1. (2026·南京期中)若二次函数$y=(x-1)^2 - m$的图象与x轴有两个公共点,则m的值可以是 ()

A.-2
B.$-\frac{1}{2}$
C.0
D.2

1. D 解析:对于二次函数$y=(x-1)^2 - m$,令 y=0 得方程$(x-1)^2 - m=0$,即$(x-1)^2=m$.
∵ 二次函数$y=(x-1)^2 - m$的图象与 x 轴有两个公共点,
∴ 方程$(x-1)^2=m$有两个不相等的实数根,$\therefore m＞0$,观察选项,只有 D 选项满足$m＞0$.故选 D.

2. 已知函数$y=mx^2+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数$m$的值为（）

A.$m=0$或$m=-\dfrac{4}{5}$
B.$m=-\dfrac{4}{5}$
C.$m=1$或$m=-\dfrac{4}{5}$
D.$m=1$或$m=0$

2. C 解析:函数$y=mx^2+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则$m≠0$,分两种情况讨论:
①对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$,当函数图象经过坐标原点时,则有$m-1=0$,解得$m=1$;
②与 x 轴、y 轴各有一个交点,则该函数图象与 x 轴只有一个交点,即$mx^2+3mx+m-1=0$,$b^2-4ac=0$,且$m≠0$,
$\therefore (3m)^2-4m(m-1)=0$,解得$m=0$(舍去)或$m=-\frac{4}{5}$.
综上所述,实数 m 的值为 1 或$-\frac{4}{5}$.故选 C.

3. (2026·南充中考)抛物线$y=x^2+mx+m-2$与x轴交于A,B两点，且$AB=\sqrt{5}$，则m的值为.

3. 1或3 解析:设$A(x_1,0),B(x_2,0)$,令$y=0$,得$x^2+mx+m-2=0$,由根与系数的关系得$x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=m-2$,$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-m)^2-4(m-2)}=\sqrt{m^2-4m+8}$.
$\because AB=\sqrt{5}$,$\therefore \sqrt{m^2-4m+8}=\sqrt{5}$,两边平方得$m^2-4m+8=5$,整理得$m^2-4m+3=0$,因式分解得$(m-1)·(m-3)=0$,解得$m=1$或$m=3$.

4. (1)(2024·济宁中考)将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度.若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点,则$k$的取值范围是.
(2)(淄博中考)对于任意实数$a$,抛物线$y=x^2 +2ax +a +b$与$x$轴都有公共点,则$b$的取值范围是.
(3)(徐州中考改编)若函数$y=x^2 -2x +b$的图象与坐标轴有三个交点,则$b$的取值范围是.

4. (1)$k≥3$ 解析:将抛物线$y=x^2-6x+12$向下平移$k$个单位长度得$y=x^2-6x+12-k$.$\because y=x^2-6x+12-k$与 x 轴有公共点,
$\therefore b^2-4ac≥0$,即$(-6)^2-4(12-k)≥0$,解得$k≥3$.
(2)$b≤-\frac{1}{4}$ 解析:$\because$ 对于任意实数$a$,抛物线$y=x^2+2ax+a+b$与 x 轴都有交点,$\therefore (2a)^2-4(a+b)≥0$,整理得$b≤a^2-a$.$\because a^2-a=(a-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$,$\therefore a^2-a$的最小值为$-\frac{1}{4}$,
$\therefore b≤-\frac{1}{4}$.
(3)$b＜1$且$b≠0$ 解析:$\because$ 函数$y=x^2-2x+b$的图象与坐标轴有三个交点,$\therefore$ 与 x 轴有两个交点且交点不在原点处.
$\therefore (-2)^2-4×1×b=4-4b＞0$,$\therefore b＜1$.又此时$b≠0$,$\therefore b＜1$且$b≠0$.

5.（南充中考）抛物线$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为$A(m,0)$，若$-2≤ m≤1$，则实数$k$的取值范围是。

