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1. 已知二次函数$y=-x^2+x+6$及一次函数$y=-2x+m$. 将该二次函数在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴下方，图象的其余部分不变，得到一个如图所示的新函数. 当直线$y=-2x+m$与新图象有4个交点时，求$m$的取值范围.
答案
1. 如图，当$y=0$时，$-x^2+x+6=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$，则$A(-2, 0)$，$B(3, 0)$。将该二次函数在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴下方的部分图象的解析式为$y=(x+2)(x-3)$，即$y=x^2-x-6(-2≤ x≤ 3)$。当直线$y=-2x+m$经过点$A(-2, 0)$时，$4+m=0$，解得$m=-4$；当直线$y=-2x+m$与抛物线$y=x^2-x-6(-2≤ x≤ 3)$有唯一公共点时，方程$x^2-x-6=-2x+m$有相等的实数解，解得$m=-\frac{25}{4}$，所以当直线$y=-2x+m$与新图象有4个交点时，$m$的取值范围为$-\frac{25}{4}＜m＜-4$。
解析
【分析】
要解决这个问题可以分三步思考：第一步，先求出原二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，这是翻折部分的边界点；第二步，根据沿x轴翻折的性质（翻折后对应点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数），求出翻折部分的函数解析式，同时明确其定义域；第三步，找到直线与新图象有4个交点的两个临界情况：①直线刚好经过点A，此时交点数量减少为3个；②直线与翻折后的抛物线刚好相切，此时交点数量也为3个。求出两个临界状态对应的m值，即可确定有4个交点时m的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数与x轴的交点：
令$y=-x^2+x+6=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$，因此交点坐标为$A(-2,0)$，$B(3,0)$。
2. 求翻折后部分的函数解析式：
翻折部分的x取值范围为$-2≤ x≤3$，翻折后函数值为原函数值的相反数，因此翻折部分解析式为：
$y=-(-x^2+x+6)=x^2-x-6$（$-2≤ x≤3$）
3. 求临界状态对应的m值：
① 当直线$y=-2x+m$经过点$A(-2,0)$时，代入坐标得：
$0=-2×(-2)+m$，解得$m=-4$。
② 当直线与翻折后的抛物线有唯一公共点时，联立方程：
$x^2-x-6=-2x+m$
整理得$x^2+x-(6+m)=0$，因方程有两个相等实根，故判别式$\Delta=0$：
$\Delta=1^2-4×1×[-(6+m)]=25+4m=0$，解得$m=-\frac{25}{4}$。
此时方程的根为$x=-\frac{1}{2}$，在区间$-2≤ x≤3$内，临界有效。
4. 确定m的取值范围：
当直线与新图象有4个交点时，$-\frac{25}{4}＜m＜-4$。
【答案】
$-\frac{25}{4}＜m＜-4$
【知识点】
二次函数翻折变换；函数交点问题；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的综合题，解题核心是准确求出翻折部分的函数解析式，抓住交点个数变化的临界条件，结合方程思想求解参数范围，解题时要注意翻折后函数的定义域限制，避免临界值判断错误。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题可以分三步思考：第一步，先求出原二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，这是翻折部分的边界点；第二步，根据沿x轴翻折的性质（翻折后对应点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数），求出翻折部分的函数解析式，同时明确其定义域；第三步，找到直线与新图象有4个交点的两个临界情况：①直线刚好经过点A，此时交点数量减少为3个；②直线与翻折后的抛物线刚好相切，此时交点数量也为3个。求出两个临界状态对应的m值，即可确定有4个交点时m的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数与x轴的交点：
令$y=-x^2+x+6=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$，因此交点坐标为$A(-2,0)$，$B(3,0)$。
2. 求翻折后部分的函数解析式：
翻折部分的x取值范围为$-2≤ x≤3$，翻折后函数值为原函数值的相反数，因此翻折部分解析式为：
$y=-(-x^2+x+6)=x^2-x-6$（$-2≤ x≤3$）
3. 求临界状态对应的m值：
① 当直线$y=-2x+m$经过点$A(-2,0)$时，代入坐标得：
$0=-2×(-2)+m$，解得$m=-4$。
② 当直线与翻折后的抛物线有唯一公共点时，联立方程：
$x^2-x-6=-2x+m$
整理得$x^2+x-(6+m)=0$，因方程有两个相等实根，故判别式$\Delta=0$：
$\Delta=1^2-4×1×[-(6+m)]=25+4m=0$，解得$m=-\frac{25}{4}$。
此时方程的根为$x=-\frac{1}{2}$，在区间$-2≤ x≤3$内，临界有效。
4. 确定m的取值范围：
当直线与新图象有4个交点时，$-\frac{25}{4}＜m＜-4$。
【答案】
$-\frac{25}{4}＜m＜-4$
【知识点】
二次函数翻折变换；函数交点问题；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的综合题，解题核心是准确求出翻折部分的函数解析式，抓住交点个数变化的临界条件，结合方程思想求解参数范围，解题时要注意翻折后函数的定义域限制，避免临界值判断错误。
【难度系数】
0.4
2. 如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如$y=(x-1)^2+2$与$y=-(x+1)^2-2$互为中心对称函数。根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出函数$y=-2(x+4)^2-1$的中心对称函数：______。
