1.已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 （）

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

C

【分析】
解决这类比较二次函数值大小的问题，首先从二次函数的顶点式入手分析核心性质：先确定抛物线的开口方向和对称轴，由于该抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得出y值的大小关系，无需计算常数c的具体值。
【解析】
步骤1：分析二次函数的基本性质
二次函数$y=-(x-2)^2+c$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
步骤2：计算各点到对称轴的距离
点$(-2,y_1)$到对称轴$x=2$的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴$x=2$的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴$x=2$的距离：$|7-2|=5$
步骤3：根据性质比较函数值大小
开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
因为$1＜4＜5$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，无需代入计算具体函数值，利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离关系即可快速解题，能有效考查对二次函数顶点式性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

2.在平面直角坐标系中,已知抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2 +k$ 过点 $A(1,1),B(5,1)$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)已知 $M(x_1,y_1)$ 和 $N(x_2,y_2)$ 是该抛物线上的两点,若对于 $0≤ x_1≤2,a≤ x_2≤ a+1$,都有 $y_1＜y_2$,求 $a$ 的取值范围.

(1)$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-1$.
(2)$a＜-1$或$a＞6$.

【分析】
(1) 观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标相同，说明A、B关于抛物线的对称轴对称，先通过两点横坐标求出对称轴，得到h的值，再将A点坐标代入解析式即可求出k，得到函数解析式。
(2) 先明确抛物线开口向上、对称轴为x=3的性质，离对称轴越远函数值越大。要满足所有$0≤ x_1≤2$、$a≤ x_2≤ a+1$时都有$y_1＜y_2$，只需保证$x_1$对应$y$的最大值小于$x_2$对应$y$的最小值。先求出$0≤x_1≤2$时$y_1$的最大值，再解不等式得到函数值大于该最大值的$x$的取值范围，最后让区间$[a,a+1]$完全落在该取值范围内，即可求出$a$的范围。
【解析】
(1)
∵抛物线过$A(1,1)$、$B(5,1)$，两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$，即$h=3$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +k$，
将$A(1,1)$代入解析式得：$1=\frac{1}{2}×(1-3)^2 +k$，
计算得$1=2+k$，解得$k=-1$，
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -1$。
(2) 由抛物线解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，
当$0≤x_1≤2$时，该区间在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x_1=0$时，$y_1$取得最大值，最大值为$y=\frac{1}{2}×(0-3)^2 -1=\frac{7}{2}$，
要使所有$y_1＜y_2$，只需$y_2$的最小值大于$\frac{7}{2}$，
令$\frac{1}{2}(x-3)^2 -1＞\frac{7}{2}$，
解得$(x-3)^2＞9$，即$x＞6$或$x＜0$，
即当$x＜0$或$x＞6$时，函数值都大于$\frac{7}{2}$，
∵区间$[a,a+1]$内的所有$x$都要满足$x＜0$或$x＞6$，
∴当区间在$x＜0$区域时：$a+1＜0$，解得$a＜-1$；
当区间在$x＞6$区域时：$a＞6$；
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞6$。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-1$
(2)$a＜-1$或$a＞6$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数对称性、二次函数增减性
【点评】
本题第一问利用对称点求对称轴可简化计算，第二问需要将恒成立问题转化为最值比较，结合函数图象分析区间位置是解题核心，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.65

【例2】已知函数$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2 -1$.
(1)函数图象的开口，对称轴是直线，顶点坐标为.
(2)当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而.
(3)当$x$取什么值时，函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？
(4)怎样平移抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2 -1$？
|思路分析|
思考1:对于二次函数$y=a(x-h)^2 +k$，其图象的对称轴、顶点坐标分别是什么？
思考2:决定了函数有最大值还是最小值，顶点的就是这个最值.
思考3:抛物线平移遵循的规则.
解:

思考1:对称轴是直线$x=h$，顶点坐标是$(h,k)$.
思考2:开口方向 纵坐标
思考3:左加右减，上加下减
解:(1)向下 $x=4$ $(4,-1)$
(2)减小
(3)当$x=4$时，函数能取到最大值，最大值为$-1$.
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2-1$.

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时先明确参数$a、h、k$的意义，再逐步分析各小问：
1. 先定位参数：给定函数$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2 -1$是标准顶点式，其中$a=-\frac{1}{2}$，$h=4$，$k=-1$。
2. 解(1)问：$a$的正负决定开口方向，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接代入参数即可。
3. 解(2)问：开口向下时，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$增大而减小，左侧反之，结合$h=4$即可判断。
4. 解(3)问：开口方向决定最值类型，开口向下时函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标$k$，在$x=h$处取得。
5. 解(4)问：抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的规则，对比平移前后的函数式，自变量的变化对应左右平移，常数项的变化对应上下平移。
【解析】
首先解答思路分析的三个思考问题：
思考1：对于二次函数$y=a(x-h)^2 +k$，对称轴是直线$x=h$，顶点坐标是$(h,k)$。
思考2：开口方向决定了函数有最大值还是最小值，顶点的纵坐标就是这个最值。
思考3：抛物线平移遵循左加右减，上加下减的规则。
再逐问解答：
(1) 函数中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；对称轴是直线$x=h=4$，顶点坐标为$(h,k)=(4,-1)$。
(2) 因为函数开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 由于函数开口向下，函数存在最大值，在顶点处取得最值：当$x=4$时，函数取到最大值，最大值为顶点纵坐标$-1$。
(4) 对比$y=-\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2 -1$：将原抛物线的自变量$x$替换为$x-4$，对应向右平移4个单位长度；再整体减去1，对应向下平移1个单位长度，即可得到目标抛物线。
【答案】
思考1:对称轴是直线$x=h$，顶点坐标是$(h,k)$.
思考2:开口方向 纵坐标
思考3:左加右减，上加下减
解:(1)向下 $x=4$ $(4,-1)$
(2)减小
(3)当$x=4$时，函数能取到最大值，最大值为$-1$.
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2-1$.
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性与最值；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象性质，以及平移规则的灵活运用，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8