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19. 如图,$AC$,$BD是四边形ABCD$的对角线,$E$,$F分别是AD$,$BC$的中点,$M$,$N分别是AC$,$BD$的中点,连接$EM$,$MF$,$FN$,$NE$,要使四边形$EMFN$为正方形,则需添加的条件是(
A.AB=CD，AB⊥CD
B.AB=CD，AD=BC
C.AB=CD，AC⊥BD
D.AB=CD，AD//BC
A
)A.AB=CD，AB⊥CD
B.AB=CD，AD=BC
C.AB=CD，AC⊥BD
D.AB=CD，AD//BC
答案
A
20. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC\perp BD$,$AC = BD$,$E$,$F$,$G$,$H分别为AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点。求证：四边形$EFGH$为正方形。
证明：∵ $E$，$F$，$G$，$H$ 分别为四边形 $ABCD$ 各边的中点，∴
证明：∵ $E$，$F$，$G$，$H$ 分别为四边形 $ABCD$ 各边的中点，∴
$EF // GH // AC$，$FG // EH // BD$，且 $EF = GH = \frac{1}{2}AC$，$FG = EH = \frac{1}{2}BD$
。又 ∵ $AC \perp BD$，$AC = BD$，∴ $\angle HEF = \angle EFG = \angle GHE = \angle FGH = 90^{\circ}$，$EF = FG = GH = HE$
。∴ 四边形 $EFGH$ 是正方形。答案
证明：∵ $E$，$F$，$G$，$H$ 分别为四边形 $ABCD$ 各边的中点，∴ $EF // GH // AC$，$FG // EH // BD$，且 $EF = GH = \frac{1}{2}AC$，$FG = EH = \frac{1}{2}BD$。又 ∵ $AC \perp BD$，$AC = BD$，∴ $\angle HEF = \angle EFG = \angle GHE = \angle FGH = 90^{\circ}$，$EF = FG = GH = HE$。∴ 四边形 $EFGH$ 是正方形。
21. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为BC$边的中点,过点$D作DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$。
(1)求证：$\triangle BED\cong\triangle CFD$；
证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$。∵ $AB = AC$，∴ $\angle B = \angle C$。∵ $D$ 是 $BC$ 的中点，∴ $BD = CD$。∴ $\triangle BED \cong \triangle CFD$
(2)若$\angle A = 90^{\circ}$,求证：四边形$DFAE$是正方形。
证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。∵ $\angle A = 90^{\circ}$，∴ 四边形 $DFAE$ 为
(1)求证：$\triangle BED\cong\triangle CFD$；
证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$。∵ $AB = AC$，∴ $\angle B = \angle C$。∵ $D$ 是 $BC$ 的中点，∴ $BD = CD$。∴ $\triangle BED \cong \triangle CFD$
AAS
。(2)若$\angle A = 90^{\circ}$,求证：四边形$DFAE$是正方形。
证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。∵ $\angle A = 90^{\circ}$，∴ 四边形 $DFAE$ 为
矩形
。∵ $\triangle BED \cong \triangle CFD$，∴ $DE = DF$。∴ 四边形 $DFAE$ 为正方形
。答案
(1) 证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$。∵ $AB = AC$，∴ $\angle B = \angle C$。∵ $D$ 是 $BC$ 的中点，∴ $BD = CD$。∴ $\triangle BED \cong \triangle CFD(AAS)$。 (2) 证明：∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。∵ $\angle A = 90^{\circ}$，∴ 四边形 $DFAE$ 为矩形。∵ $\triangle BED \cong \triangle CFD$，∴ $DE = DF$。∴ 四边形 $DFAE$ 为正方形。
22. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$O为AB$的中点,连接$DO并延长到点E$,使$OE = OD$,连接$AE$,$BE$。
(1)求证：四边形$AEBD$是矩形。
证明：∵ $O$ 为 $AB$ 的中点，∴ $OA = OB$。又 ∵ $OE = OD$，∴ 四边形 $AEBD$ 是平行四边形。∵ $AB = AC$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，∴ $AD \perp BC$，即 $\angle ADB = 90^{\circ}$。∴ 四边形 $AEBD$ 是矩形。
(2)当$\triangle ABC中\angle BAC$满足什么条件时,矩形$AEBD$是正方形？请说明理由。
解：当$\angle BAC =
(1)求证：四边形$AEBD$是矩形。
证明：∵ $O$ 为 $AB$ 的中点，∴ $OA = OB$。又 ∵ $OE = OD$，∴ 四边形 $AEBD$ 是平行四边形。∵ $AB = AC$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，∴ $AD \perp BC$，即 $\angle ADB = 90^{\circ}$。∴ 四边形 $AEBD$ 是矩形。
(2)当$\triangle ABC中\angle BAC$满足什么条件时,矩形$AEBD$是正方形？请说明理由。
解：当$\angle BAC =
90^{\circ}
$时，矩形$AEBD$是正方形。理由：∵ $AB = AC$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，∴ $BD = CD$。又 ∵ $\angle BAC = 90^{\circ}$，∴ $AD = BD$。∴ 矩形 $AEBD$ 是正方形。答案
(1) 证明：∵ $O$ 为 $AB$ 的中点，∴ $OA = OB$。又 ∵ $OE = OD$，∴ 四边形 $AEBD$ 是平行四边形。∵ $AB = AC$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，∴ $AD \perp BC$，即 $\angle ADB = 90^{\circ}$。∴ 四边形 $AEBD$ 是矩形。 (2) 解：当 $\angle BAC = 90^{\circ}$ 时，矩形 $AEBD$ 是正方形。理由：∵ $AB = AC$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，∴ $BD = CD$。又 ∵ $\angle BAC = 90^{\circ}$，∴ $AD = BD$。∴ 矩形 $AEBD$ 是正方形。
