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1. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图 24.2.1 - 12 所示的玻璃残片的边缘描出了点$A$，$B$，$C$，绘出$\triangle ABC$，则这块玻璃镜的圆心是(
A.$AB$，$AC$边上的中线的交点
B.$AB$，$AC$边上的垂直平分线的交点
C.$AB$，$AC$边上的高所在直线的交点
D.$\angle BAC$与$\angle ABC$的平分线的交点
B
)A.$AB$，$AC$边上的中线的交点
B.$AB$，$AC$边上的垂直平分线的交点
C.$AB$，$AC$边上的高所在直线的交点
D.$\angle BAC$与$\angle ABC$的平分线的交点
答案
1.B
解析
要确定圆形玻璃镜的圆心，即确定$\triangle ABC$的外接圆圆心。
因为三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，所以这块玻璃镜的圆心是$AB$，$AC$边上的垂直平分线的交点。
答案：B
因为三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，所以这块玻璃镜的圆心是$AB$，$AC$边上的垂直平分线的交点。
答案：B
2. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于$60^{\circ}$”时，首先应假设这个三角形中(
A.有一个内角大于$60^{\circ}$
B.有一个内角小于$60^{\circ}$
C.每一个内角都大于$60^{\circ}$
D.每一个内角都小于$60^{\circ}$
C
)A.有一个内角大于$60^{\circ}$
B.有一个内角小于$60^{\circ}$
C.每一个内角都大于$60^{\circ}$
D.每一个内角都小于$60^{\circ}$
答案
2.C
3. 如图 24.2.1 - 13，$AC$，$BE$是$\odot O$的直径，弦$AD$与$BE$交于点$F$，下列三角形中，外心不是点$O$的是(
A.$\triangle ABE$
B.$\triangle ACF$
C.$\triangle ABD$
D.$\triangle ADE$
B
)A.$\triangle ABE$
B.$\triangle ACF$
C.$\triangle ABD$
D.$\triangle ADE$
答案
3.B
解析
证明：
选项A：$\triangle ABE$，$BE$是$\odot O$的直径，$\angle BAE=90°$，外心是斜边$BE$中点$O$。
选项B：$\triangle ACF$，$AC$是$\odot O$的直径，$\angle ADC=90°$，但点$F$在$BE$上，$OF\neq OA=OC$，外心不是$O$。
选项C：$\triangle ABD$，$AC$是$\odot O$的直径，$\angle ABC=90°$，$\angle ABD＜90°$，$AB$、$AD$、$BD$均非直径，外心是$O$（$OA=OB=OD$）。
选项D：$\triangle ADE$，$BE$是$\odot O$的直径，$\angle BDE=90°$，$\angle ADE＜90°$，$AD$、$DE$、$AE$均非直径，外心是$O$（$OA=OD=OE$）。
答案：B
选项A：$\triangle ABE$，$BE$是$\odot O$的直径，$\angle BAE=90°$，外心是斜边$BE$中点$O$。
选项B：$\triangle ACF$，$AC$是$\odot O$的直径，$\angle ADC=90°$，但点$F$在$BE$上，$OF\neq OA=OC$，外心不是$O$。
选项C：$\triangle ABD$，$AC$是$\odot O$的直径，$\angle ABC=90°$，$\angle ABD＜90°$，$AB$、$AD$、$BD$均非直径，外心是$O$（$OA=OB=OD$）。
选项D：$\triangle ADE$，$BE$是$\odot O$的直径，$\angle BDE=90°$，$\angle ADE＜90°$，$AD$、$DE$、$AE$均非直径，外心是$O$（$OA=OD=OE$）。
答案：B
4. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，外接圆的圆心在$\triangle ABC$一条边上的是(
A.$a = 15$，$b = 12$，$c = 10$
B.$a = 5$，$b = 12$，$c = 12$
C.$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$
D.$a = 5$，$b = 12$，$c = 14$
C
)A.$a = 15$，$b = 12$，$c = 10$
B.$a = 5$，$b = 12$，$c = 12$
C.$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$
D.$a = 5$，$b = 12$，$c = 14$
答案
4.C
解析
外接圆的圆心在三角形一条边上的三角形是直角三角形。
对于选项C：$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$，
因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，
所以该三角形是直角三角形，其外接圆圆心在斜边$c$上。
C
对于选项C：$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$，
因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，
所以该三角形是直角三角形，其外接圆圆心在斜边$c$上。
C
5. 如图 24.2.1 - 14，某公园有一个三角形花坛，三角形的顶点$A$，$B$，$C$上各有一棵古树。现决定把原来的花坛扩建成一个圆形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上，请你只用直尺和圆规在原图上画出你所设计的圆形花坛示意图，不写作法但保留作图痕迹。
答案
5.
