15. 某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如下表:
(1) 求甲、乙两种水果的进价.
(2) 销售完前两次购进的水果后,该水果店老板决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共$200$千克,且投入的资金不超过$3360$元.将其中的$m$千克甲种水果和$3m$千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以$17$元/千克、乙种水果以$30$元/千克的价格销售.若第三次购进的$200$千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于$800$元,求正整数$m$的最大值.
(1) 求甲、乙两种水果的进价.
(2) 销售完前两次购进的水果后,该水果店老板决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共$200$千克,且投入的资金不超过$3360$元.将其中的$m$千克甲种水果和$3m$千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以$17$元/千克、乙种水果以$30$元/千克的价格销售.若第三次购进的$200$千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于$800$元,求正整数$m$的最大值.
答案
15. (1) 设甲种水果的进价为 $a$ 元/千克，乙种水果的进价为 $b$ 元/千克. 根据题意，得 $\begin{cases}60a + 40b = 1520 \\ 30a + 50b = 1360 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 12 \\ b = 20 \end{cases}$
∴ 甲种水果的进价为 $12$ 元/千克，乙种水果的进价为 $20$ 元/千克
(2) 设第三次购进 $x$ 千克甲种水果，则购进 $(200 - x)$ 千克乙种水果. 根据题意，得 $12x + 20(200 - x) \leq 3360$,解得 $x \geq 80$. 设获得的利润为 $w$ 元. 根据题意,得 $w = (17 - 12)(x - m) + (30 - 20)(200 - x - 3m) = - 5x - 35m + 2000$.
∵ $- 5 ＜ 0$,
∴ $w$ 随 $x$ 的增大而减小,
∴ 当 $x = 80$ 时,$w$ 的值最大，最大值为 $- 35m + 1600$. 根据题意，得 $- 35m + 1600 \geq 800$,解得 $m \leq \frac{160}{7}$,
∴ 正整数 $m$ 的最大值为 $22$
∴ 甲种水果的进价为 $12$ 元/千克，乙种水果的进价为 $20$ 元/千克
(2) 设第三次购进 $x$ 千克甲种水果，则购进 $(200 - x)$ 千克乙种水果. 根据题意，得 $12x + 20(200 - x) \leq 3360$,解得 $x \geq 80$. 设获得的利润为 $w$ 元. 根据题意,得 $w = (17 - 12)(x - m) + (30 - 20)(200 - x - 3m) = - 5x - 35m + 2000$.
∵ $- 5 ＜ 0$,
∴ $w$ 随 $x$ 的增大而减小,
∴ 当 $x = 80$ 时,$w$ 的值最大，最大值为 $- 35m + 1600$. 根据题意，得 $- 35m + 1600 \geq 800$,解得 $m \leq \frac{160}{7}$,
∴ 正整数 $m$ 的最大值为 $22$
16. 某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为$6$元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月($30$天)的试营销,售价为$8$元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象.如图所示的折线$ODE$表示日销售量$y$(件)与销售时间$x$(天)之间的函数关系,在线段$DE$表示的函数关系中,时间每增加$1$天,日销售量减少$5$件.
(1) 第$24$天的日销售量是
(2) 求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
(3) 日销售利润不低于$640$元的共有多少天? 试销售期间,最大日销售利润是多少元?
]
(1) 第$24$天的日销售量是
$330$
件,日销售利润是$660$
元.(2) 求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
(3) 日销售利润不低于$640$元的共有多少天? 试销售期间,最大日销售利润是多少元?
]答案
16. (1) $330$ $660$ (2) 设线段 $OD$ 所在直线对应的函数表达式为 $y_{OD} = kx$. 将 $(17,340)$ 代入,得 $340 = 17k$,解得 $k = 20$.
∴ $y_{OD} = 20x$. 由题意，得线段 $DE$ 所在直线对应的函数表达式为 $y_{DE} = 340 - 5(x - 22) = - 5x + 450$. 由 $\begin{cases}y = 20x \\ y = - 5x + 450 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 18 \\ y = 360 \end{cases}$
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(18,360)$,
∴ $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = \begin{cases}20x(0 \leq x \leq 18) \\ - 5x + 450(18 ＜ x \leq 30) \end{cases}$
(3) 当 $0 \leq x \leq 18$ 时,根据题意，得 $(8 - 6) × 20x \geq 640$,解得 $x \geq 16$; 当 $18 ＜ x \leq 30$ 时,根据题意，得 $(8 - 6)(- 5x + 450) \geq 640$,解得 $x \leq 26$.
∴ $16 \leq x \leq 26$,
∴ 日销售利润不低于 $640$ 元的共有 $26 - 16 + 1 = 11$ (天).
∵ 点 $D$ 的坐标为 $(18,360)$,
∴ 最大日销售量为 $360$ 件,
∴ 最大日销售利润是 $(8 - 6) × 360 = 720$ (元),
∴ 日销售利润不低于 $640$ 元的共有 $11$ 天，试销售期间,最大日销售利润是 $720$ 元
∴ $y_{OD} = 20x$. 由题意，得线段 $DE$ 所在直线对应的函数表达式为 $y_{DE} = 340 - 5(x - 22) = - 5x + 450$. 由 $\begin{cases}y = 20x \\ y = - 5x + 450 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 18 \\ y = 360 \end{cases}$
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(18,360)$,
∴ $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = \begin{cases}20x(0 \leq x \leq 18) \\ - 5x + 450(18 ＜ x \leq 30) \end{cases}$
(3) 当 $0 \leq x \leq 18$ 时,根据题意，得 $(8 - 6) × 20x \geq 640$,解得 $x \geq 16$; 当 $18 ＜ x \leq 30$ 时,根据题意，得 $(8 - 6)(- 5x + 450) \geq 640$,解得 $x \leq 26$.
∴ $16 \leq x \leq 26$,
∴ 日销售利润不低于 $640$ 元的共有 $26 - 16 + 1 = 11$ (天).
∵ 点 $D$ 的坐标为 $(18,360)$,
∴ 最大日销售量为 $360$ 件,
∴ 最大日销售利润是 $(8 - 6) × 360 = 720$ (元),
∴ 日销售利润不低于 $640$ 元的共有 $11$ 天，试销售期间,最大日销售利润是 $720$ 元
