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请用列表、描点、连线的方法在如图的坐标系中画出一次函数$y=-2x+1$的图象。（保留画图痕迹）
答案
解：
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
解析
【分析】
要画出一次函数的图象，我们采用描点法分三步完成：首先回忆一次函数的图象是直线，两点即可确定一条直线，为了方便计算、描点和后续验证，我们优先选取x为整数的特殊值（如-1、0、1），代入解析式算出对应的y值，用表格整理坐标；接下来根据表格内的坐标，在平面直角坐标系中找到对应位置标记出点；最后用直线将所有描好的点顺次连接，就能得到所求的一次函数图象。
【解析】
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
【答案】
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
【知识点】
描点法画函数图象、一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数图象绘制的基础题型，核心是掌握描点法作图的三个步骤：列表、描点、连线。选点时优先选择坐标为整数的点，既便于计算也能提升描点的准确率，同时要牢记一次函数的图象为直线，两点即可确定其图象，多取点可验证计算是否正确。
【难度系数】
0.9
要画出一次函数的图象，我们采用描点法分三步完成：首先回忆一次函数的图象是直线，两点即可确定一条直线，为了方便计算、描点和后续验证，我们优先选取x为整数的特殊值（如-1、0、1），代入解析式算出对应的y值，用表格整理坐标；接下来根据表格内的坐标，在平面直角坐标系中找到对应位置标记出点；最后用直线将所有描好的点顺次连接，就能得到所求的一次函数图象。
【解析】
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
【答案】
1. 列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $y=-2x+1$ | $3$ | $1$ | $-1$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，准确描出坐标为$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,-1)$的三个点。
3. 连线：用直线将上述描出的点顺次连接，所得直线即为一次函数$y=-2x+1$的图象。
【知识点】
描点法画函数图象、一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数图象绘制的基础题型，核心是掌握描点法作图的三个步骤：列表、描点、连线。选点时优先选择坐标为整数的点，既便于计算也能提升描点的准确率，同时要牢记一次函数的图象为直线，两点即可确定其图象，多取点可验证计算是否正确。
【难度系数】
0.9
探究 1：把一次函数 $ y = x + 2 $，$ y = x - 2 $ 的图象与 $ y = x $ 的图象比较，可以发现，函数 $ y = x $ 的图象经过原点，函数 $ y = x + 2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点
探究 2：把一次函数 $ y = x + 2 $，$ y = 2x - 2 $，$ y = 3x + 2 $ 的图象相比较，可以发现，随着 $ x $ 值的增大，$ y $ 的值增大最快的函数是
探究 3：对于一次函数 $ y = kx + b $ 的图象，你有哪些结论？
$(0, 2)$
，即它可以看作由直线 $ y = x $ 向 上
平移 2
个单位长度而得到。函数 $ y = x - 2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $(0, -2)$
，即它可以看作由直线 $ y = x $ 向 下
平移 2
个单位长度而得到。比较三个函数的表达式，当 $ k $ 相同时，它们的图象的位置关系是互相 平行
。探究 2：把一次函数 $ y = x + 2 $，$ y = 2x - 2 $，$ y = 3x + 2 $ 的图象相比较，可以发现，随着 $ x $ 值的增大，$ y $ 的值增大最快的函数是
$y=3x+2$
，图象与 $ y $ 轴交于同一点的两个函数是 $y=x+2$与$y=3x+2$
。探究 3：对于一次函数 $ y = kx + b $ 的图象，你有哪些结论？
答案
探究1：$(0, 2)$ 上 2 $(0, -2)$ 下 2 平行
探究2：$y=3x+2$ $y=x+2$与$y=3x+2$
探究3：解：一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点$(0, b)$，与函数 $ y = kx $ 的图象平行。
在一次函数 $ y = kx + b $ 中，当 $ k＞0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大；当 $ k＜0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小。
探究2：$y=3x+2$ $y=x+2$与$y=3x+2$
探究3：解：一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点$(0, b)$，与函数 $ y = kx $ 的图象平行。
在一次函数 $ y = kx + b $ 中，当 $ k＞0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大；当 $ k＜0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小。
