8. (2025·常德模拟)如图,已知直线$y=x+1$过点$A(-1,0)$,点$B(2,3)$,若抛物线$y=ax^2 -x +2$($a$为常数,$a≠0$)与线段$AB$有两个不同的公共点,则$a$的取值范围是 ()

A.$a≥3$
B.$a≤-3$或$\frac{3}{4}≤a＜1$
C.$-3≤a＜1$或$a≥3$
D.$\frac{3}{4}≤a＜1$

8. B 解析:令$x+1=ax^2-x+2$,整理得$ax^2-2x+1=0$,由题意得$b^2-4ac=(-2)^2-4a×1＞0$,解得$a＜1$.
当$a＜0$时,如图①所示,,此时函数的对称轴在 y 轴左侧,当抛物线过点 A 时,为两个函数有两个交点的临界点,将点 A 的坐标代入抛物线得$a+1+2=0$,解得$a=-3$,故$a≤-3$;
当$a＞0$时,如图②所示,,此时函数的对称轴在 y 轴右侧,当抛物线过点 B 时,为两个函数有两个交点的临界点,将点 B 的坐标代入抛物线得$4a-2+2=3$,解得$a=\frac{3}{4}$,故$a≥\frac{3}{4}$,
$\therefore \frac{3}{4}≤a＜1$.综上所述,$\frac{3}{4}≤a＜1$或$a≤-3$.故选 B.

9. 如图, 抛物线 $y=ax^2+bx$ 经过点 $A(2,0)$ 和点 $B(-1,-3)$.作射线 $BA$, $P$ 是线段 $AB$ 上的动点, 将射线 $BA$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90°$ 得射线 $B'A'$.若射线 $B'A'$ 与抛物线 $y=ax^2+bx$ 只有一个公共点, 则点 $P$ 的横坐标 $x$ 的取值范围为________.

9. $-1≤x＜1$ 解析:$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx$与 x 轴的交点是$A(2,0)$和$(0,0)$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$,如图,,当 P 点与 B 重合时,射线$B'A'$与抛物线$y=ax^2+bx$只有一个公共点,此时 P 点的横坐标为$-1$;当 P 点在对称轴上时,则$B'$在抛物线上,射线$B'A'$与抛物线$y=ax^2+bx$有 2 个公共点,此时 P 点的横坐标为 1,$\therefore$ 若射线$B'A'$与抛物线$y=ax^2+bx$只有一个公共点,则点 P 的横坐标 x 的取值范围为$-1≤x＜1$.

10. (2025·盐城模拟)已知二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + m + 1$的图象为C.
(1)用$m$表示图象$C$的顶点坐标；
(2)记一次函数$y=mx + m$（$m$是常数，$m≠0$，$-1≤x≤2$）的图象为线段$AB$，若图象$C$与线段$AB$（包含端点$A,B$）恰有一个公共点，直接写出$m$的取值范围.

10. (1)整理$y=x^2-2mx+m^2+m+1$,可得$y=(x-m)^2+m+1$,$\therefore$ 图象 C 的顶点坐标为$(m,m+1)$.
(2)当$m=\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$1＜m≤5$或$-2≤m≤-1$时,图象 C 与线段 AB 恰有一个公共点. 解析:一次函数$y=mx+m$($m$是常数,$m≠0$,$-1≤x≤2$)的图象为线段 AB,当$x=-1$时,$y=0$,当$x=2$时,$y=3m$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标为$(2,3m)$.
①当$m＞0$时,依题意,图象 C 与线段 AB 恰有一个公共点,如图①,,当$x=-1$时,$y=(-1-m)^2+m+1≥0$,解得$m≥-1$或$m≤-2$,当$x=2$时,$y=(2-m)^2+m+1≤3m$,解得$1≤m≤5$.又$\because$ 当$m=1$时,图象经过点 B,且联立函数方程可得,此时二次函数与线段 AB 有另外一个交点,不满足题意,故$1＜m≤5$;
②当$m＜0$时,如图②,,$\begin{cases}(-1-m)^2+m+1≤0, \\ (2-m)^2+m+1≥3m,\end{cases}$ 解得$-2≤m≤-1$;
③当一次函数$y=mx+m$与二次函数$y=x^2-2mx+m^2+m+1$联立方程,得一元二次方程$x^2-2mx+m^2+m+1=mx+m$有且只有两个相等实数根时:
整理得$x^2-3mx+m^2+1=0$,$b^2-4ac=(-3m)^2-4×(m^2+1)=0$,解得$m=±\frac{2\sqrt{5}}{5}$.此时,交点横坐标分别为$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$-\frac{3\sqrt{5}}{5}$(不在 x 取值范围,舍去).
综上所述,$m=\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$1＜m≤5$或$-2≤m≤-1$时,图象 C 与线段 AB 恰有一个公共点.

