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2.如图，抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形。
(1)求A，B，C三点的坐标。
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线对应的函数解析式。
(1)求A，B，C三点的坐标。
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线对应的函数解析式。
答案
(1)$A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$.
(2)$y=-x^2+20$.
(2)$y=-x^2+20$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标的思路：求与x轴交点时，令解析式中y=0，解一元二次方程得到横坐标，纵坐标为0；求与y轴交点时，令解析式中x=0，代入得到纵坐标，横坐标为0，按该方法即可求出A、B、C三点坐标。
(2) 首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，计算AB的长度，结合CD与AB平行的特点推导D点坐标；再根据抛物线向上平移时“二次项系数不变，仅常数项增加平移距离”的规律，设出平移后的解析式，将D点坐标代入求解参数，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+4=0$
解得$x=\pm2$，结合图象位置可得$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
求C点坐标：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-0^2+4=4$，因此$C(0,4)$。
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$且$AB=CD$。
AB的长度为$2-(-2)=4$，由于AB在x轴上，故CD平行于x轴，D点纵坐标与C点相同，为4；
又$CD=AB=4$，D在C左侧，所以D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+k$（k为向上平移的距离，$k＞0$），将$D(-4,4)$代入得：
$4=-(-4)^2+4+k$
计算得$4=-16+4+k$，解得$k=16$。
因此平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1)$A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$
(2)$y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题是基础综合题，考查的均为核心基础知识点，解题关键是熟练掌握二次函数交点求解方法、平移的“上加下减”规律，以及平行四边形对边平行且相等的性质，计算量小，理清思路即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标的思路：求与x轴交点时，令解析式中y=0，解一元二次方程得到横坐标，纵坐标为0；求与y轴交点时，令解析式中x=0，代入得到纵坐标，横坐标为0，按该方法即可求出A、B、C三点坐标。
(2) 首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，计算AB的长度，结合CD与AB平行的特点推导D点坐标；再根据抛物线向上平移时“二次项系数不变，仅常数项增加平移距离”的规律，设出平移后的解析式，将D点坐标代入求解参数，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+4=0$
解得$x=\pm2$，结合图象位置可得$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
求C点坐标：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-0^2+4=4$，因此$C(0,4)$。
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$且$AB=CD$。
AB的长度为$2-(-2)=4$，由于AB在x轴上，故CD平行于x轴，D点纵坐标与C点相同，为4；
又$CD=AB=4$，D在C左侧，所以D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+k$（k为向上平移的距离，$k＞0$），将$D(-4,4)$代入得：
$4=-(-4)^2+4+k$
计算得$4=-16+4+k$，解得$k=16$。
因此平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1)$A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$
(2)$y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题是基础综合题，考查的均为核心基础知识点，解题关键是熟练掌握二次函数交点求解方法、平移的“上加下减”规律，以及平行四边形对边平行且相等的性质，计算量小，理清思路即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
【例3】在平面直角坐标系中,二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象可能是 (
A B C D
【规律方法】
(1)判断二次函数$y=a(x-h)^2$的图象时,可先确定顶点坐标是$(h,0)$,对称轴为直线$x=h$,再由$a$的符号判断开口方向,根据$h$的正负判断平移方向,最后结合$a$的符号与对称轴确定增减性.
(2)画二次函数$y=a(x-h)^2$的图象时,可用描点法.
变式训练
3.画出函数$y=(x-1)^2$的图象.
D
)A B C D
【规律方法】
(1)判断二次函数$y=a(x-h)^2$的图象时,可先确定顶点坐标是$(h,0)$,对称轴为直线$x=h$,再由$a$的符号判断开口方向,根据$h$的正负判断平移方向,最后结合$a$的符号与对称轴确定增减性.
(2)画二次函数$y=a(x-h)^2$的图象时,可用描点法.
变式训练
3.画出函数$y=(x-1)^2$的图象.
