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学习任务一 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象和性质
1.二次函数 $y=a(x-h)^2+k(a≠0)$ 的图象是一条抛物线.
2.二次函数 $y=a(x-h)^2+k(a≠0)$ 的图象和性质
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | 直线 | |
| 顶点坐标 |
| |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 |
续表
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 最值 | 当$x=h$时，
函数取得最小值，$y_{最小值}=$ | 当$x=h$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=$ |
1.二次函数 $y=a(x-h)^2+k(a≠0)$ 的图象是一条抛物线.
2.二次函数 $y=a(x-h)^2+k(a≠0)$ 的图象和性质
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | 直线 | |
| 顶点坐标 |
| || 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 |
续表
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 最值 | 当$x=h$时，
函数取得最小值，$y_{最小值}=$ | 当$x=h$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=$ |答案
开口方向：向上、向下；对称轴：直线$x=h$；顶点坐标：$(h,k)$；增减性：当$a＞0$，$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大；当$a＜0$，$x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小；最值：最小值为$k$，最大值为$k$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基础图象与性质，解题时可按以下思路推导：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a$为正开口向上，$a$为负开口向下；2. 顶点式中$h$对应对称轴的横坐标，因此对称轴为直线$x=h$，顶点坐标即为$(h,k)$；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，图象对称轴左侧下降、右侧上升，开口向下时规律相反；4. 最值对应顶点的纵坐标$k$，开口向上时取最小值，开口向下时取最大值。
【解析】
我们按表格条目逐一推导填写：
1. 开口方向：$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：顶点式中$h$为对称轴的横坐标，因此无论$a$正负，对称轴均为直线$x=h$；
3. 顶点坐标：顶点在对称轴上，对应纵坐标为$k$，因此顶点坐标为$(h,k)$；
4. 增减性：
$a＞0$时抛物线开口向上，图象左降右升，因此$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大；
$a＜0$时抛物线开口向下，图象左升右降，因此$x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小；
5. 最值：顶点为抛物线的最高点或最低点，对应纵坐标为$k$，因此$a＞0$时最小值为$k$，$a＜0$时最大值为$k$。
【答案】
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$\boldsymbol{x=h}$ | 直线$\boldsymbol{x=h}$ |
| 顶点坐标 | $\boldsymbol{(h,k)}$ | $\boldsymbol{(h,k)}$ |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$ | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$ |
| 最值 | 当$x=h$时，函数取得最小值，$y_{最小值}=\boldsymbol{k}$ | 当$x=h$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=\boldsymbol{k}$ |
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数顶点式各参数意义的理解记忆，是后续解决二次函数平移、应用类问题的基础，学习时可结合图象记忆性质，避免混淆不同开口方向下的增减性规律。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基础图象与性质，解题时可按以下思路推导：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a$为正开口向上，$a$为负开口向下；2. 顶点式中$h$对应对称轴的横坐标，因此对称轴为直线$x=h$，顶点坐标即为$(h,k)$；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，图象对称轴左侧下降、右侧上升，开口向下时规律相反；4. 最值对应顶点的纵坐标$k$，开口向上时取最小值，开口向下时取最大值。
【解析】
我们按表格条目逐一推导填写：
1. 开口方向：$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：顶点式中$h$为对称轴的横坐标，因此无论$a$正负，对称轴均为直线$x=h$；
3. 顶点坐标：顶点在对称轴上，对应纵坐标为$k$，因此顶点坐标为$(h,k)$；
4. 增减性：
$a＞0$时抛物线开口向上，图象左降右升，因此$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大；
$a＜0$时抛物线开口向下，图象左升右降，因此$x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小；
5. 最值：顶点为抛物线的最高点或最低点，对应纵坐标为$k$，因此$a＞0$时最小值为$k$，$a＜0$时最大值为$k$。
【答案】
| 二次函数 | $y=a(x-h)^2+k(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$\boldsymbol{x=h}$ | 直线$\boldsymbol{x=h}$ |
| 顶点坐标 | $\boldsymbol{(h,k)}$ | $\boldsymbol{(h,k)}$ |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$ | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$ |
