11}{4} ＜ 0$,
∴ $y_1 - y_2$ 的值随 $t$ 的增大而减小. 又 $0 \leq t \leq 2$,
∴ 当 $t = 0$ 时,$y_1 - y_2$ 取得最大值,为 $\frac{15}{2}$
∴ 直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = -\frac{3}{4}x + 3$ (2)
∵ 点 $P(t,y_1)$ 在线段 $AB$ 上,点 $Q(t - 1,y_2)$ 在直线 $y = 2x - \frac{5}{2}$ 上,
∴ $y_1 = -\frac{3}{4}t + 3$,$y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$,$0 \leq t \leq 2$,
∴ $y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$
∵ $-\frac{11}{4} ＜ 0$,
∴ $y_1 - y_2$ 的值随 $t$ 的增大而减小. 又 $0 \leq t \leq 2$,
∴ 当 $t = 0$ 时,$y_1 - y_2$ 取得最大值,为 $\frac{15}{2}$
14. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$的图象$l_{1}$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$,$B$两点,正比例函数的图象$l_{2}$与$l_{1}$交于点$C(m,4)$.
(1) 求$m$的值及$l_{2}$对应的函数表达式;
(2) 求$S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}$的值;
(3) 若一次函数$y=kx+1$的图象为$l_{3}$,且$l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}$不能围成三角形,直接写出$k$的值.
]
(1) 求$m$的值及$l_{2}$对应的函数表达式;
(2) 求$S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}$的值;
(3) 若一次函数$y=kx+1$的图象为$l_{3}$,且$l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}$不能围成三角形,直接写出$k$的值.
]答案
14. (1) 把 $C(m,4)$ 代入 $y = -\frac{1}{2}x + 5$,得 $4 = -\frac{1}{2}m + 5$,解得 $m = 2$.
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$. 设 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y = ax$. 把 $C(2,4)$ 代入,得 $4 = 2a$,解得 $a = 2$.
∴ $l_2$ 对应的函数表达式为 $y = 2x$ (2) 如图,过点 $C$ 作 $CD \perp AO$ 于点 $D$,$CE \perp BO$ 于点 $E$,则 $CD = 4$,$CE = 2$. 在 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ 中,令 $x = 0$,得 $y = 5$; 令 $y = 0$,得 $x = 10$,
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,5)$,
∴ $AO = 10$,$BO = 5$,
∴ $S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} AO · CD - \frac{1}{2} BO · CE = \frac{1}{2} × 10 × 4 - \frac{1}{2} × 5 × 2 = 20 - 5 = 15$
(3) $k$ 的值为 $\frac{3}{2}$ 或 $2$ 或 $-\frac{1}{2}$ 解析:
∵ 一次函数 $y = kx + 1$ 的图象为 $l_3$,且 $l_1$,$l_2$,$l_3$ 不能围成三角形,
∴ 分情况讨论:当 $l_3$ 经过点 $C(2,4)$ 时,$k = \frac{3}{2}$; 当 $l_2 // l_3$ 时,$k = 2$; 当 $l_1 // l_3$ 时,$k = -\frac{1}{2}$,
∴ $k$ 的值为 $\frac{3}{2}$ 或 $2$ 或 $-\frac{1}{2}$.
