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1.抛物线$y=x^2 -4$的顶点坐标是 （
A.$(-4,0)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,-4)$
D.$(0,4)$
C
）A.$(-4,0)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,-4)$
D.$(0,4)$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点坐标的求解，解题思路如下：首先观察抛物线解析式的形式，$y=x^2-4$属于$y=ax^2+k$（a≠0）的特殊二次函数形式，该类函数的对称轴为y轴（即x=0），顶点在y轴上，因此只需将x=0代入解析式求出对应的y值，即可得到顶点坐标；也可以使用一般式的顶点坐标公式直接计算，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：利用$y=ax^2+k$的性质求解
抛物线$y=x^2-4$符合$y=ax^2+k$的形式，其中$a=1$，$k=-4$，该类二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，因此直接可得顶点坐标为$(0,-4)$。
方法2：利用顶点坐标公式求解
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（a≠0），顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入解析式可求得顶点纵坐标。
本题中$a=1$，$b=0$，$c=-4$，代入得：
横坐标$x=-\frac{0}{2×1}=0$，
将x=0代入解析式得$y=0^2-4=-4$，
因此顶点坐标为$(0,-4)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
2. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察特殊形式二次函数的性质，既可以通过记忆$y=ax^2+k$的顶点特征快速解题，也可以用通用的顶点坐标公式计算，是巩固二次函数基础性质的典型题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点坐标的求解，解题思路如下：首先观察抛物线解析式的形式，$y=x^2-4$属于$y=ax^2+k$（a≠0）的特殊二次函数形式，该类函数的对称轴为y轴（即x=0），顶点在y轴上，因此只需将x=0代入解析式求出对应的y值，即可得到顶点坐标；也可以使用一般式的顶点坐标公式直接计算，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：利用$y=ax^2+k$的性质求解
抛物线$y=x^2-4$符合$y=ax^2+k$的形式，其中$a=1$，$k=-4$，该类二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，因此直接可得顶点坐标为$(0,-4)$。
方法2：利用顶点坐标公式求解
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（a≠0），顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入解析式可求得顶点纵坐标。
本题中$a=1$，$b=0$，$c=-4$，代入得：
横坐标$x=-\frac{0}{2×1}=0$，
将x=0代入解析式得$y=0^2-4=-4$，
因此顶点坐标为$(0,-4)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
2. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察特殊形式二次函数的性质，既可以通过记忆$y=ax^2+k$的顶点特征快速解题，也可以用通用的顶点坐标公式计算，是巩固二次函数基础性质的典型题。
【难度系数】
0.9
2.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+1$与二次函数$y=x^2 -k$（$k$为常数，且$k≠0$）的图象可能是（
D
）答案
D
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的开口方向排除明显错误选项，再根据参数k的正负分类讨论：先由一次函数的增减性、与y轴交点特征判断k的符号，再验证对应k的符号下二次函数的顶点位置是否符合，通过逐一排除错误选项得到正确答案。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2 -k$：二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除B。
2. 分析一次函数$y=kx+1$：常数项为1，因此一次函数与y轴的交点为$(0,1)$，必在y轴正半轴，选项C中一次函数与y轴交于负半轴，排除C。
3. 分类讨论参数k的符号：
① 若$k＞0$：一次函数$y=kx+1$斜率为正，图象上升，过一、二、三象限；此时二次函数$y=x^2 -k$的顶点为$(0,-k)$，在y轴负半轴，符合该特征的是选项D。
② 若$k＜0$：一次函数$y=kx+1$斜率为负，图象下降，过一、二、四象限；此时二次函数$y=x^2 -k$的顶点为$(0,-k)$，在y轴正半轴，选项A中二次函数顶点在y轴负半轴，不符合，排除A。
综上，只有选项D符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数$y=ax^2+k$图象性质；函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象类选择题的典型考法，解题核心是熟练掌握一次函数、二次函数的参数对应图象特征，结合排除法和分类讨论思想可快速解题，有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数的开口方向排除明显错误选项，再根据参数k的正负分类讨论：先由一次函数的增减性、与y轴交点特征判断k的符号，再验证对应k的符号下二次函数的顶点位置是否符合，通过逐一排除错误选项得到正确答案。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2 -k$：二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除B。
2. 分析一次函数$y=kx+1$：常数项为1，因此一次函数与y轴的交点为$(0,1)$，必在y轴正半轴，选项C中一次函数与y轴交于负半轴，排除C。
3. 分类讨论参数k的符号：
① 若$k＞0$：一次函数$y=kx+1$斜率为正，图象上升，过一、二、三象限；此时二次函数$y=x^2 -k$的顶点为$(0,-k)$，在y轴负半轴，符合该特征的是选项D。
② 若$k＜0$：一次函数$y=kx+1$斜率为负，图象下降，过一、二、四象限；此时二次函数$y=x^2 -k$的顶点为$(0,-k)$，在y轴正半轴，选项A中二次函数顶点在y轴负半轴，不符合，排除A。
综上，只有选项D符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数$y=ax^2+k$图象性质；函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象类选择题的典型考法，解题核心是熟练掌握一次函数、二次函数的参数对应图象特征，结合排除法和分类讨论思想可快速解题，有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
3.已知$A(-4,y_{1}),B(3,y_{2})$两点都在二次函数$y=-2(x+2)^2$的图象上,则$y_{1},y_{2}$的大小关系为
$y_2＜y_1$
.答案
$y_2＜y_1$
解析
【分析】
要比较$y_1$、$y_2$的大小，有两种常用的解题思路：一是直接将两点横坐标代入二次函数解析式，算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是结合二次函数的性质判断，先明确给定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点离对称轴越远，对应的函数值越小，通过计算两点到对称轴的距离即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-4,y_1)$的横坐标$x=-4$代入$y=-2(x+2)^2$得：