| 最值 | 当$x=h$时，函数取得最小值，$y_{最小值}=\boldsymbol{k}$ | 当$x=h$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=\boldsymbol{k}$ |
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数顶点式各参数意义的理解记忆，是后续解决二次函数平移、应用类问题的基础，学习时可结合图象记忆性质，避免混淆不同开口方向下的增减性规律。
【难度系数】
0.85
学习任务二 抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 与抛物线 $y=ax^2$ 的关系
一般地，抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 可由抛物线 $y=ax^2$ 平移得到，它们的形状相同，只是位置不同，把抛物线 $y=ax^2$ 先向
一般地，抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 可由抛物线 $y=ax^2$ 平移得到，它们的形状相同，只是位置不同，把抛物线 $y=ax^2$ 先向
左
（$h＜0$）或向右
（$h＞0$）平移$|h|$
个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$
，再向上
（$k＞0$）或向下
（$k＜0$）平移$|k|$
个单位长度，即得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$
。答案
把抛物线 $y=ax^2$ 先向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$，再向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，即得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$。
解析
【分析】
解这道题的核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规律：首先分析水平方向平移，是针对自变量x的变换，当h＞0时，x减去正数符合“右减”，对应向右平移；当h＜0时，相当于x加|h|符合“左加”，对应向左平移，平移单位取|h|避免符号混淆，平移后得到y=a(x-h)²。再分析竖直方向平移，是对函数整体的变换，k＞0符合“上加”对应向上平移，k＜0符合“下减”对应向下平移，平移单位取|k|，最终得到目标抛物线。
【解析】
根据二次函数图象平移规律推导：
1. 水平平移：将抛物线$y=ax^2$向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$；
2. 竖直平移：将$y=a(x-h)^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，即可得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$。
【答案】
把抛物线 $y=ax^2$ 先向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$，再向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，即得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，重点考察平移法则的直接应用，解题时要注意区分水平、竖直平移的判断逻辑，牢记平移单位取h、k的绝对值，避免因符号混淆平移方向。
【难度系数】
0.85
解这道题的核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规律：首先分析水平方向平移，是针对自变量x的变换，当h＞0时，x减去正数符合“右减”，对应向右平移；当h＜0时，相当于x加|h|符合“左加”，对应向左平移，平移单位取|h|避免符号混淆，平移后得到y=a(x-h)²。再分析竖直方向平移，是对函数整体的变换，k＞0符合“上加”对应向上平移，k＜0符合“下减”对应向下平移，平移单位取|k|，最终得到目标抛物线。
【解析】
根据二次函数图象平移规律推导：
1. 水平平移：将抛物线$y=ax^2$向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$；
2. 竖直平移：将$y=a(x-h)^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，即可得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$。
【答案】
把抛物线 $y=ax^2$ 先向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$，再向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，即得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，重点考察平移法则的直接应用，解题时要注意区分水平、竖直平移的判断逻辑，牢记平移单位取h、k的绝对值，避免因符号混淆平移方向。
【难度系数】
0.85
【例1】已知抛物线$y=(x-h)^2 -1$.
(1)当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，求$h$的最小值.
(2)已知$A$，$B$两点在$x$轴上，点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(5,0)$，若该抛物线与线段$AB$只有一个公共点，求$h$的取值范围.
解:
【规律方法】
(1)通过解析式确定抛物线的顶点坐标$(h,k)$与对称轴$x=h$，根据$a$的正负判断开口方向与函数的增减性.
(2)求解析式时可利用顶点、对称轴或将已知点的坐标代入.
(3)分析抛物线与线段的交点个数问题时，可结合对称轴、增减性及图象的位置来推导参数的取值范围.
(1)当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，求$h$的最小值.
(2)已知$A$，$B$两点在$x$轴上，点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(5,0)$，若该抛物线与线段$AB$只有一个公共点，求$h$的取值范围.
解:
【规律方法】
(1)通过解析式确定抛物线的顶点坐标$(h,k)$与对称轴$x=h$，根据$a$的正负判断开口方向与函数的增减性.
(2)求解析式时可利用顶点、对称轴或将已知点的坐标代入.
(3)分析抛物线与线段的交点个数问题时，可结合对称轴、增减性及图象的位置来推导参数的取值范围.
答案
(1)$h$的最小值为1.
(2)$h$的取值范围是$2≤ h≤ 6$,且$h≠ 4$.
(2)$h$的取值范围是$2≤ h≤ 6$,且$h≠ 4$.