23. 如图,已知在菱形$ABCD$中,$E$,$O$,$F分别是AB$,$AC$,$AD$的中点,连接$CE$,$OE$,$CF$,$OF$。
(1)求证：$\triangle BCE\cong\triangle DCF$。
(2)当$AB与BC$满足什么条件时,四边形$AEOF$是正方形？请说明理由。
(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，∴ $AB = BC = CD = DA$，$\angle B = \angle D$。又 ∵ $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，∴ $BE = DF$。在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle DCF$ 中，∵ $BC = DC$，$\angle B = \angle D$，$BE = DF$，∴ $\triangle BCE \cong \triangle DCF$
(1)求证：$\triangle BCE\cong\triangle DCF$。
(2)当$AB与BC$满足什么条件时,四边形$AEOF$是正方形？请说明理由。
(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，∴ $AB = BC = CD = DA$，$\angle B = \angle D$。又 ∵ $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，∴ $BE = DF$。在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle DCF$ 中，∵ $BC = DC$，$\angle B = \angle D$，$BE = DF$，∴ $\triangle BCE \cong \triangle DCF$
SAS
。 (2) 解：当 $AB$ 与 $BC$ 满足$AB \perp BC$
时，四边形 $AEOF$ 是正方形。理由：∵ $E$，$O$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，∴ $EO // BC$。又 ∵ $BC // AD$，∴ $OE // AD$，即 $OE // AF$。同理可证 $OF // AE$，∴ 四边形 $AEOF$ 为平行四边形。∵ 在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$AD$ 的中点，∴ $AE = AF$。∴ 四边形 $AEOF$ 为菱形。∵ $AB \perp BC$，∴ $\angle BAD = \angle B = 90^{\circ}$。∴ 四边形 $AEOF$ 为正方形。答案
(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，∴ $AB = BC = CD = DA$，$\angle B = \angle D$。又 ∵ $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，∴ $BE = DF$。在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle DCF$ 中，∵ $BC = DC$，$\angle B = \angle D$，$BE = DF$，∴ $\triangle BCE \cong \triangle DCF(SAS)$。 (2) 解：当 $AB \perp BC$ 时，四边形 $AEOF$ 为正方形。理由：∵ $E$，$O$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，∴ $EO // BC$。又 ∵ $BC // AD$，∴ $OE // AD$，即 $OE // AF$。同理可证 $OF // AE$，∴ 四边形 $AEOF$ 为平行四边形。∵ 在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$AD$ 的中点，∴ $AE = AF$。∴ 四边形 $AEOF$ 为菱形。∵ $AB \perp BC$，∴ $\angle BAD = \angle B = 90^{\circ}$。∴ 四边形 $AEOF$ 为正方形。
24. 如图,在正方形$ABCD$中,动点$E在AC$上,$AF\perp AC$,垂足为$A$,$AF = AE$。
(1)求证：$BF = DE$；
证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，∴ $AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$。∵ $AF \perp AC$，∴ $\angle EAF = 90^{\circ}$。∴ $\angle BAF = \angle EAD$。∵ $AF = AE$，∴ $\triangle ABF \cong \triangle ADE(SAS)$。∴ $BF = DE$。
(2)当点$E运动到AC$中点时(其他条件都保持不变),四边形$AFBE$是什么特殊四边形？请说明理由。
解：当点 $E$ 运动到 $AC$ 的中点时，四边形 $AFBE$ 是
(1)求证：$BF = DE$；
证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，∴ $AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$。∵ $AF \perp AC$，∴ $\angle EAF = 90^{\circ}$。∴ $\angle BAF = \angle EAD$。∵ $AF = AE$，∴ $\triangle ABF \cong \triangle ADE(SAS)$。∴ $BF = DE$。
(2)当点$E运动到AC$中点时(其他条件都保持不变),四边形$AFBE$是什么特殊四边形？请说明理由。
解：当点 $E$ 运动到 $AC$ 的中点时，四边形 $AFBE$ 是
正方形
。理由：∵ 点 $E$ 运动到 $AC$ 的中点，$AB = BC$，∴ $BE \perp AC$，$BE = AE = \frac{1}{2}AC$。∵ $AF = AE$，∴ $BE = AF = AE$。∵ $BE \perp AC$，∴ $\angle FAE = \angle BEC = 90^{\circ}$。∴ $BE // AF$。∵ $BE = AF$，∴ 四边形 $AFBE$ 是平行四边形。∵ $\angle FAE = 90^{\circ}$，$AF = AE$，∴ 四边形 $AFBE$ 是正方形。答案
(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，∴ $AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$。∵ $AF \perp AC$，∴ $\angle EAF = 90^{\circ}$。∴ $\angle BAF = \angle EAD$。∵ $AF = AE$，∴ $\triangle ABF \cong \triangle ADE(SAS)$。∴ $BF = DE$。 (2) 解：当点 $E$ 运动到 $AC$ 的中点时，四边形 $AFBE$ 是正方形。理由：∵ 点 $E$ 运动到 $AC$ 的中点，$AB = BC$，∴ $BE \perp AC$，$BE = AE = \frac{1}{2}AC$。∵ $AF = AE$，∴ $BE = AF = AE$。∵ $BE \perp AC$，∴ $\angle FAE = \angle BEC = 90^{\circ}$。∴ $BE // AF$。∵ $BE = AF$，∴ 四边形 $AFBE$ 是平行四边形。∵ $\angle FAE = 90^{\circ}$，$AF = AE$，∴ 四边形 $AFBE$ 是正方形。