解析
（作图痕迹略，图中应包含三角形ABC，AB、BC（或AC）的垂直平分线，以及以两垂直平分线交点为圆心、交点到A（或B、C）的距离为半径的圆）
6. 如图 24.2.1 - 15，在网格(每个小正方形的边长均为$1$)中选取$9$个格点(格线的交点称为格点)，若以$A$为圆心，$r$为半径画圆，选取的格点中除点$A$外恰好有$3$个在圆内，则$r$的取值范围为(
A.$2\sqrt{2} ＜ r ＜ \sqrt{17}$
B.$\sqrt{17} ＜ r \leq 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17} ＜ r \leq 5$
D.$5 ＜ r ＜ \sqrt{29}$
B
)A.$2\sqrt{2} ＜ r ＜ \sqrt{17}$
B.$\sqrt{17} ＜ r \leq 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17} ＜ r \leq 5$
D.$5 ＜ r ＜ \sqrt{29}$
答案
6.B
解析
以点$A$为原点建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$。网格中格点到$A$的距离平方分别为：
距离平方为$8$（如$(2,2)$），距离$2\sqrt{2}$；
距离平方为$17$（如$(4,1)$），距离$\sqrt{17}$；
距离平方为$18$（如$(3,3)$），距离$3\sqrt{2}$；
距离平方为$25$（如$(5,0)$），距离$5$；
距离平方为$29$（如$(5,2)$），距离$\sqrt{29}$。
除$A$外，距离小于$r$的格点恰好$3$个时，需$\sqrt{17} ＜ r \leq 3\sqrt{2}$。
B
距离平方为$8$（如$(2,2)$），距离$2\sqrt{2}$；
距离平方为$17$（如$(4,1)$），距离$\sqrt{17}$；
距离平方为$18$（如$(3,3)$），距离$3\sqrt{2}$；
距离平方为$25$（如$(5,0)$），距离$5$；
距离平方为$29$（如$(5,2)$），距离$\sqrt{29}$。
除$A$外，距离小于$r$的格点恰好$3$个时，需$\sqrt{17} ＜ r \leq 3\sqrt{2}$。
B
7. 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
答案
7.已知∠1是△ABC的一个外角，求证:∠1=∠A+∠B.证明:假设∠1≠∠A+∠B,则∠1+∠2≠∠A+∠B+∠2,因为∠1+∠2=180°,所以∠A+∠B+∠2≠180°,这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立，即∠1=∠A+∠B.
8. 如图 24.2.1 - 16，$AD$为$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD \perp BC$，垂足为$F$，$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$，连接$BD$，$CD$。
(1) 求证：$BD = CD$；
(2) 请判断$B$，$E$，$C$三点是否在以点$D$为圆心，$DB$为半径的圆上？并说明理由。
(1) 求证：$BD = CD$；
(2) 请判断$B$，$E$，$C$三点是否在以点$D$为圆心，$DB$为半径的圆上？并说明理由。
答案
8.
(1)证明:因为AD为直径，且AD⊥BC，所以弧BD=弧CD，所以BD=CD；
(2)解:B,E,C三点在以点D为圆心,DB为半径的圆上.理由:由
(1)，知弧BD=弧CD，则∠BAD=∠CBD.因为BE平分∠ABC，所以∠CBE=∠ABE.因为∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，所以∠DBE=∠DEB.所以DB=DE.又由
(1)，知BD=CD，所以DB=DE=DC.所以B,E,C三点在以点D为圆心,DB为半径的圆上.
(1)证明:因为AD为直径，且AD⊥BC，所以弧BD=弧CD，所以BD=CD；
(2)解:B,E,C三点在以点D为圆心,DB为半径的圆上.理由:由
(1)，知弧BD=弧CD，则∠BAD=∠CBD.因为BE平分∠ABC，所以∠CBE=∠ABE.因为∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，所以∠DBE=∠DEB.所以DB=DE.又由
(1)，知BD=CD，所以DB=DE=DC.所以B,E,C三点在以点D为圆心,DB为半径的圆上.