解析
【分析】
解决本题可按照以下思路逐步推导：
1. 探究1部分：求一次函数与y轴的交点，只需令x=0计算对应的y值即可得到交点坐标；一次函数的平移遵循“上加下减常数项”的规律，即对于$y=kx$，$b＞0$时向上平移$b$个单位，$b＜0$时向下平移$|b|$个单位；当两个一次函数的$k$值相等时，直线倾斜程度相同，位置关系为平行。
2. 探究2部分：一次函数中$k$的绝对值越大，直线越陡，$y$随$x$的变化速度越快；若两个一次函数与y轴交于同一点，说明它们的常数项$b$值相等。
3. 探究3部分：结合前两个探究的结论，从图象经过的定点、与$y=kx$的位置关系、增减性三个角度总结$y=kx+b$的性质即可。
【解析】
探究1求解：
① 求$y=x+2$与y轴交点：y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，代入得$y=0+2=2$，故交点为$(0,2)$；对比$y=x$，表达式常数项增加了2，因此是直线$y=x$向上平移2个单位得到。
② 求$y=x-2$与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=0-2=-2$，故交点为$(0,-2)$；对比$y=x$，表达式常数项减少了2，因此是直线$y=x$向下平移2个单位得到。
③ 三个函数的$k$值均为1，倾斜程度完全相同，因此图象互相平行。
探究2求解：
① 三个函数的$k$值分别为1、2、3，$k$值越大，$y$随$x$增大的上升速度越快，因此增大最快的是$y=3x+2$。
② 一次函数与y轴交点的纵坐标等于表达式中的$b$值，$y=x+2$和$y=3x+2$的$b$值均为2，因此这两个函数图象与y轴交于同一点。
探究3求解：
结合前两部分的探究结论，可总结一次函数$y=kx+b$的性质：
1. 图象是一条直线，经过定点$(0,b)$，且与直线$y=kx$互相平行；
2. 增减性规律：当$k＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$k＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{(0, 2)}$ 上 2 $\boldsymbol{(0, -2)}$ 下 2 平行
探究2：$\boldsymbol{y=3x+2}$ $\boldsymbol{y=x+2}$与$\boldsymbol{y=3x+2}$
探究3：一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点$(0, b)$，与函数 $ y = kx $ 的图象平行。在一次函数 $ y = kx + b $ 中，当 $ k＞0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大；当 $ k＜0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小。
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数平移规律，一次函数增减性
【点评】
本题通过对比不同参数的一次函数图象，引导学生自主探究$k$、$b$两个参数对一次函数图象位置、变化趋势的影响，是巩固一次函数基础性质的典型探究题，能帮助学生建立“数（表达式参数）”与“形（图象特征）”的对应关系。
【难度系数】
0.8
解决本题可按照以下思路逐步推导：
1. 探究1部分：求一次函数与y轴的交点，只需令x=0计算对应的y值即可得到交点坐标；一次函数的平移遵循“上加下减常数项”的规律，即对于$y=kx$，$b＞0$时向上平移$b$个单位，$b＜0$时向下平移$|b|$个单位；当两个一次函数的$k$值相等时，直线倾斜程度相同，位置关系为平行。
2. 探究2部分：一次函数中$k$的绝对值越大，直线越陡，$y$随$x$的变化速度越快；若两个一次函数与y轴交于同一点，说明它们的常数项$b$值相等。
3. 探究3部分：结合前两个探究的结论，从图象经过的定点、与$y=kx$的位置关系、增减性三个角度总结$y=kx+b$的性质即可。
【解析】
探究1求解：
① 求$y=x+2$与y轴交点：y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，代入得$y=0+2=2$，故交点为$(0,2)$；对比$y=x$，表达式常数项增加了2，因此是直线$y=x$向上平移2个单位得到。
② 求$y=x-2$与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=0-2=-2$，故交点为$(0,-2)$；对比$y=x$，表达式常数项减少了2，因此是直线$y=x$向下平移2个单位得到。
③ 三个函数的$k$值均为1，倾斜程度完全相同，因此图象互相平行。
探究2求解：
① 三个函数的$k$值分别为1、2、3，$k$值越大，$y$随$x$增大的上升速度越快，因此增大最快的是$y=3x+2$。
② 一次函数与y轴交点的纵坐标等于表达式中的$b$值，$y=x+2$和$y=3x+2$的$b$值均为2，因此这两个函数图象与y轴交于同一点。
探究3求解：
结合前两部分的探究结论，可总结一次函数$y=kx+b$的性质：
1. 图象是一条直线，经过定点$(0,b)$，且与直线$y=kx$互相平行；
2. 增减性规律：当$k＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$k＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{(0, 2)}$ 上 2 $\boldsymbol{(0, -2)}$ 下 2 平行
探究2：$\boldsymbol{y=3x+2}$ $\boldsymbol{y=x+2}$与$\boldsymbol{y=3x+2}$