5. $k≤-\frac{21}{4}$或$k≥1$ 解析:$\because$ 抛物线$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$与 x 轴有交点,$\therefore b^2-4ac≥0$,即$k^2+4(k-\frac{5}{4})≥0$,$\therefore k^2+4k-5≥0$.设抛物线$y'=k^2+4k-5$,令$k^2+4k-5=0$,解得$k=-5$或$k=1$.由二次函数图象易解得$k≤-5$或$k≥1$.$\because$ 抛物线$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$的对称轴为直线$x=\frac{k}{2}$,需分情况讨论:①当$k≤-5$时,抛物线的对称轴在直线$x=-2$左侧,此时抛物线$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$与 x 轴的一个交点为$A(m,0)$,$-2≤m≤1$,如图①,,$\therefore -(-2)^2-2k+k-\frac{5}{4}≥0$,解得$k≤-\frac{21}{4}$,$\therefore k≤-\frac{21}{4}$;
②当$k≥1$时,抛物线的对称轴在直线$x=\frac{1}{2}$右侧,此时抛物线$y=-x^2+kx+k-\frac{5}{4}$与 x 轴的一个交点为$A(m,0)$,$-2≤m≤1$,如图②,,$\therefore -(-2)^2-2k+k-\frac{5}{4}≤0$,解得$k≥-\frac{21}{4}$,$\therefore k≥1$.
综上所述,$k≤-\frac{21}{4}$或$k≥1$.

6.（德阳中考）已知函数$y=\begin{cases}12(1≤ x＜3), \\ (x-5)^2+8(3≤ x≤8)\end{cases}$的图象如图所示，若直线$y=kx-3$与该图象有公共点，则$k$的最大值与最小值的和为 ______ 。

6. 17 解析:当直线经过点$(1,12)$时,$12=k-3$,解得$k=15$.当直线与抛物线只有一个交点时,令$(x-5)^2+8=kx-3$,整理得$x^2-(10+k)x+36=0$,$\therefore 10+k=±12$,解得$k=2$或$k=-22$(舍去),$\therefore k$的最大值是 15,最小值是 2,$\therefore k$的最大值与最小值的和为$15+2=17$.

7. 如图①,抛物线$y=ax^2+x+c$与x轴交于$A(-2,0),B(4,0)$两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一个动点,使$△ PBC$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$,求点P的坐标;
(3)过点C作直线$l// x$轴,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象(如图②),请你结合新图象解答:当直线$y=-\frac{1}{2}x+d$与新图象只有一个公共点$Q(m,n)$,且$n≥ -8$时,求d的取值范围.

7. (1)$\because$ 抛物线$y=ax^2+x+c$与 x 轴交于$A(-2,0),B(4,0)$两点,$\therefore \begin{cases}4a-2+c=0, \\ 16a+4+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\ c=4,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$.
(2)当$x=0$时,$y=4$,$\therefore C(0,4)$,$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}AB×OC=\frac{1}{2}×(4+2)×4=12$.$\because B(4,0),C(0,4)$,$\therefore$ 设直线 BC 的表达式为$y=kx+4$,$\therefore 0=4k+4$,解得$k=-1$,$\therefore$ 直线 BC 的表达式为$y=-x+4$.作$PQ// y$轴交直线 BC 于点 Q,如图,,设$P(x,-\frac{1}{2}x^2+x+4)$,则$Q(x,-x+4)$,$\therefore PQ=-\frac{1}{2}x^2+x+4-(-x+4)=-\frac{1}{2}x^2+2x$,由题意得$\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}x^2+2x)×4=\frac{1}{4}×12$,解得$x_1=1$,$x_2=3$,$\therefore$ 点 P 的坐标为$(1,\frac{9}{2})$或$(3,\frac{5}{2})$.
(3)当直线$y=-\frac{1}{2}x+d$在点 C 的下方时,当$n=-8$时,则$-8=-\frac{1}{2}x^2+x+4$,解得$x_1=-4$(舍去),$x_2=6$,$\therefore Q(6,-8)$.代入$y=-\frac{1}{2}x+d$,得$-8=-\frac{1}{2}×6+d$,解得$d=-5$;当直线$y=-\frac{1}{2}x+d$经过点$C(0,4)$时,$4=-\frac{1}{2}×0+d$,解得$d=4$;当$-5≤d＜4$时,直线$y=-\frac{1}{2}x+d$与新图象只有一个公共点 Q;
当直线$y=-\frac{1}{2}x+d$在点 C 的上方时,解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+d, \\ y=-\frac{1}{2}x^2+x+4,\end{cases}$ 整理得$x^2-3x+2d-8=0$,由题意得$b^2-4ac=9-4(2d-8)=0$,解得$d=\frac{41}{8}$,$\therefore$ 当$d＞\frac{41}{8}$时,直线$y=-\frac{1}{2}x+d$与新图象只有一个公共点 Q.
综上,当$-5≤d＜4$或$d＞\frac{41}{8}$时,直线$y=-\frac{1}{2}x+d$与新图象只有一个公共点 Q.