(2)若函数$y=3(x+m)^2-4$与$y=a(x+m)^2+n$互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离$d$。
(1)直接写出函数$y=-2(x+4)^2-1$的中心对称函数：______。
(2)若函数$y=3(x+m)^2-4$与$y=a(x+m)^2+n$互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离$d$。
答案
(1) $y=2(x-4)^2+1$
(2) $\because$ 函数 $y=3(x+m)^2-4$ 与 $y=a(x+m)^2+n$ 互为中心对称函数，$\therefore a=-3$，$m=-m$，$n=4$，$\therefore a=-3$，$m=0$，$n=4$，$\therefore$ 两函数的顶点分别为$(0, -4)$，$(0, 4)$，$\therefore$ 两函数顶点的距离 $d$ 为$4+4=8$。
(2) $\because$ 函数 $y=3(x+m)^2-4$ 与 $y=a(x+m)^2+n$ 互为中心对称函数，$\therefore a=-3$，$m=-m$，$n=4$，$\therefore a=-3$，$m=0$，$n=4$，$\therefore$ 两函数的顶点分别为$(0, -4)$，$(0, 4)$，$\therefore$ 两函数顶点的距离 $d$ 为$4+4=8$。
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是理解“互为中心对称函数”的本质是两个函数图象关于原点对称。我们可以利用关于原点对称的点的坐标特征（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$）推导对称函数的解析式：将原函数中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，整理后即可得到对应的中心对称函数。
(1)直接套用上述规律即可求出给定函数的中心对称函数；
(2)先根据中心对称函数的性质求出参数$a、m、n$的值，再写出两个二次函数的顶点坐标，最后计算两个顶点的距离即可。
【解析】
(1)根据互为中心对称函数的图象关于原点对称的性质，将函数$y=-2(x+4)^2-1$中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-2(-x+4)^2-1$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=2(x-4)^2+1$。
(2)已知两个函数互为中心对称函数：
① 二次项系数互为相反数，因此$a=-3$；
② 两个函数的顶点关于原点对称：
函数$y=3(x+m)^2-4$的顶点坐标为$(-m,-4)$，它关于原点对称的点坐标为$(m,4)$；
函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，因此可得$\begin{cases}-m=m\\n=4\end{cases}$，解得$m=0$，$n=4$。
因此两个函数的顶点分别为$(0,-4)$和$(0,4)$，两点都在$y$轴上，距离$d=4 - (-4)=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2(x-4)^2+1}$
(2) $\boldsymbol{d=8}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；二次函数的顶点式；两点间距离计算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本性质，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的中心对称、二次函数顶点式的相关知识求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题核心是理解“互为中心对称函数”的本质是两个函数图象关于原点对称。我们可以利用关于原点对称的点的坐标特征（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$）推导对称函数的解析式：将原函数中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，整理后即可得到对应的中心对称函数。
(1)直接套用上述规律即可求出给定函数的中心对称函数；
(2)先根据中心对称函数的性质求出参数$a、m、n$的值，再写出两个二次函数的顶点坐标，最后计算两个顶点的距离即可。
【解析】
(1)根据互为中心对称函数的图象关于原点对称的性质，将函数$y=-2(x+4)^2-1$中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-2(-x+4)^2-1$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=2(x-4)^2+1$。
(2)已知两个函数互为中心对称函数：
① 二次项系数互为相反数，因此$a=-3$；
② 两个函数的顶点关于原点对称：
函数$y=3(x+m)^2-4$的顶点坐标为$(-m,-4)$，它关于原点对称的点坐标为$(m,4)$；
函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，因此可得$\begin{cases}-m=m\\n=4\end{cases}$，解得$m=0$，$n=4$。
因此两个函数的顶点分别为$(0,-4)$和$(0,4)$，两点都在$y$轴上，距离$d=4 - (-4)=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2(x-4)^2+1}$
(2) $\boldsymbol{d=8}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；二次函数的顶点式；两点间距离计算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本性质，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的中心对称、二次函数顶点式的相关知识求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