11. 新题型 双空题 如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为$(4,0)$,若抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +k$与直线OA只有一个公共点,则$k=$;若抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +k$与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是.

11. 1 $-4＜k＜1$ 解析:$\because ∠AOB=45°$,$\therefore$ 直线 OA 的表达式为$y=x$,联立二次函数表达式得$\begin{cases}y=x, \\ y=\frac{1}{4}x^2+k,\end{cases}$ 消去 y 并整理得$\frac{1}{4}x^2-x+k=0$,$b^2-4ac=(-1)^2-4×\frac{1}{4}×k=0$,解得$k=1$.
此时抛物线与直线 OA 的边界只有一个公共点,把点 B 坐标代入$y=\frac{1}{4}x^2+k$中,得$\frac{1}{4}×4^2+k=0$,解得$k=-4$,此时抛物线与扇形 OAB 的边界也只有一个公共点.
综上,当$-4＜k＜1$时,此时抛物线与扇形 OAB 的边界总有两个公共点.

12. (2026·吉林期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$($b,c$为常数)与$x$轴交于$(-1,0),(3,0)$两点.点$A$在抛物线上,且横坐标为$m$,点$C$是坐标平面上一点,其坐标为$(m+2,-2m+1)$.以$AC$为对角线作矩形$ABCD$,$AB// x$轴.
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)当矩形$ABCD$的边(包括顶点)与抛物线有2个交点时,直接写出$m$的取值范围.

12. (1)将$(-1,0),(3,0)$代入抛物线的表达式$y=x^2+bx+c$,可得$\begin{cases}1-b+c=0, \\ 9+3b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-2, \\ c=-3,\end{cases}$ 则抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)$m$的取值范围为$m＜-2$或$m=0$或$1≤m＜2$. 解析:$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$.$\because m+2＞m$,$\therefore$ 点 C 在点 A 的右边,当点 C 在点 A 的上方时,可得$-2m+1＞m^2-2m-3$,解得$-2＜m＜2$,如图①,,若点 A 在对称轴左边,若要矩形 ABCD 与抛物线有两个交点,则点 B 必须也在抛物线上,即 AB 的中点在抛物线的对称轴上,可得$\frac{m+m+2}{2}=1$,解得$m=0$.
如图②,,若点 A 在对称轴上或对称轴右边,矩形 ABCD 与抛物线恒有两个交点,可得$m≥1$,由上可得$m=0$或$1≤m＜2$;
当点 C 在点 A 的下方时,$-2m+1＜m^2-2m-3$,解得$m＜-2$或$m＞2$,则点 A,B 不可能同时位于抛物线上,若要矩形 ABCD 与抛物线有两个交点,则点 A 必须在抛物线对称轴左侧,当$m=-2$时,$m+2=0＜1$,则当$m＜-2$时,点 A,B 均在对称轴左侧,如图③,,矩形 ABCD 与抛物线恒有两个交点,即$m＜-2$满足条件.
综上,$m$的取值范围为$m＜-2$或$m=0$或$1≤m＜2$.