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1. 一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点在$y$轴正半轴上，且其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是$\underline{\hspace{5cm}}$（写一个即可）。
答案
$y=-x^2+1$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先拆解题目给出的两个核心条件，结合二次函数的性质逐步推导系数要求：首先，对称轴左侧部分上升，说明函数左增右减，对应开口向下，即二次项系数a＜0；其次，顶点在y轴正半轴上，说明对称轴为y轴（x=0），根据对称轴公式可推出一次项系数b=0，且顶点纵坐标为正，即常数项c＞0。只要写出满足a＜0、b=0、c＞0的二次函数解析式即可。
【解析】
解：根据二次函数性质推导系数约束：
1. 对称轴左侧图象上升，即y随x增大而增大，说明二次函数开口向下，因此$a＜0$；
2. 顶点在y轴上，说明对称轴为$x=0$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，且$a≠0$，可得$b=0$；
3. 顶点在y轴正半轴，将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此$c＞0$。
取$a=-1$、$b=0$、$c=1$，可得到符合要求的解析式$y=-x^2+1$（答案不唯一，满足$a＜0,b=0,c＞0$即可）。
【答案】
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，系数与图象的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和系数$a、b、c$的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时先拆解题目给出的两个核心条件，结合二次函数的性质逐步推导系数要求：首先，对称轴左侧部分上升，说明函数左增右减，对应开口向下，即二次项系数a＜0；其次，顶点在y轴正半轴上，说明对称轴为y轴（x=0），根据对称轴公式可推出一次项系数b=0，且顶点纵坐标为正，即常数项c＞0。只要写出满足a＜0、b=0、c＞0的二次函数解析式即可。
【解析】
解：根据二次函数性质推导系数约束：
1. 对称轴左侧图象上升，即y随x增大而增大，说明二次函数开口向下，因此$a＜0$；
2. 顶点在y轴上，说明对称轴为$x=0$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，且$a≠0$，可得$b=0$；
3. 顶点在y轴正半轴，将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此$c＞0$。
取$a=-1$、$b=0$、$c=1$，可得到符合要求的解析式$y=-x^2+1$（答案不唯一，满足$a＜0,b=0,c＞0$即可）。
【答案】
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，系数与图象的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和系数$a、b、c$的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=x^2+2mx+2$，当$x＞2$时，$y$随$x$值的增大而增大，则实数$m$的取值范围是
$m≥-2$
。答案
2. $m≥-2$
解析
【分析】
二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，左侧y随x的增大而减小。我们先求出该二次函数的对称轴，再根据“x＞2时y随x增大而增大”的条件，判断对称轴和x=2的位置关系，列出不等式即可求解m的取值范围，注意要判断区间端点是否可取。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴右侧的区域，y随x的增大而增大。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2m$，可得：
对称轴为$x=-\frac{2m}{2×1}=-m$。
∵ 当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∴ 对称轴需位于直线$x=2$的左侧或与直线$x=2$重合，即$-m≤2$，
解不等式得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是明确开口向上的二次函数，自变量大于对称轴时函数值随自变量增大而增大，易错点是容易忽略对称轴刚好等于2的情况，漏写等号。
【难度系数】
0.7
二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，左侧y随x的增大而减小。我们先求出该二次函数的对称轴，再根据“x＞2时y随x增大而增大”的条件，判断对称轴和x=2的位置关系，列出不等式即可求解m的取值范围，注意要判断区间端点是否可取。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴右侧的区域，y随x的增大而增大。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2m$，可得：
对称轴为$x=-\frac{2m}{2×1}=-m$。
∵ 当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∴ 对称轴需位于直线$x=2$的左侧或与直线$x=2$重合，即$-m≤2$，
解不等式得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是明确开口向上的二次函数，自变量大于对称轴时函数值随自变量增大而增大，易错点是容易忽略对称轴刚好等于2的情况，漏写等号。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数$y=ax^2+bx+1$与一次函数$y=2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
(A) (B) (C) (D)
A
).(A) (B) (C) (D)
答案
3. A
解析
【分析】
解决这类同系数两个函数图象匹配的问题，核心是先找到两个函数的内在关联，再结合函数性质逐一排除错误选项：第一步先推导一次函数经过的特殊点：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入一次函数可发现一次函数必然经过二次函数对称轴与x轴的交点，用这个特征先排除不符合的选项；第二步再结合a的符号判断二次函数开口方向和一次函数的增减性，结合b的符号判断截距，验证剩余选项即可。
【解析】
1. 推导两个函数的关联特征：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得：
$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=-b+b=0$
即一次函数恒过二次函数对称轴与x轴的交点，据此先排除错误选项：
选项C：一次函数与x轴交点在二次函数对称轴左侧，不符合特征，排除；
选项B、D：一次函数与x轴交点均不在二次函数对称轴与x轴的交点处，不符合特征，排除；
2. 验证选项A：
二次函数开口向上，可得$a＞0$，对应一次函数斜率$2a＞0$，图象呈上升趋势，符合；
二次函数对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$，对应一次函数与y轴交点在负半轴，符合；