探究3：一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点$(0, b)$，与函数 $ y = kx $ 的图象平行。在一次函数 $ y = kx + b $ 中，当 $ k＞0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大；当 $ k＜0 $ 时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小。
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数平移规律，一次函数增减性
【点评】
本题通过对比不同参数的一次函数图象，引导学生自主探究$k$、$b$两个参数对一次函数图象位置、变化趋势的影响，是巩固一次函数基础性质的典型探究题，能帮助学生建立“数（表达式参数）”与“形（图象特征）”的对应关系。
【难度系数】
0.8
1. 若点$(a, b)$在第四象限，则函数$y=ax+b$的图象大致是 （
C
）答案
1. C
解析
【分析】
解题时先利用第四象限点的坐标特征确定a、b的符号，再结合一次函数图象与系数的对应关系，依次判断直线的倾斜方向和与y轴的交点位置，最后匹配选项即可。第一步：第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，因此可得a＞0，b＜0；第二步：一次函数y=ax+b中，a的符号决定直线倾斜方向，a＞0时直线上升，b的符号决定直线与y轴的交点位置，b＜0时交点在y轴负半轴；第三步：逐一排除不符合特征的选项，得到正确答案。
【解析】
解：
∵点(a,b)在第四象限，
∴第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，即a＞0，b＜0。
对于一次函数y=ax+b：
① 当a＞0时，函数图象从左下向右上倾斜（呈上升趋势），因此排除图象下降的选项B、D；
② 当b＜0时，函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，因此排除与y轴交于正半轴的选项A；
只有选项C的图象同时满足“上升、与y轴交于负半轴”的特征。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，将平面直角坐标系中点的坐标特征和一次函数图象性质结合起来，只要熟练掌握两类基础性质，就能快速判断出正确结果，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用第四象限点的坐标特征确定a、b的符号，再结合一次函数图象与系数的对应关系，依次判断直线的倾斜方向和与y轴的交点位置，最后匹配选项即可。第一步：第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，因此可得a＞0，b＜0；第二步：一次函数y=ax+b中，a的符号决定直线倾斜方向，a＞0时直线上升，b的符号决定直线与y轴的交点位置，b＜0时交点在y轴负半轴；第三步：逐一排除不符合特征的选项，得到正确答案。
【解析】
解：
∵点(a,b)在第四象限，
∴第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，即a＞0，b＜0。
对于一次函数y=ax+b：
① 当a＞0时，函数图象从左下向右上倾斜（呈上升趋势），因此排除图象下降的选项B、D；
② 当b＜0时，函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，因此排除与y轴交于正半轴的选项A；
只有选项C的图象同时满足“上升、与y轴交于负半轴”的特征。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，将平面直角坐标系中点的坐标特征和一次函数图象性质结合起来，只要熟练掌握两类基础性质，就能快速判断出正确结果，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知关于x的一次函数$y=(k^2 + 3)x - 2$的图象经过点A(2, m)，B(-3, n)，则m，n的大小关系为（
A.$m≥ n$
B.$m≤ n$
C.$m＞n$
D.$m＜n$
C
）A.$m≥ n$
B.$m≤ n$
C.$m＞n$
D.$m＜n$
答案
2. C
解析
【分析】
要比较m、n的大小，需先判断该一次函数的增减性。首先根据平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合一次函数的增减性规律，比较两点横坐标的大小，即可得出对应函数值m、n的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=(k^2 + 3)x - 2$，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2 ≥ 0$，
∴ 一次项系数$k^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 该一次函数的函数值$y$随$x$的增大而增大。
又
∵ 点A、B的横坐标满足$2 ＞ -3$，
∴ 当$x=2$时的函数值大于$x=-3$时的函数值，即$m ＞ n$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性，平方的非负性
【点评】
本题核心考查一次函数增减性的应用，解题的关键是先判断一次项系数的正负确定函数增减性，再通过自变量的大小关系推导函数值的大小，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
