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【例1】在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 + k(k＞0) $ 的图象可能是 （
【规律方法】
(1)判断二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象时，可根据开口方向和顶点坐标来判断.通过 $ a $ 可确定二次函数图象的开口方向，简记为“正上负下”；通过 $ k $ 可确定二次函数图象的顶点位置.
(2)可以用描点法画二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象.
A
）【规律方法】
(1)判断二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象时，可根据开口方向和顶点坐标来判断.通过 $ a $ 可确定二次函数图象的开口方向，简记为“正上负下”；通过 $ k $ 可确定二次函数图象的顶点位置.
(2)可以用描点法画二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象.
答案
A
解析
【分析】
解题时可结合二次函数$y=ax^2+k$的图象特征逐步排除错误选项：首先，该函数无一次项，对称轴为y轴，因此图象顶点一定在y轴上，可先排除顶点不在y轴上的选项；其次，当$x=0$时，$y=k$，题目给出$k＞0$，说明顶点在y轴正半轴，据此排除顶点位置不符合的选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
1. 确定对称轴：对于二次函数$y=ax^2+k$，一次项系数为0，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为$x=0$（即y轴），因此函数顶点在y轴上。观察选项，C、D的顶点均不在y轴上，排除C、D。
2. 分析顶点纵坐标：将$x=0$代入函数得$y=k$，已知$k＞0$，即顶点在y轴正半轴。B选项顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B；A选项对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴判断；顶点坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，解题核心是掌握$y=ax^2+k$类函数“对称轴为y轴、顶点纵坐标等于常数项k”的特征，用排除法可快速求解，能有效检验学生对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题时可结合二次函数$y=ax^2+k$的图象特征逐步排除错误选项：首先，该函数无一次项，对称轴为y轴，因此图象顶点一定在y轴上，可先排除顶点不在y轴上的选项；其次，当$x=0$时，$y=k$，题目给出$k＞0$，说明顶点在y轴正半轴，据此排除顶点位置不符合的选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
1. 确定对称轴：对于二次函数$y=ax^2+k$，一次项系数为0，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为$x=0$（即y轴），因此函数顶点在y轴上。观察选项，C、D的顶点均不在y轴上，排除C、D。
2. 分析顶点纵坐标：将$x=0$代入函数得$y=k$，已知$k＞0$，即顶点在y轴正半轴。B选项顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B；A选项对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴判断；顶点坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，解题核心是掌握$y=ax^2+k$类函数“对称轴为y轴、顶点纵坐标等于常数项k”的特征，用排除法可快速求解，能有效检验学生对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
1.在平面直角坐标系中画二次函数 $y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 的图象.
(1)补充表格中的 $y$ 值.
(2)画出 $y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 的图象.
(1)补充表格中的 $y$ 值.
(2)画出 $y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 的图象.
答案
(1)3 0 -1 0 3
(2)图象如图所示
解析
【分析】
（1）要得到表格中对应的y值，只需将给定的x的取值逐一代入二次函数解析式$y=\frac{1}{4}x^2 -1$，分别计算出结果即可。
（2）画二次函数图象遵循“列表-描点-连线”的步骤：首先借助（1）中补充完整的表格得到对应点的坐标，其次在坐标系中准确描出这些点，最后用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端适当延伸即可得到函数图象。
【解析】
（1）分别将x=-4、x=-2、x=0、x=2、x=4代入解析式计算：
当$x=-4$时，$y=\frac{1}{4}× (-4)^2 -1=\frac{1}{4}×16 -1=4-1=3$；
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{4}× (-2)^2 -1=\frac{1}{4}×4 -1=1-1=0$；
当$x=0$时，$y=\frac{1}{4}× 0^2 -1=0-1=-1$；
当$x=2$时，$y=\frac{1}{4}× 2^2 -1=\frac{1}{4}×4 -1=1-1=0$；
当$x=4$时，$y=\frac{1}{4}× 4^2 -1=\frac{1}{4}×16 -1=4-1=3$。
因此表格中y值依次为3、0、-1、0、3。
（2）①描点：在平面直角坐标系中描出点$(-4,3)$、$(-2,0)$、$(0,-1)$、$(2,0)$、$(4,3)$；
②连线：用平滑的曲线从左到右顺次连接上述各点，同时向图象两端适当延伸，即可得到$y=\frac{1}{4}x^2 -1$的图象。
【答案】
(1)3 0 -1 0 3
(2)图象如图所示
【知识点】
1. 二次函数值计算