二次函数常数项为1，图象与y轴交于$(0,1)$，也符合图象特征，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象综合判断的常规题型，解题的关键是挖掘两个函数的内在关联，结合系数和图象的对应关系快速排除错误选项，考查数形结合的思想和对函数性质的熟练运用能力。
【难度系数】
0.65
解决这类同系数两个函数图象匹配的问题，核心是先找到两个函数的内在关联，再结合函数性质逐一排除错误选项：第一步先推导一次函数经过的特殊点：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入一次函数可发现一次函数必然经过二次函数对称轴与x轴的交点，用这个特征先排除不符合的选项；第二步再结合a的符号判断二次函数开口方向和一次函数的增减性，结合b的符号判断截距，验证剩余选项即可。
【解析】
1. 推导两个函数的关联特征：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得：
$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=-b+b=0$
即一次函数恒过二次函数对称轴与x轴的交点，据此先排除错误选项：
选项C：一次函数与x轴交点在二次函数对称轴左侧，不符合特征，排除；
选项B、D：一次函数与x轴交点均不在二次函数对称轴与x轴的交点处，不符合特征，排除；
2. 验证选项A：
二次函数开口向上，可得$a＞0$，对应一次函数斜率$2a＞0$，图象呈上升趋势，符合；
二次函数对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$，对应一次函数与y轴交点在负半轴，符合；
二次函数常数项为1，图象与y轴交于$(0,1)$，也符合图象特征，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象综合判断的常规题型，解题的关键是挖掘两个函数的内在关联，结合系数和图象的对应关系快速排除错误选项，考查数形结合的思想和对函数性质的熟练运用能力。
【难度系数】
0.65
4. 如图，平面直角坐标系中，抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$和$B(0,3)$，$P$是抛物线上第一象限内一动点，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$Q$，求$OQ+PQ$的最大值.
答案
4. $\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1, 0)$和$B(0, 3)$，
$\therefore \begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$. 设 $Q(x, 0)$，则 $P(x, -x^2+2x+3)$. $\because$ 点 $P$ 是抛物线上第一象限内一动点，
$\therefore OQ+PQ=x+(-x^2+2x+3)=-x^2+3x+3=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{4}$，$\therefore OQ+PQ$ 的最大值为 $\frac{21}{4}$.
$\therefore \begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$. 设 $Q(x, 0)$，则 $P(x, -x^2+2x+3)$. $\because$ 点 $P$ 是抛物线上第一象限内一动点，
$\therefore OQ+PQ=x+(-x^2+2x+3)=-x^2+3x+3=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{4}$，$\therefore OQ+PQ$ 的最大值为 $\frac{21}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入抛物线解析式，求出b、c的值，得到抛物线的完整表达式；接着设Q点的横坐标为x，因为PQ垂直x轴，所以P点横坐标与Q相同，结合抛物线表达式可写出P点坐标；第一象限内x＞0、P点纵坐标大于0，因此OQ的长度等于x，PQ的长度等于P点的纵坐标，将二者相加整理得到关于x的二次函数；最后将二次函数配方，结合x的取值范围即可求出最大值。
【解析】
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1, 0)$和$B(0, 3)$，
∴代入坐标得$\begin{cases}-1-b+c=0\\c=3\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$。
设 $Q(x, 0)$，由于PQ垂直x轴且P在抛物线上，因此$P(x, -x^2+2x+3)$。
∵点P是抛物线上第一象限内的动点，
∴$x＞0$，$-x^2+2x+3＞0$，
则$OQ+PQ=x+(-x^2+2x+3)=-x^2+3x+3$，
配方得：$-x^2+3x+3=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{4}$，
$x=\frac{3}{2}$符合第一象限内x的取值范围，因此当$x=\frac{3}{2}$时，$OQ+PQ$取得最大值。
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；坐标与线段长度
【点评】
本题是二次函数的基础应用类题目，核心是将几何线段的和转化为二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，解题时要注意结合点所在的位置确定自变量的取值范围，保证所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入抛物线解析式，求出b、c的值，得到抛物线的完整表达式；接着设Q点的横坐标为x，因为PQ垂直x轴，所以P点横坐标与Q相同，结合抛物线表达式可写出P点坐标；第一象限内x＞0、P点纵坐标大于0，因此OQ的长度等于x，PQ的长度等于P点的纵坐标，将二者相加整理得到关于x的二次函数；最后将二次函数配方，结合x的取值范围即可求出最大值。
【解析】
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1, 0)$和$B(0, 3)$，
∴代入坐标得$\begin{cases}-1-b+c=0\\c=3\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$。
设 $Q(x, 0)$，由于PQ垂直x轴且P在抛物线上，因此$P(x, -x^2+2x+3)$。
∵点P是抛物线上第一象限内的动点，
∴$x＞0$，$-x^2+2x+3＞0$，
则$OQ+PQ=x+(-x^2+2x+3)=-x^2+3x+3$，
配方得：$-x^2+3x+3=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{4}$，
$x=\frac{3}{2}$符合第一象限内x的取值范围，因此当$x=\frac{3}{2}$时，$OQ+PQ$取得最大值。
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；坐标与线段长度
【点评】
本题是二次函数的基础应用类题目，核心是将几何线段的和转化为二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，解题时要注意结合点所在的位置确定自变量的取值范围，保证所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