答案
【例3】D
3.图象如图所示
解析
【分析】
要解决例3，首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2(a≠0)$的核心性质：该形式的二次函数顶点坐标为$(h,0)$，即顶点一定落在x轴上，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。解题时先根据顶点位置排除不符合的选项：
1. 选项A顶点在x轴下方、选项B顶点在x轴上方、选项C顶点在y轴正半轴，均不符合“顶点纵坐标为0”的特征，直接排除；
2. 选项D顶点在x轴正半轴，开口向上，符合$y=a(x-h)^2$（$a＞0,h＞0$）的图象特征，可选。
变式训练画$y=(x-1)^2$的图象时，先确定它的顶点为$(1,0)$、对称轴为直线$x=1$、开口向上，再用描点法取对称点连线即可得到对应图象。
【解析】
例3解析：
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的顶点坐标为$(h,0)$，因此图象顶点必然在x轴上：
A选项顶点在x轴下方，不符合，排除；
B选项顶点在x轴上方，不符合，排除；
C选项顶点在y轴正半轴，纵坐标大于0，不符合，排除；
D选项顶点在x轴上，开口向上，符合该形式二次函数的图象特征，正确。
变式训练3解析：
函数$y=(x-1)^2$中$a=1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，取顶点及左右对称的点描点连线，即可得到对应图象。
【答案】
【例3】D
3.图象如图所示
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象判断、描点法画函数图象
【点评】
本题核心考查顶点式二次函数的图象特征，牢记$y=a(x-h)^2$的顶点在x轴上是快速解题的关键，变式训练侧重基础作图能力的考查，均是二次函数图象部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决例3，首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2(a≠0)$的核心性质：该形式的二次函数顶点坐标为$(h,0)$，即顶点一定落在x轴上，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。解题时先根据顶点位置排除不符合的选项：
1. 选项A顶点在x轴下方、选项B顶点在x轴上方、选项C顶点在y轴正半轴，均不符合“顶点纵坐标为0”的特征，直接排除；
2. 选项D顶点在x轴正半轴，开口向上，符合$y=a(x-h)^2$（$a＞0,h＞0$）的图象特征，可选。
变式训练画$y=(x-1)^2$的图象时，先确定它的顶点为$(1,0)$、对称轴为直线$x=1$、开口向上，再用描点法取对称点连线即可得到对应图象。
【解析】
例3解析：
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的顶点坐标为$(h,0)$，因此图象顶点必然在x轴上：
A选项顶点在x轴下方，不符合，排除；
B选项顶点在x轴上方，不符合，排除；
C选项顶点在y轴正半轴，纵坐标大于0，不符合，排除；
D选项顶点在x轴上，开口向上，符合该形式二次函数的图象特征，正确。
变式训练3解析：
函数$y=(x-1)^2$中$a=1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，取顶点及左右对称的点描点连线，即可得到对应图象。
【答案】
【例3】D
3.图象如图所示
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象判断、描点法画函数图象
【点评】
本题核心考查顶点式二次函数的图象特征，牢记$y=a(x-h)^2$的顶点在x轴上是快速解题的关键，变式训练侧重基础作图能力的考查，均是二次函数图象部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
【例4】已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，且过点$(1,-3)$。
(1)求该抛物线对应的函数解析式。
(2)该抛物线是由抛物线$y=ax^2$经过怎样的平移得到的？
(3)当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，$y$取得最大（或最小）值？
解：
(1)求该抛物线对应的函数解析式。
(2)该抛物线是由抛物线$y=ax^2$经过怎样的平移得到的？
(3)当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，$y$取得最大（或最小）值？
解：
答案
(1)$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$.
(2)由抛物线的平移规律，得抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到的.
(3)因为$a=-\frac{1}{3}＜0$，所以抛物线的开口向下，所以在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，即当$x＞-2$时，y随x的增大而减小.当$x=-2$时，y取得最大值.
(2)由抛物线的平移规律，得抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到的.
(3)因为$a=-\frac{1}{3}＜0$，所以抛物线的开口向下，所以在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，即当$x＞-2$时，y随x的增大而减小.当$x=-2$时，y取得最大值.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，先结合题目给出的对称轴$x=-2$确定$h$的值，再将已知点$(1,-3)$代入解析式，即可求出参数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比$y=ax^2$和求出的$y=a(x-h)^2$的表达式，即可判断平移方向和距离。
(3) 先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，顶点处$y$取最大值；开口向上时则相反，结合对称轴即可作答。
【解析】
(1) 因为抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，已知对称轴为直线$x=-2$，所以$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入解析式得：$-3=a×(1+2)^2$，即$9a=-3$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到的。
(3) 由$a=-\frac{1}{3}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$：
因此在对称轴右侧，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
抛物线的顶点为最高点，所以当$x=-2$时，$y$取得最大值。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$
(2)由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到
(3)当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-2$时，$y$取得最大值
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕顶点式$y=a(x-h)^2$的参数意义、平移规律、图象性质展开考查，熟练掌握顶点式各参数对应的图象特征是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，先结合题目给出的对称轴$x=-2$确定$h$的值，再将已知点$(1,-3)$代入解析式，即可求出参数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比$y=ax^2$和求出的$y=a(x-h)^2$的表达式，即可判断平移方向和距离。
(3) 先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，顶点处$y$取最大值；开口向上时则相反，结合对称轴即可作答。
【解析】
(1) 因为抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，已知对称轴为直线$x=-2$，所以$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入解析式得：$-3=a×(1+2)^2$，即$9a=-3$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，抛物线$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到的。
(3) 由$a=-\frac{1}{3}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$：
因此在对称轴右侧，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
抛物线的顶点为最高点，所以当$x=-2$时，$y$取得最大值。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$
(2)由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位长度得到
