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任务导学
任务 确定一次函数的表达式
阅读材料，完成下列探究。
情境1：物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(单位：m/s)与其下滑时间t(单位：s)的关系如图1所示。
情境2：手机在充满电后，剩余电量显示为100%，持续使用120 min后，剩余电量显示为80%。已知当手机电量降为20%时，为保证电池健康应再次充电，并将从充满至再次充电这段时间称为一个周期。如图2所示为充满电后，在一个周期内，剩余电量y(%)与使用时间x(单位：min)之间的关系图象。
探究1：求出情境1中v与t之间的关系式。想一想，确定正比例函数的表达式需要几个条件？
探究2：求出情境2中此次充满电后y与x之间的关系式及x的取值范围。想一想，确定一次函数的表达式需要几个条件？
探究3：若手机电量充满后持续使用了180 min，则此时手机剩余电量是多少？
任务 确定一次函数的表达式
阅读材料，完成下列探究。
情境1：物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(单位：m/s)与其下滑时间t(单位：s)的关系如图1所示。
情境2：手机在充满电后，剩余电量显示为100%，持续使用120 min后，剩余电量显示为80%。已知当手机电量降为20%时，为保证电池健康应再次充电，并将从充满至再次充电这段时间称为一个周期。如图2所示为充满电后，在一个周期内，剩余电量y(%)与使用时间x(单位：min)之间的关系图象。
探究1：求出情境1中v与t之间的关系式。想一想，确定正比例函数的表达式需要几个条件？
探究2：求出情境2中此次充满电后y与x之间的关系式及x的取值范围。想一想，确定一次函数的表达式需要几个条件？
探究3：若手机电量充满后持续使用了180 min，则此时手机剩余电量是多少？
答案
探究1 解：设v与t之间的关系式为v=kt。
将(2,5)代入，得5=2k，解得$k=\frac{5}{2}$。
所以v与t之间的关系式为$v=\frac{5}{2}t$。
确定正比例函数的表达式需要1个条件。
探究2 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0)。
由题意，得b=100，①
120k+b=80。②
将①代入②，得$k=-\frac{1}{6}$。
所以$y=-\frac{1}{6}x+100$。
当y=20时，x=480，
所以x的取值范围为0≤x≤480。
确定一次函数的表达式需要两个条件。
探究3 解：①在$y=-\frac{1}{6}x+100(0≤x≤480)$中，
当x=180时，$y=-\frac{1}{6}×180+100=70$，
所以此时手机剩余电量是70%。
将(2,5)代入，得5=2k，解得$k=\frac{5}{2}$。
所以v与t之间的关系式为$v=\frac{5}{2}t$。
确定正比例函数的表达式需要1个条件。
探究2 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0)。
由题意，得b=100，①
120k+b=80。②
将①代入②，得$k=-\frac{1}{6}$。
所以$y=-\frac{1}{6}x+100$。
当y=20时，x=480，
所以x的取值范围为0≤x≤480。
确定一次函数的表达式需要两个条件。
探究3 解：①在$y=-\frac{1}{6}x+100(0≤x≤480)$中，
当x=180时，$y=-\frac{1}{6}×180+100=70$，
所以此时手机剩余电量是70%。
解析
【分析】
探究1：情境1中速度v随时间t变化的图象是过原点的直线，属于正比例函数，因此设表达式为v=kt，只需找到图象上1个已知点的坐标代入即可求出k的值，得到函数关系式，由此可总结正比例函数确定表达式需要的条件数。
探究2：情境2中剩余电量y和使用时间x是一次函数关系，设表达式为y=kx+b(k≠0)，需要找到两组x和y的对应值代入求解；题目给出x=0时y=100（充满电的初始状态），x=120时y=80，代入可求出k和b；再结合“电量降到20%需充电”的条件，令y=20求出对应的x最大值，即可得到x的取值范围，同时总结一次函数确定表达式需要的条件数。
探究3：先判断180min在探究2得到的x取值范围内，直接将x=180代入已求出的函数关系式，计算得到的y值就是剩余电量。
【解析】
探究1
解：设v与t之间的关系式为$v=kt$。
将图象上的点$(2,5)$代入关系式，得$5=2k$，解得$k=\frac{5}{2}$。
所以v与t之间的关系式为$v=\frac{5}{2}t$。
结论：确定正比例函数的表达式需要1个条件。
---
探究2
解：设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题意得：当$x=0$时，$y=100$，即$b=100$ ①；
当$x=120$时，$y=80$，代入得$120k+b=80$ ②。
将①代入②，解得$k=-\frac{1}{6}$，因此函数关系式为$y=-\frac{1}{6}x+100$。
当$y=20$时，代入关系式得$20=-\frac{1}{6}x+100$，解得$x=480$，结合实际意义，x的取值范围为$0≤x≤480$。
结论：确定一次函数的表达式需要2个条件。
---
探究3
