用列举法求简单随机事件的概率常用的辅助方法有列表和画树状图.
思考 一个事件需经过三步或三步以上完成(或涉及三个或三个以上的因素)时,用哪种方法求事件的概率比较好?

画树状图

当一个事件需要经过三步或三步以上完成，或者涉及三个或三个以上因素时，使用画树状图的方法可以更清晰地表示所有可能的结果。
树状图能够直观地展示每一步的所有可能选择，以及这些选择如何组合起来形成最终的所有可能结果，从而方便计算所求事件的概率。
相比之下，列表法在涉及多个因素或步骤时可能变得不够直观和清晰。
因此，在这种情况下，画树状图是更好的选择。

例1 (2025武汉阶段练习)经过一个“T”字形路口的行人,可能右拐,也可能左拐.假设这两种可能性相同,某一定时间内随机有三人经过该路口,则至少有两人左拐的概率为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{8}$
名师导引 当事件需经过多个步骤(或涉及多个因素)完成时,用画树状图法求事件的概率很有效.

A

将三人经过路口的拐弯情况用树状图表示，每人有左拐和右拐$2$种情况，三人共有$2×2×2 = 8$种等可能的结果。
“至少有两人左拐”包含“两人左拐一人右拐”和“三人左拐”这两种情况。
“两人左拐一人右拐”的情况有：左左右、左右左、右左左，共$3$种；“三人左拐”的情况有$1$种。
所以“至少有两人左拐”的情况共有$3 + 1=4$种。
则至少有两人左拐的概率为$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。

例2 小明登录在线学习页面后,发现推荐的数学微课有四个,其中有两个等级为A,另外两个等级为B,如果小明点击微课学习是随机的,且每个微课只点击学习一次.
(1)求小明第一次点击学习的微课等级为A的概率;
(2)如果小明第一次点击的微课等级为A,小明继续点击学习两次,利用画树状图或列表的方法求三次点击学习中有两个等级为A的概率.

(1) 总共有4个微课，其中等级为A的有2个，所以第一次点击等级为A的概率为：$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(2) 第一次点击为A后，剩余微课有3个，其中A等级1个，B等级2个，分别记为A₁、B₁、B₂。
列表如下：
|第二次|第三次|结果|
|----|----|----|
|A₁|B₁|(A₁,B₁)|
|A₁|B₂|(A₁,B₂)|
|B₁|A₁|(B₁,A₁)|
|B₁|B₂|(B₁,B₂)|
|B₂|A₁|(B₂,A₁)|
|B₂|B₁|(B₂,B₁)|
共有6种等可能结果，其中三次点击中有两个A的情况为：(A₁,B₁)、(A₁,B₂)、(B₁,A₁)、(B₂,A₁)，共4种。
所以概率为：$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{2}{3}$

(1) 总共有4个微课，其中等级为A的有2个，所以小明第一次点击学习的微课等级为A的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 小明第一次点击的微课等级为A，此时剩下的微课有3个，其中等级为A的有1个，等级为B的有2个。设剩下的A为$A_1$，B为$B_1$，$B_2$。
列表如下：
|第二次点击|第三次点击|结果|
| ---- | ---- | ---- |
|$A_1$|$B_1$|(A, $A_1$, $B_1$)|
|$A_1$|$B_2$|(A, $A_1$, $B_2$)|
|$B_1$|$A_1$|(A, $B_1$, $A_1$)|
|$B_1$|$B_2$|(A, $B_1$, $B_2$)|
|$B_2$|$A_1$|(A, $B_2$, $A_1$)|
|$B_2$|$B_1$|(A, $B_2$, $B_1$)|
共有6种等可能的结果，其中三次点击学习中有两个等级为A的结果有4种，所以概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(1)$\frac{1}{2}$；
(2)$\frac{2}{3}$

1. (2024武汉期末)小王、小明和小李三位同学做“石头、剪刀、布”的游戏,三人同时随机出手一次,则三人出相同手势的概率是()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{7}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

A

三人同时出手，每人有3种手势（石头、剪刀、布），总结果数为$3×3×3=27$种。三人出相同手势的情况有3种：都出石头、都出剪刀、都出布。所以概率为$\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。

2. (2024武汉阶段练习)如图,某停车场内有序号为1,2,3的三个车位顺次排成一排,现有甲、乙、丙三辆车需要随机停放到这三个车位上,则甲和乙两车恰好都停放在两边车位的概率是()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

D

本题可先求出所有可能的停车情况，再求出甲和乙两车恰好都停放在两边车位的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率。
步骤一：计算所有可能的停车情况
已知甲、乙、丙三辆车要随机停放到序号为$1$，$2$，$3$的三个车位上，甲选车位时有$3$种选择方法，甲选好后乙选车位时有$2$种选择方法，丙选车位时只有$1$种选择方法。
根据排列组合的乘法原理：做一件事，完成它需要分成$n$个步骤，做第一步有$m_1$种不同的方法，做第二步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1× m_2×\cdots× m_n$种不同的方法。
所以总的停车情况有$3×2×1 = 6$种。
步骤二：计算甲和乙两车恰好都停放在两边车位的情况
甲和乙两车停在两边车位，那么甲可以在$1$号或$3$号车位，乙则在剩下的两边车位中的一个，丙停在中间车位，即甲在$1$号乙在$3$号丙在$2$号或者甲在$3$号乙在$1$号丙在$2$号，共$2$种情况。
步骤三：根据古典概型概率公式计算概率
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
设“甲和乙两车恰好都停放在两边车位”为事件$A$，由上述计算可知$n = 6$，$m = 2$，则$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。