(3)当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-2$时，$y$取得最大值
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕顶点式$y=a(x-h)^2$的参数意义、平移规律、图象性质展开考查，熟练掌握顶点式各参数对应的图象特征是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
4.已知二次函数$y=3(x-h)^2$，当$x＞1$时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是
$h≤1$
。答案
$h≤1$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：先由$a$的正负判断开口方向，再确定对称轴，最后结合增减性的要求推导$h$的取值范围。第一步，由$a=3＞0$可得抛物线开口向上，开口向上的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小；第二步，该函数对称轴为直线$x=h$，题目要求$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＞1$的区间要全部落在对称轴右侧，因此对称轴不能在$x=1$的右侧，否则$1＜x＜h$的区间内$y$会随$x$增大而减小，不符合要求，由此可推出$h$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-h)^2$：
1. 由$a=3＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$，根据开口向上的二次函数性质：当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
3. 题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间完全在对称轴右侧，因此对称轴$x=h$需满足$h≤1$（当$h=1$时，对称轴为$x=1$，$x＞1$的区间仍完全在对称轴右侧，符合要求）。
【答案】
$h≤1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，易错点是容易遗漏$h=1$的情况，解题关键是明确开口方向与对称轴、增减区间的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：先由$a$的正负判断开口方向，再确定对称轴，最后结合增减性的要求推导$h$的取值范围。第一步，由$a=3＞0$可得抛物线开口向上，开口向上的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小；第二步，该函数对称轴为直线$x=h$，题目要求$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＞1$的区间要全部落在对称轴右侧，因此对称轴不能在$x=1$的右侧，否则$1＜x＜h$的区间内$y$会随$x$增大而减小，不符合要求，由此可推出$h$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-h)^2$：
1. 由$a=3＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$，根据开口向上的二次函数性质：当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
3. 题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间完全在对称轴右侧，因此对称轴$x=h$需满足$h≤1$（当$h=1$时，对称轴为$x=1$，$x＞1$的区间仍完全在对称轴右侧，符合要求）。
【答案】
$h≤1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，易错点是容易遗漏$h=1$的情况，解题关键是明确开口方向与对称轴、增减区间的对应关系。
【难度系数】
0.8
5.如图,抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且$OA=OB$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上,求$b$的值.
(3)若点$D(2,y_1),E(3,y_2)$在此抛物线上,
比较$y_1$与$y_2$的大小,并说明理由.
知识建构
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上,求$b$的值.
(3)若点$D(2,y_1),E(3,y_2)$在此抛物线上,
比较$y_1$与$y_2$的大小,并说明理由.
知识建构
答案
(1)$y=-(x+1)^2$.
(2)$b=-4$.
(3)因为抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且开口向下，
所以当$x＞-1$时，y随x的增大而减小.
因为2＜3，
所以$y_1＞y_2$.
(2)$b=-4$.
(3)因为抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且开口向下，
所以当$x＞-1$时，y随x的增大而减小.
因为2＜3，
所以$y_1＞y_2$.
解析
【分析】
(1) 先根据抛物线顶点式的特征确定顶点A的坐标，算出OA的长度，结合OA=OB且B在y轴负半轴得到B点坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，得到函数解析式；
(2) 点C在抛物线上，将点C的横坐标代入已求得的解析式，计算即可得到b的值；
(3) 先根据抛物线解析式确定开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性规律，结合D、E两点横坐标的大小关系，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此$OA=1$。
已知$OA=OB$，且点B在y轴负半轴，所以$OB=1$，点B的坐标为$(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a(0+1)^2$
解得$a=-1$，因此抛物线的函数解析式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 把点$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$，得：
$b=-(-3+1)^2=-(-2)^2=-4$
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x＞-1$时，y随x的增大而减小。
已知点$D(2,y_1),E(3,y_2)$的横坐标均大于$-1$，且$2＜3$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
(1)$y=-(x+1)^2$
(2)$b=-4$
(3)$y_1＞y_2$，理由见解析
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质展开考察，解题的关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标、对称轴、增减性等核心知识，代入求值和利用增减性比较函数值大小都是二次函数的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据抛物线顶点式的特征确定顶点A的坐标，算出OA的长度，结合OA=OB且B在y轴负半轴得到B点坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，得到函数解析式；
(2) 点C在抛物线上，将点C的横坐标代入已求得的解析式，计算即可得到b的值；
(3) 先根据抛物线解析式确定开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性规律，结合D、E两点横坐标的大小关系，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此$OA=1$。
已知$OA=OB$，且点B在y轴负半轴，所以$OB=1$，点B的坐标为$(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a(0+1)^2$
解得$a=-1$，因此抛物线的函数解析式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 把点$C(-3,b)$代入$y=-(x+1)^2$，得：
$b=-(-3+1)^2=-(-2)^2=-4$
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$y=-(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x＞-1$时，y随x的增大而减小。
已知点$D(2,y_1),E(3,y_2)$的横坐标均大于$-1$，且$2＜3$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
(1)$y=-(x+1)^2$
(2)$b=-4$
(3)$y_1＞y_2$，理由见解析
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质展开考察，解题的关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标、对称轴、增减性等核心知识，代入求值和利用增减性比较函数值大小都是二次函数的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