解：因为$180$满足$0≤x≤480$，将$x=180$代入$y=-\frac{1}{6}x+100$，得：
$y=-\frac{1}{6}×180+100=70$
所以此时手机剩余电量是70%。
【答案】
探究1：$v=\frac{5}{2}t$，确定正比例函数表达式需要1个条件；
探究2：$y=-\frac{1}{6}x+100（0≤x≤480）$，确定一次函数表达式需要2个条件；
探究3：70%
【知识点】
待定系数法求函数表达式，一次函数的实际应用，正比例函数的特征
【点评】
本题结合物体下滑、手机充电两个贴近生活的实际情境，考查了待定系数法求正比例函数、一次函数表达式的方法，明确了两类函数确定解析式所需的条件数量，同时引导学生运用函数表达式解决实际计算问题，侧重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
探究1：情境1中速度v随时间t变化的图象是过原点的直线，属于正比例函数，因此设表达式为v=kt，只需找到图象上1个已知点的坐标代入即可求出k的值，得到函数关系式，由此可总结正比例函数确定表达式需要的条件数。
探究2：情境2中剩余电量y和使用时间x是一次函数关系，设表达式为y=kx+b(k≠0)，需要找到两组x和y的对应值代入求解；题目给出x=0时y=100（充满电的初始状态），x=120时y=80，代入可求出k和b；再结合“电量降到20%需充电”的条件，令y=20求出对应的x最大值，即可得到x的取值范围，同时总结一次函数确定表达式需要的条件数。
探究3：先判断180min在探究2得到的x取值范围内，直接将x=180代入已求出的函数关系式，计算得到的y值就是剩余电量。
【解析】
探究1
解：设v与t之间的关系式为$v=kt$。
将图象上的点$(2,5)$代入关系式，得$5=2k$，解得$k=\frac{5}{2}$。
所以v与t之间的关系式为$v=\frac{5}{2}t$。
结论：确定正比例函数的表达式需要1个条件。
---
探究2
解：设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题意得：当$x=0$时，$y=100$，即$b=100$ ①；
当$x=120$时，$y=80$，代入得$120k+b=80$ ②。
将①代入②，解得$k=-\frac{1}{6}$，因此函数关系式为$y=-\frac{1}{6}x+100$。
当$y=20$时，代入关系式得$20=-\frac{1}{6}x+100$，解得$x=480$，结合实际意义，x的取值范围为$0≤x≤480$。
结论：确定一次函数的表达式需要2个条件。
---
探究3
解：因为$180$满足$0≤x≤480$，将$x=180$代入$y=-\frac{1}{6}x+100$，得：
$y=-\frac{1}{6}×180+100=70$
所以此时手机剩余电量是70%。
【答案】
探究1：$v=\frac{5}{2}t$，确定正比例函数表达式需要1个条件；
探究2：$y=-\frac{1}{6}x+100（0≤x≤480）$，确定一次函数表达式需要2个条件；
探究3：70%
【知识点】
待定系数法求函数表达式，一次函数的实际应用，正比例函数的特征
【点评】
本题结合物体下滑、手机充电两个贴近生活的实际情境，考查了待定系数法求正比例函数、一次函数表达式的方法，明确了两类函数确定解析式所需的条件数量，同时引导学生运用函数表达式解决实际计算问题，侧重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
1. 若一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$P(0,5)$，当$x$增加1个单位长度时，$y$减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________。
答案
1. $y=-3x+5$
解析
【分析】
要确定一次函数的表达式，需求出k和b两个未知系数。首先，已知函数图象经过点P(0,5)，将该点坐标代入表达式可直接求出b的值；其次，根据“x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度”的条件，可得到x和y的变化关系，进而求出k的值，最后代入k、b即可得到函数表达式。
【解析】
第一步：求b的值
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$P(0,5)$，把$x=0$，$y=5$代入表达式，得：
$5 = k × 0 + b$
解得$b=5$。
第二步：求k的值
由题意，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，即当x变为$x+1$时，y变为$y-3$，代入函数表达式得：
$y - 3 = k(x + 1) + b$
又
∵原表达式为$y = kx + b$，将其代入上式：
$kx + b - 3 = kx + k + b$
两边消去$kx$和$b$，得：
$-3 = k$，即$k=-3$。
第三步：写出函数表达式
把$k=-3$，$b=5$代入$y=kx+b$，得函数表达式为$y=-3x+5$。
【答案】