2. 描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查函数值的计算能力和描点法画函数图象的操作能力，是学习二次函数图象与性质的必备基础，只要计算细心、作图规范即可得分。
【难度系数】
0.9
（1）要得到表格中对应的y值，只需将给定的x的取值逐一代入二次函数解析式$y=\frac{1}{4}x^2 -1$，分别计算出结果即可。
（2）画二次函数图象遵循“列表-描点-连线”的步骤：首先借助（1）中补充完整的表格得到对应点的坐标，其次在坐标系中准确描出这些点，最后用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端适当延伸即可得到函数图象。
【解析】
（1）分别将x=-4、x=-2、x=0、x=2、x=4代入解析式计算：
当$x=-4$时，$y=\frac{1}{4}× (-4)^2 -1=\frac{1}{4}×16 -1=4-1=3$；
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{4}× (-2)^2 -1=\frac{1}{4}×4 -1=1-1=0$；
当$x=0$时，$y=\frac{1}{4}× 0^2 -1=0-1=-1$；
当$x=2$时，$y=\frac{1}{4}× 2^2 -1=\frac{1}{4}×4 -1=1-1=0$；
当$x=4$时，$y=\frac{1}{4}× 4^2 -1=\frac{1}{4}×16 -1=4-1=3$。
因此表格中y值依次为3、0、-1、0、3。
（2）①描点：在平面直角坐标系中描出点$(-4,3)$、$(-2,0)$、$(0,-1)$、$(2,0)$、$(4,3)$；
②连线：用平滑的曲线从左到右顺次连接上述各点，同时向图象两端适当延伸，即可得到$y=\frac{1}{4}x^2 -1$的图象。
【答案】
(1)3 0 -1 0 3
(2)图象如图所示
【知识点】
1. 二次函数值计算
2. 描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查函数值的计算能力和描点法画函数图象的操作能力，是学习二次函数图象与性质的必备基础，只要计算细心、作图规范即可得分。
【难度系数】
0.9
【例2】已知函数$y=ax^2 +k$的图象过点(-2, -3)和点(1,6)。
(1)求这个函数的解析式。
(2)写出当x为何值时，函数值y随x的增大而减小。
解：
(1)求这个函数的解析式。
(2)写出当x为何值时，函数值y随x的增大而减小。
解：
答案
(1)$y=-3x^2+9$.
(2)当$x＞0$时，函数值y随x的增大而减小.
(2)当$x＞0$时，函数值y随x的增大而减小.
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=ax^2+k$中有两个未知参数$a$和$k$，将已知的两个点坐标分别代入解析式，即可得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$k$的值就能确定函数解析式。
(2) 先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2+k$的对称轴为$y$轴（$x=0$），利用二次函数增减性的规律，就能得出$y$随$x$增大而减小的$x$取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-2, -3)$和$(1, 6)$分别代入$y=ax^2 +k$，可得：
$\begin{cases}4a + k = -3 \\a + k = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$k$，得$3a=-9$，解得$a=-3$。
把$a=-3$代入$a + k = 6$，得$-3 +k=6$，解得$k=9$。
因此函数解析式为$y=-3x^2 +9$。
(2) 由$a=-3＜0$，可知抛物线开口向下，
又因为$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$（$y$轴），
开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，所以当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)$y=-3x^2+9$
(2)当$x＞0$时，函数值y随x的增大而减小
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查待定系数法的应用和二次函数增减性的判断，掌握二次函数的基本图象性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数$y=ax^2+k$中有两个未知参数$a$和$k$，将已知的两个点坐标分别代入解析式，即可得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$k$的值就能确定函数解析式。
(2) 先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2+k$的对称轴为$y$轴（$x=0$），利用二次函数增减性的规律，就能得出$y$随$x$增大而减小的$x$取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-2, -3)$和$(1, 6)$分别代入$y=ax^2 +k$，可得：
$\begin{cases}4a + k = -3 \\a + k = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$k$，得$3a=-9$，解得$a=-3$。
把$a=-3$代入$a + k = 6$，得$-3 +k=6$，解得$k=9$。
因此函数解析式为$y=-3x^2 +9$。
(2) 由$a=-3＜0$，可知抛物线开口向下，
又因为$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$（$y$轴），
开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，所以当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)$y=-3x^2+9$
(2)当$x＞0$时，函数值y随x的增大而减小
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查待定系数法的应用和二次函数增减性的判断，掌握二次函数的基本图象性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
