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【例 2】如图 24.2.1 - 8 所示，残破的圆形轮片上，弦$AB$的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$，交弦$AB$于点$D$。已知$AB = 24\ cm$，$CD = 8\ cm$。
(1) 求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2) 求(1)中所作圆的半径。
思考 1：求残片所在的圆，关键是找出
思考 2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用
解：
(1) 求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2) 求(1)中所作圆的半径。
思考 1：求残片所在的圆，关键是找出
圆心
，即两条弦的垂直平分线的交点
。思考 2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用
勾股
定理求解。解：
答案
思考1:圆心 垂直平分线的交点；思考2:勾股；
(2)13cm
(2)13cm
2. 如图 24.2.1 - 9，将$\triangle ABC$放在每个小正方形的边长为$1$的网格中，点$A$，$B$，$C$均落在格点上，用一个圆面去覆盖$\triangle ABC$，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
√5
。答案
2.√5
解析
解：由图可知，$AB=4$，$AB$中点到$C$的距离为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\triangle ABC$为钝角三角形，其外接圆的直径为最长边$AC$，但经计算，以$AB$中点为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆可覆盖$\triangle ABC$，且为最小圆面。
半径为$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
$\triangle ABC$为钝角三角形，其外接圆的直径为最长边$AC$，但经计算，以$AB$中点为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆可覆盖$\triangle ABC$，且为最小圆面。
半径为$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
3. 如图 24.2.1 - 10 所示，用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，并分别指出三角形的外心的位置。(不写作法，保留作图痕迹)
答案
3.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部
1. 下列说法正确的是(
A.经过三个点一定可以作圆
B.任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形
C.任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆
D.三角形的外心到三角形各边的距离都相等
C
)A.经过三个点一定可以作圆
B.任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形
C.任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆
D.三角形的外心到三角形各边的距离都相等
答案
1.C
2. 若$\odot O$的半径为$6$，点$P$在$\odot O$内，则$OP$的长可能是(
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
A
)A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
2.A
解析
点与圆的位置关系：点在圆内，则该点到圆心的距离小于圆的半径。
已知$\odot O$的半径为$6$，点$P$在$\odot O$内，所以$OP ＜ 6$。
选项中只有$5 ＜ 6$，故$OP$的长可能是$5$。
A
已知$\odot O$的半径为$6$，点$P$在$\odot O$内，所以$OP ＜ 6$。
选项中只有$5 ＜ 6$，故$OP$的长可能是$5$。
A
3. 用反证法证明“$a ＜ b$”时第一步应假设(
A.$a ＞ b$
B.$a \leq b$
C.$a \geq b$
D.$a \neq b$
C
)A.$a ＞ b$
B.$a \leq b$
C.$a \geq b$
D.$a \neq b$
答案
3.C
4. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$，则$\triangle ABC$外接圆的半径为
5
$cm$。答案
4.5
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$。
根据勾股定理，$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ cm$。
因为直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以$\triangle ABC$外接圆的半径为$\dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\ cm$。
5
根据勾股定理，$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ cm$。
因为直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以$\triangle ABC$外接圆的半径为$\dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\ cm$。
5
5. 如图 24.2.1 - 11，在$A$岛附近，半径约为$250\ km$的范围内是暗礁区，往北$300\ km$处有一灯塔$B$，往西$400\ km$处有一灯塔$C$，现有一渔船沿$CB$方向航行，渔船是否会进入暗礁区？说明理由。
答案
5.渔船会进入暗礁区.理由如下:过点A作AD⊥BC,垂足为D(图略).因为AC=400km,AB=300km,所以BC=√(AC²+AB²)=500km.因为S△ABC=(AB·AC)/2=(AD·BC)/2,所以AD=240km.因为240＜250，所以渔船会进入暗礁区.
解析
渔船会进入暗礁区。理由如下：
过点$A$作$AD \perp BC$，垂足为$D$。
因为$AC = 400\ km$，$AB = 300\ km$，$\angle BAC = 90°$，
所以$BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{400^{2}+300^{2}} = 500\ km$。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AD\cdot BC$，
所以$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{300×400}{500}=240\ km$。
因为$240 ＜ 250$，所以渔船会进入暗礁区。
过点$A$作$AD \perp BC$，垂足为$D$。
因为$AC = 400\ km$，$AB = 300\ km$，$\angle BAC = 90°$，
所以$BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{400^{2}+300^{2}} = 500\ km$。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AD\cdot BC$，
所以$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{300×400}{500}=240\ km$。
因为$240 ＜ 250$，所以渔船会进入暗礁区。
