例3:如图,AB,CD相交于点O,$AC⊥CD$于点C,若$∠BOD= 35^{\circ }$,则$∠A$等于____.

分析:利用对顶角相等推知$∠AOC= 35^{\circ },$然后由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求$∠A$的度数.$\because ∠BOD= 35^{\circ },$$\therefore ∠AOC= ∠BOD= 35^{\circ }$,又$\because AC⊥CD,$$\therefore ∠ACO= 90^{\circ },\therefore ∠A= 90^{\circ }-∠AOC= 55^{\circ }.$
答案:$55^{\circ }$

$55^{\circ }$

例4:如图,$AB// CD$,直线EF分别交AB,CD于点E,F,$∠BEF的平分线与∠DFE$的平分线相交于点P,求证:$\triangle EFP$是直角三角形.

分析:由$AB// CD$,可知$∠BEF与∠DFE$互补,由角平分线的性质可得$∠PEF+$$∠PFE= 90^{\circ }$,则$\triangle EFP$是直角三角形.
证明:$\because AB// CD,\therefore ∠BEF+∠DFE= $$180^{\circ }$,又$\because ∠BEF的平分线与∠DFE$的平分线相交于点P,$\therefore ∠PEF= $$\frac {1}{2}∠BEF,∠PFE= \frac {1}{2}∠DFE,\therefore ∠PEF$$+∠PFE= \frac {1}{2}(∠BEF+∠DFE)= 90^{\circ },$$\therefore \triangle EFP$是直角三角形.

因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle BEF+\angle DFE = 180^{\circ}$；
又因为$\angle BEF$的平分线与$\angle DFE$的平分线相交于点$P$，根据角平分线定义，所以$\angle PEF=\frac{1}{2}\angle BEF$，$\angle PFE=\frac{1}{2}\angle DFE$；
进而$\angle PEF+\angle PFE=\frac{1}{2}(\angle BEF + \angle DFE)$（等量代换），把$\angle BEF+\angle DFE = 180^{\circ}$代入可得$\angle PEF+\angle PFE = 90^{\circ}$；
根据直角三角形的定义（有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形），所以$\triangle EFP$是直角三角形。

6.如图,AD是$Rt\triangle ABC$斜边BC上的高,则图中与$∠B$互余的角有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

7.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么其中一个锐角的度数是()
A.$27^{\circ }$
B.$36^{\circ }$
C.$54^{\circ }$
D.$72^{\circ }$

D