要比较m、n的大小，需先判断该一次函数的增减性。首先根据平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合一次函数的增减性规律，比较两点横坐标的大小，即可得出对应函数值m、n的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=(k^2 + 3)x - 2$，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2 ≥ 0$，
∴ 一次项系数$k^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 该一次函数的函数值$y$随$x$的增大而增大。
又
∵ 点A、B的横坐标满足$2 ＞ -3$，
∴ 当$x=2$时的函数值大于$x=-3$时的函数值，即$m ＞ n$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性，平方的非负性
【点评】
本题核心考查一次函数增减性的应用，解题的关键是先判断一次项系数的正负确定函数增减性，再通过自变量的大小关系推导函数值的大小，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
一次函数
的图象与
性质
图象与坐标
轴的交
点坐标
与y轴的交点坐标是
与x轴的交点坐标是
图象与y轴的交
点特征
当b＞0时，与y轴交于
图1当b＜0时，与y轴交于
性质
当k＞0时，y的值随着x值的增大而
当k＜0时，y的值随着x值的增大而
请根据本课所学，构建知识体系。
一次函数
的图象与
性质
图象与坐标
轴的交
点坐标
与y轴的交点坐标是
$(0, b)$
与x轴的交点坐标是
$(-\frac{b}{k}, 0)$
图象与y轴的交
点特征
当b＞0时，与y轴交于
正
半轴图1当b＜0时，与y轴交于
负
半轴性质
当k＞0时，y的值随着x值的增大而
增大
当k＜0时，y的值随着x值的增大而
减小
答案
$(0, b)$ $(-\frac{b}{k}, 0)$ 正 负 增大 减小
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数），再按以下思路推导：①求与坐标轴交点时，结合坐标轴上点的坐标特点：y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，代入解析式即可求出对应交点坐标；②与y轴交点的纵坐标就是$b$，根据$b$的正负即可判断交点在y轴的哪一半轴；③一次函数的增减性由$k$的符号决定，结合$k$的正负就能得到$y$随$x$的变化规律。
【解析】
我们先明确一次函数的一般式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0，k、b为常数)}$：
1. 求与y轴的交点坐标：
y轴上所有点的横坐标均为0，将$x=0$代入解析式，得$y=k×0 +b =b$，因此与y轴的交点坐标为$(0, b)$。
2. 求与x轴的交点坐标：
x轴上所有点的纵坐标均为0，将$y=0$代入解析式，得$0=kx+b$，移项得$kx=-b$，因为$k≠0$，解得$x=-\frac{b}{k}$，因此与x轴的交点坐标为$(-\frac{b}{k}, 0)$。
3. 判断与y轴的交点位置：
与y轴交点的纵坐标为$b$，当$b＞0$时，纵坐标为正，因此交点在y轴正半轴；当$b＜0$时，纵坐标为负，因此交点在y轴负半轴。
4. 判断增减性：
当$k＞0$时，一次函数图象从左到右呈上升趋势，因此$y$的值随$x$值的增大而增大；当$k＜0$时，一次函数图象从左到右呈下降趋势，因此$y$的值随$x$值的增大而减小。
【答案】
$(0, b)$ $(-\frac{b}{k}, 0)$ 正 负 增大 减小
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数图象与性质的基础考查内容，是后续学习一次函数应用、解决一次函数相关综合题的必备基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数），再按以下思路推导：①求与坐标轴交点时，结合坐标轴上点的坐标特点：y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，代入解析式即可求出对应交点坐标；②与y轴交点的纵坐标就是$b$，根据$b$的正负即可判断交点在y轴的哪一半轴；③一次函数的增减性由$k$的符号决定，结合$k$的正负就能得到$y$随$x$的变化规律。
【解析】
我们先明确一次函数的一般式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0，k、b为常数)}$：
1. 求与y轴的交点坐标：
y轴上所有点的横坐标均为0，将$x=0$代入解析式，得$y=k×0 +b =b$，因此与y轴的交点坐标为$(0, b)$。
2. 求与x轴的交点坐标：
x轴上所有点的纵坐标均为0，将$y=0$代入解析式，得$0=kx+b$，移项得$kx=-b$，因为$k≠0$，解得$x=-\frac{b}{k}$，因此与x轴的交点坐标为$(-\frac{b}{k}, 0)$。
3. 判断与y轴的交点位置：
与y轴交点的纵坐标为$b$，当$b＞0$时，纵坐标为正，因此交点在y轴正半轴；当$b＜0$时，纵坐标为负，因此交点在y轴负半轴。
4. 判断增减性：
当$k＞0$时，一次函数图象从左到右呈上升趋势，因此$y$的值随$x$值的增大而增大；当$k＜0$时，一次函数图象从左到右呈下降趋势，因此$y$的值随$x$值的增大而减小。
【答案】
$(0, b)$ $(-\frac{b}{k}, 0)$ 正 负 增大 减小
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数图象与性质的基础考查内容，是后续学习一次函数应用、解决一次函数相关综合题的必备基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
