8. (2025·广州中考)在平面直角坐标系中,两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,则下列结论中正确的是 ()

A.当$x_1＜0$且$y_1· y_2＜0$时,则$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时,则$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1· y_2＞0$时,则$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时,则$y_1＜y_2$

8. A 解析:
∵ $y=ax^2-2ax(a＞0)$,$∴$ 抛物线的开口向上,则对称轴为直线$x=-\dfrac{-2a}{2a}=1$.把$x=1$代入$y=ax^2-2ax$,得$y=a-2a=-a$,$∴$ 顶点为$(1,-a)$.
∵ 两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,$∴$ 当$x_1＜0$且$y_1· y_2＜0$时,$y_1＞0$(当$x＜0$时,抛物线在$x$轴上方),故$y_2＜0$,此时$0＜x_2＜2$,故 A 选项的结论正确;当$x_1＜x_2＜1$时,抛物线在$x＜1$时递减,故$x_2$越大,$y_2$越小,即$y_1＞y_2$,故 B 选项的结论错误;当$x_1＜0$且$y_1· y_2＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故 C 选项的结论错误;当$x_1＞x_2＞1$时,抛物线在$x＞1$时递增,故$x_1$越大,$y_1$越大,即$y_1＞y_2$,故 D 选项的结论错误.故选 A.

9. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,-2),点 B 的坐标为(-1,-5),若 y 关于 x 的二次函数 $y=-x^2 + 2mx - m^2 -1$ 在 $-1 ≤ x ≤ 1$ 段的图象始终在线段 AB 的下方,则 m 的取值范围是 .

9. m＜-3或m＞2 解析:
∵ $y$ 关于 $x$ 的二次函数为 $y=-x^2+2mx-m^2-1=-(x-m)^2-1$,$∴$ 抛物线的顶点坐标为$(m,-1)$.当$-1≤m≤1$时,$∵ -1＞-2＞-5$,$∴$ 顶点在线段 $AB$ 的上方,不符合题意;当$m＜-1$时,若二次函数的图象与线段 $AB$ 交于点 $B$,则当$x=-1$时,$y=-(-1-m)^2-1=-5$,解得$m_1=-3,m_2=1$(舍去),$∴$ 要使二次函数的图象在线段 $AB$ 的下方,则需要将图象向左平移,$∴ m＜-3$;当$m＞1$时,若二次函数图象与线段 $AB$ 交于点 $A$,则当$x=1$时,$y=-(1-m)^2-1=-2$,解得$m_1=2,m_2=0$(舍去),$∴$ 要使二次函数始终在线段 $AB$ 的下方,则需要将图象向右平移,$∴ m＞2$.综上所述,$m＜-3$或$m＞2$.

10. (2026·南充中考)已知抛物线$y=-(x-t)^2 +1$.(t为常数).
(1)若抛物线过点$(-3,m),(1,m)$,求t的值;
(2)抛物线与x轴交于A,B两点,点$P(2t-1,0)$为线段AB上一点,过点P作x轴垂线,分别与抛物线和直线$y=-\frac{1}{2}x -3$交于点M,N,求MN的最大值;
(3)点$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$都在抛物线上,当$-2t-1≤x_1≤-2t,2≤x_2≤4$时,都有$y_1＜y_2$,求t的取值范围.

10. (1)由抛物线$y=-(x-t)^2+1$可知对称轴为直线$x=t$,
∵ 抛物线过点$(-3,m),(1,m)$,$∴$ 这两点关于对称轴对称,即$t=\dfrac{-3+1}{2},∴ t=-1$.(2)令$y=0$,则有$-(x-t)^2+1=0$,解得$x_1=t+1,x_2=t-1$,$∴$ 抛物线与$x$轴的交点横坐标为$t+1,t-1$.
∵ 点$P(2t-1,0)$为线段$AB$上一点,$∴ t-1≤2t-1≤t+1$,解得$0≤t≤2$.
∵ 过点$P$作$x$轴的垂线,分别与抛物线和直线$y=-\dfrac{1}{2}x-3$交于点$M,N$,且$P(2t-1,0)$,$∴ M(2t-1,-t^2+2t)$,$N(2t-1,-t-\dfrac{5}{2})$,$∴ MN=\left|-t^2+2t-(-t-\dfrac{5}{2})\right|=\left|-t^2+3t+\dfrac{5}{2}\right|=\left|-(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{19}{4}\right|$.当$0≤t≤2$时,绝对值中的式子的值恒大于$0$,$∵ -1＜0$,$∴$ 当$t=\dfrac{3}{2}$时,$-(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{19}{4}$取得最大值,最大值为$\dfrac{19}{4}$,$∴ MN$的最大值为$\dfrac{19}{4}$.(3)由题意可知抛物线的对称轴为直线$x=t$,开口向下,$∴$ 当$x＞t$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜t$时,$y$随$x$的增大而增大,根据题意可知:当$-2t-1≤x_1≤-2t,2≤x_2≤4$时,$y_2$的最小值应大于$y_1$的最大值,分析抛物线对称轴$x=t$与$x=2$和$x=4$的三种关系,①当$t＞4$时,如图①,,此时$-2t-1＜-2t＜2＜4＜t$,都有$y_1＜y_2$,符合题意；②当$2＜t≤4$时,且当$3＜t≤4$时,此时当$x_2=2$时,$y_2$取得最小值,当$x_1=-2t$时,$y_1$取得最大值,$∴ t-2＜t-(-2t)$,解得$t＞-1$,$∴$ 当$3＜t≤4$时,$y_1＜y_2$恒成立;当$2＜t≤3$时,如图②,此时$-2t-1＜-2t＜2＜t＜4$,$y_1$在$x_1=-2t$时取得最大值,$y_2$在$x_2=4$时取得最小值,$∴ 4-t＜t-(-2t)$,解得$t＞1$,$∴$ 当$2＜t≤4$时,都有$y_1＜y_2$；③当$0≤t≤2$时,如图③,,此时$-2t-1＜-2t＜t＜2＜4$,$y_1$在$x_1=-2t$时取得最大值,$y_2$在$x_2=4$时取得最小值,$∴ 4-t＜t-(-2t)$,解得$t＞1$,$∴$ 当$1＜t≤2$时,都有$y_1＜y_2$；④当$t＜0$时,则$-2t＞0$,若$-2t-1≤t$时,则$y_1$的最大值大于$y_2$,即$y_1＜y_2$不成立,若$-2t-1＞t$时,如图④,$∴$ 当$x_1=-2t-1$时,点$C$的纵坐标取得最大值,当$x_2=4$时,点$D$的纵坐标取得最小值,$∴ -2t-1＞4$,解得$t＜-\dfrac{5}{2}$.综上所述,$t$的取值范围为$t＜-\dfrac{5}{2}$或$t＞1$.