$y=-3x+5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数解析式求解的基础题，解题的关键是准确理解自变量和因变量的变化关系对应k的取值，以及利用函数经过的定点快速求出b的值，掌握基础性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要确定一次函数的表达式，需求出k和b两个未知系数。首先，已知函数图象经过点P(0,5)，将该点坐标代入表达式可直接求出b的值；其次，根据“x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度”的条件，可得到x和y的变化关系，进而求出k的值，最后代入k、b即可得到函数表达式。
【解析】
第一步：求b的值
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$P(0,5)$，把$x=0$，$y=5$代入表达式，得：
$5 = k × 0 + b$
解得$b=5$。
第二步：求k的值
由题意，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，即当x变为$x+1$时，y变为$y-3$，代入函数表达式得：
$y - 3 = k(x + 1) + b$
又
∵原表达式为$y = kx + b$，将其代入上式：
$kx + b - 3 = kx + k + b$
两边消去$kx$和$b$，得：
$-3 = k$，即$k=-3$。
第三步：写出函数表达式
把$k=-3$，$b=5$代入$y=kx+b$，得函数表达式为$y=-3x+5$。
【答案】
$y=-3x+5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数解析式求解的基础题，解题的关键是准确理解自变量和因变量的变化关系对应k的取值，以及利用函数经过的定点快速求出b的值，掌握基础性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验(不计绳重和摩擦)，他把得到的拉力F(单位：N)和所悬挂重物的重力G(单位：N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象。求拉力F关于重力G的函数表达式。
答案
解：设拉力F关于重力G的函数表达式为F=kG+b(k≠0)。
根据题意，得b=0.5，①
k+b=1。②
将①代入②，得k=0.5。
所以拉力F关于重力G的函数表达式为F=0.5G+0.5。
根据题意，得b=0.5，①
k+b=1。②
将①代入②，得k=0.5。
所以拉力F关于重力G的函数表达式为F=0.5G+0.5。
解析
【分析】
观察图象可知拉力F与重力G呈一次函数关系，我们采用待定系数法求解：第一步先设一次函数的通用表达式为F=kG+b（k≠0）；第二步从图象中提取两个已知点的坐标，分别是G=0时F=0.5，对应点(0,0.5)，G=1时F=1，对应点(1,1)；第三步将两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的方程，求解得到k、b的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
设拉力F关于重力G的函数表达式为$\boldsymbol{F=kG+b(k≠0)}$。
根据图象信息：
当$G=0$时，$F=0.5$，代入表达式得$b=0.5$ ①；
当$G=1\mathrm{N}$时，$F=1\mathrm{N}$，代入表达式得$k+b=1$ ②。
将①代入②，解得$k=0.5$。
把$k=0.5$、$b=0.5$代入所设表达式，即可得到拉力F关于重力G的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{F=0.5G+0.5}$
【知识点】
待定系数法、一次函数解析式、图象信息提取
【点评】
本题属于一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是准确从图象中获取对应点的坐标，代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
观察图象可知拉力F与重力G呈一次函数关系，我们采用待定系数法求解：第一步先设一次函数的通用表达式为F=kG+b（k≠0）；第二步从图象中提取两个已知点的坐标，分别是G=0时F=0.5，对应点(0,0.5)，G=1时F=1，对应点(1,1)；第三步将两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的方程，求解得到k、b的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
设拉力F关于重力G的函数表达式为$\boldsymbol{F=kG+b(k≠0)}$。
根据图象信息：
当$G=0$时，$F=0.5$，代入表达式得$b=0.5$ ①；
当$G=1\mathrm{N}$时，$F=1\mathrm{N}$，代入表达式得$k+b=1$ ②。
将①代入②，解得$k=0.5$。
把$k=0.5$、$b=0.5$代入所设表达式，即可得到拉力F关于重力G的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{F=0.5G+0.5}$
【知识点】
待定系数法、一次函数解析式、图象信息提取
【点评】
本题属于一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是准确从图象中获取对应点的坐标，代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