解析
【分析】
(1) 首先明确抛物线$y=(x-h)^2-1$的基本性质：二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=h$；开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大。题目要求$x≤1$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x≤1$的区间需全部在对称轴左侧（或与对称轴重合），由此推导$h$的取值范围即可得到最小值。
(2) 先求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$解方程，得到两个交点坐标为$(h-1,0)$、$(h+1,0)$。线段$AB$是$x$轴上$x$取值为$3≤x≤5$的部分，抛物线与线段$AB$只有一个公共点需分情况讨论：①一个交点在线段$AB$上，另一个在段左侧；②一个交点在线段$AB$上，另一个在段右侧；同时排除两个交点都在线段上的特殊情况，综合得到$h$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=(x-h)^2-1$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，
∴ 当$x≤h$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知$x≤1$时$y$随$x$的增大而减小，
∴ $h≥1$，即$h$的最小值为1。
(2) 令$y=0$，则$(x-h)^2-1=0$，
解得$x_1=h-1$，$x_2=h+1$，即抛物线与$x$轴的两个交点为$(h-1,0)$、$(h+1,0)$，两交点间距为2。
线段$AB$对应的$x$的范围是$3≤x≤5$，分情况讨论：
① 当右侧交点$(h+1,0)$在线段$AB$上，左侧交点$(h-1,0)$在$A$点左侧时：
$\begin{cases}3≤h+1≤5 \\ h-1＜3\end{cases}$，解得$2≤h＜4$；
② 当左侧交点$(h-1,0)$在线段$AB$上，右侧交点$(h+1,0)$在$B$点右侧时：
$\begin{cases}3≤h-1≤5 \\ h+1＞5\end{cases}$，解得$4＜h≤6$；
③ 当$h=4$时，两交点为$(3,0)$、$(5,0)$，即抛物线与线段$AB$交于$A$、$B$两点，有两个公共点，不符合要求，故舍去。
综上，$h$的取值范围是$2≤h≤6$且$h≠4$。
【答案】
(1) $h$的最小值为$\boldsymbol{1}$；
(2) $h$的取值范围是$\boldsymbol{2≤ h≤ 6}$且$\boldsymbol{h≠ 4}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与线段交点问题
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题时需结合数形结合思想分析参数范围，尤其要注意特殊值的验证，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确抛物线$y=(x-h)^2-1$的基本性质：二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=h$；开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大。题目要求$x≤1$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x≤1$的区间需全部在对称轴左侧（或与对称轴重合），由此推导$h$的取值范围即可得到最小值。
(2) 先求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$解方程，得到两个交点坐标为$(h-1,0)$、$(h+1,0)$。线段$AB$是$x$轴上$x$取值为$3≤x≤5$的部分，抛物线与线段$AB$只有一个公共点需分情况讨论：①一个交点在线段$AB$上，另一个在段左侧；②一个交点在线段$AB$上，另一个在段右侧；同时排除两个交点都在线段上的特殊情况，综合得到$h$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=(x-h)^2-1$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，
∴ 当$x≤h$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知$x≤1$时$y$随$x$的增大而减小，
∴ $h≥1$，即$h$的最小值为1。
(2) 令$y=0$，则$(x-h)^2-1=0$，
解得$x_1=h-1$，$x_2=h+1$，即抛物线与$x$轴的两个交点为$(h-1,0)$、$(h+1,0)$，两交点间距为2。
线段$AB$对应的$x$的范围是$3≤x≤5$，分情况讨论：
① 当右侧交点$(h+1,0)$在线段$AB$上，左侧交点$(h-1,0)$在$A$点左侧时：
$\begin{cases}3≤h+1≤5 \\ h-1＜3\end{cases}$，解得$2≤h＜4$；
② 当左侧交点$(h-1,0)$在线段$AB$上，右侧交点$(h+1,0)$在$B$点右侧时：
$\begin{cases}3≤h-1≤5 \\ h+1＞5\end{cases}$，解得$4＜h≤6$；
③ 当$h=4$时，两交点为$(3,0)$、$(5,0)$，即抛物线与线段$AB$交于$A$、$B$两点，有两个公共点，不符合要求，故舍去。
综上，$h$的取值范围是$2≤h≤6$且$h≠4$。
【答案】
(1) $h$的最小值为$\boldsymbol{1}$；
(2) $h$的取值范围是$\boldsymbol{2≤ h≤ 6}$且$\boldsymbol{h≠ 4}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与线段交点问题
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题时需结合数形结合思想分析参数范围，尤其要注意特殊值的验证，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