$y_1=-2×(-4+2)^2=-2×4=-8$
将$B(3,y_2)$的横坐标$x=3$代入$y=-2(x+2)^2$得：
$y_2=-2×(3+2)^2=-2×25=-50$
因为$-50＜-8$，所以$y_2＜y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=-2(x+2)^2$中，$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越小。
点$A$到对称轴的距离：$\vert-4-(-2)\vert=2$
点$B$到对称轴的距离：$\vert3-(-2)\vert=5$
因为$5＞2$，点$B$离对称轴更远，所以$y_2＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_1$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，两种解题方法都十分直观，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等核心性质，能更快速完成函数值大小的比较。
【难度系数】
0.85
要比较$y_1$、$y_2$的大小，有两种常用的解题思路：一是直接将两点横坐标代入二次函数解析式，算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是结合二次函数的性质判断，先明确给定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点离对称轴越远，对应的函数值越小，通过计算两点到对称轴的距离即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-4,y_1)$的横坐标$x=-4$代入$y=-2(x+2)^2$得：
$y_1=-2×(-4+2)^2=-2×4=-8$
将$B(3,y_2)$的横坐标$x=3$代入$y=-2(x+2)^2$得：
$y_2=-2×(3+2)^2=-2×25=-50$
因为$-50＜-8$，所以$y_2＜y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=-2(x+2)^2$中，$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越小。
点$A$到对称轴的距离：$\vert-4-(-2)\vert=2$
点$B$到对称轴的距离：$\vert3-(-2)\vert=5$
因为$5＞2$，点$B$离对称轴更远，所以$y_2＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_1$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，两种解题方法都十分直观，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等核心性质，能更快速完成函数值大小的比较。
【难度系数】
0.85
4.把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$，抛物线 $y=a(x-4)^2$ 的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线 $y=-3(x-h)^2$ 的顶点为M，求：
(1)$a$，$h$ 的值.
(2)$S_{△ MAB}$ 的值.
(1)$a$，$h$ 的值.
(2)$S_{△ MAB}$ 的值.
答案
(1)$a=-3,h=-2$.
(2)$S_{△ MAB}=144$.
(2)$S_{△ MAB}=144$.
解析
【分析】
(1) 第一问可根据抛物线平移的性质求解：抛物线平移时不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变；左右平移遵循“左加右减”的规则，即向左平移n个单位，自变量x替换为x+n，据此可列等式求出h的值。
(2) 第二问先确定三个点的坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，求抛物线与y轴交点时令$x=0$代入解析式即可得到B点坐标。观察可得A、M都在x轴上，因此以AM长度为底，点B到x轴的距离为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线平移时二次项系数保持不变，
$\therefore$ 原抛物线与平移后抛物线的a值相等，即$a=-3$。
抛物线$y=a(x-4)^2$向左平移6个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，平移后解析式为：
$y=a(x-4+6)^2=a(x+2)^2$，
又已知平移后抛物线为$y=-3(x-h)^2$，对比可得$-h=2$，即$h=-2$。
(2) 分别求A、B、M三点坐标：
① 抛物线$y=a(x-4)^2$的顶点A坐标为$(4,0)$；
② 平移后抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点M坐标为$(-2,0)$；
③ 令$x=0$代入$y=-3(x-4)^2$，得$y=-3×(0-4)^2=-48$，即B点坐标为$(0,-48)$。
$\because$ A、M均在x轴上，$\therefore$ 底$AM=|4-(-2)|=6$，
点B到x轴的距离为$|-48|=48$，即三角形的高为48，
$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×6×48=144$。
【答案】
(1)$a=-3,h=-2$
(2)$S_{△ MAB}=144$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题重点考查二次函数平移性质和顶点式的应用，解题关键是熟练掌握平移“左加右减”的规律，能准确提取顶点式的顶点坐标，计算三角形面积时结合点的坐标特征选择简便方法，可有效降低运算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可根据抛物线平移的性质求解：抛物线平移时不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变；左右平移遵循“左加右减”的规则，即向左平移n个单位，自变量x替换为x+n，据此可列等式求出h的值。
(2) 第二问先确定三个点的坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，求抛物线与y轴交点时令$x=0$代入解析式即可得到B点坐标。观察可得A、M都在x轴上，因此以AM长度为底，点B到x轴的距离为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线平移时二次项系数保持不变，
$\therefore$ 原抛物线与平移后抛物线的a值相等，即$a=-3$。
抛物线$y=a(x-4)^2$向左平移6个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，平移后解析式为：
$y=a(x-4+6)^2=a(x+2)^2$，
又已知平移后抛物线为$y=-3(x-h)^2$，对比可得$-h=2$，即$h=-2$。
(2) 分别求A、B、M三点坐标：
① 抛物线$y=a(x-4)^2$的顶点A坐标为$(4,0)$；
② 平移后抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点M坐标为$(-2,0)$；
③ 令$x=0$代入$y=-3(x-4)^2$，得$y=-3×(0-4)^2=-48$，即B点坐标为$(0,-48)$。
$\because$ A、M均在x轴上，$\therefore$ 底$AM=|4-(-2)|=6$，
点B到x轴的距离为$|-48|=48$，即三角形的高为48，
$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×6×48=144$。
【答案】
(1)$a=-3,h=-2$
(2)$S_{△ MAB}=144$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题重点考查二次函数平移性质和顶点式的应用，解题关键是熟练掌握平移“左加右减”的规律，能准确提取顶点式的顶点坐标，计算三角形面积时结合点的坐标特征选择简便方法，可有效降低运算难度。
【难度系数】
0.7
