$45^{\circ}$角→构等腰直角三角

形→三垂直全等

1. 如图,抛物线$y = x^{2}-2x - 3与x轴交于点A$,$B$,与$y轴交于点C$,$P$为第一象限内抛物线上一点,若$∠PCA = 45^{\circ}$,求点$P$的坐标。

解:过点A作AM⊥AC,交直线PC于点M,过点M作MN⊥x轴于点N.则△AMN≌△CAO,由y = x² - 2x - 3可得A(-1,0),C(0,-3),∴M(2,1),∴直线PC:y = 2x - 3,联立x² - 2x - 3 = 2x - 3,得$x_P = 4,$∴P(4,5).

(一)等角→平行


2. 如图,抛物线$y = -x^{2}+bx + c经过点A(-1,0)$,$B(3,0)$,与$y轴交于点C$。若抛物线上存在点$P$,使$∠PAB = ∠ABC$,求点$P$的坐标。
(二)等角→全等
3. 抛物线$y = ax^{2}+2x + c与x轴交于A(-1,0)$,$B$两点,与$y轴交于点C(0,3)$,$D(m,3)$为第一象限内抛物线上的一点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图,连接$BC$,$BD$,点$P$在对称轴左侧的抛物线上,若$∠PBC = ∠DBC$,求点$P$

的坐标。

解:可求得抛物线为y = -x² + 2x + 3.
∵抛物线y = -x² + 2x + 3的对称轴是直线x = 1,C(0,3),
∴点C关于对称轴的对称点P₁(2,3)符合要求;
∵BC的解析式为y = -x + 3,
设与BC平行的直线AP₂的解析式为y = -x + m,
则1 + m = 0,解得m = -1.
∴与BC平行的直线AP₂的解析式为y = -x - 1,与抛物线解析式联立,得{y = -x - 1,y = -x² + 2x + 3,解得{x₁ = 4,y₁ = -5,{x₂ = -1,y₂ = 0,(舍去),
∴P₂(4,-5).综上所述,点P的坐标为(2,3)或(4,-5).