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第二学时 反比例函数的图象和性质的综合应用
问题导引
请画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象，结合图象回答：
(1)当$x=2$时，$y$的值.
(2)当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围.
(3)当$1≤ y＜4$时，$x$的取值范围.
你能根据这个函数的图象说出反比例函数的性质吗？通过上述问题，你能发现反比例函数、方程与不等式之间有怎样的关系吗？
问题导引
请画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象，结合图象回答：
(1)当$x=2$时，$y$的值.
(2)当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围.
(3)当$1≤ y＜4$时，$x$的取值范围.
你能根据这个函数的图象说出反比例函数的性质吗？通过上述问题，你能发现反比例函数、方程与不等式之间有怎样的关系吗？
答案
解：
画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象：该函数图象是分布在第二、四象限的双曲线，通过列表（取$x=\pm1,\pm2,\pm4$，对应$y=\mp4,\mp2,\mp1$）、描点、连线即可得到。
(1) 将$x=2$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{2}=-2$。
(2) 因为$k=-4＜0$，在第四象限内，$y$随$x$的增大而增大。
当$x=1$时，$y=-4$；当$x=4$时，$y=-1$。
所以当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-1$。
(3) 当$y=1$时，$1=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-4$；
当$y=4$时，$4=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-1$。
因为$k=-4＜0$，在第二象限内，$y$随$x$的增大而增大，所以当$1≤y＜4$时，$x$的取值范围是$-4≤x＜-1$。
反比例函数的性质：
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
1. 当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
3. 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，同时也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$。
反比例函数、方程与不等式的关系：
当反比例函数的函数值取某一确定值时，求对应自变量的值的问题，就是解对应的分式方程；当已知自变量的取值范围求函数值的范围，或者已知函数值的取值范围求自变量的范围时，对应的就是解相关的不等式，借助反比例函数的图象可以直观得到不等式的解集，三者以函数为纽带，实现了相互转化。
画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象：该函数图象是分布在第二、四象限的双曲线，通过列表（取$x=\pm1,\pm2,\pm4$，对应$y=\mp4,\mp2,\mp1$）、描点、连线即可得到。
(1) 将$x=2$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{2}=-2$。
(2) 因为$k=-4＜0$，在第四象限内，$y$随$x$的增大而增大。
当$x=1$时，$y=-4$；当$x=4$时，$y=-1$。
所以当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-1$。
(3) 当$y=1$时，$1=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-4$；
当$y=4$时，$4=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-1$。
因为$k=-4＜0$，在第二象限内，$y$随$x$的增大而增大，所以当$1≤y＜4$时，$x$的取值范围是$-4≤x＜-1$。
反比例函数的性质：
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
1. 当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
3. 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，同时也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$。
反比例函数、方程与不等式的关系：
当反比例函数的函数值取某一确定值时，求对应自变量的值的问题，就是解对应的分式方程；当已知自变量的取值范围求函数值的范围，或者已知函数值的取值范围求自变量的范围时，对应的就是解相关的不等式，借助反比例函数的图象可以直观得到不等式的解集，三者以函数为纽带，实现了相互转化。
解析
【分析】
本题围绕反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$展开考查，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先明确该反比例函数的系数$k=-4＜0$，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，先通过列表、描点、连线画出图象辅助分析；2. 第(1)问是求固定自变量对应的函数值，直接将$x$的取值代入函数解析式计算即可；3. 第(2)问给定$x$的取值范围是正数，对应第四象限的图象，先计算区间端点处的$y$值，再结合函数在第四象限的增减性即可得到$y$的取值范围；4. 第(3)问给定$y$的取值范围是正数，对应第二象限的图象，先计算区间端点$y$值对应的$x$值，再结合第二象限的增减性得到$x$的取值范围；最后结合图象特征总结反比例函数的通用性质，以及函数、方程、不等式三者的关联即可。
【解析】
首先画出$y=-\dfrac{4}{x}$的图象：该函数图象是分布在第二、四象限的双曲线，可通过列表（取$x=\pm1,\pm2,\pm4$，对应$y=\mp4,\mp2,\mp1$）、描点、连线完成绘制。
(1) 将$x=2$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{2}=-2$；
(2) 由$k=-4＜0$可知，该函数在第四象限内$y$随$x$的增大而增大。当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；当$x=4$时，$y=-\dfrac{4}{4}=-1$，因此当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-1$；
(3) 当$y=1$时，代入解析式得$1=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-4$；当$y=4$时，代入解析式得$4=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-1$。由$k=-4＜0$可知，该函数在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$1≤ y＜4$时，$x$的取值范围是$-4≤x＜-1$。
反比例函数性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：①当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；②当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；③图象是中心对称图形，对称中心为原点，也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$。
反比例函数、方程与不等式的关系：当求反比例函数固定函数值对应的自变量值时，对应解分式方程；当已知自变量或函数值的取值范围，求对应未知量的范围时，对应解相关不等式，借助图象可直观得到不等式解集，三者以函数为纽带可相互转化。
【答案】
(1) $y=-2$；
(2) $-4＜y≤-1$；
(3) $-4≤x＜-1$；
反比例函数性质及函数、方程、不等式的关系见上述解析内容。
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数取值范围求解；函数与方程不等式的联系
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题，将图象绘制、性质应用、取值范围求解相结合，渗透了数形结合的数学思想，有助于学生理解函数、方程、不等式三者的内在关联，夯实反比例函数的核心知识点。
【难度系数】
0.7
本题围绕反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$展开考查，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先明确该反比例函数的系数$k=-4＜0$，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，先通过列表、描点、连线画出图象辅助分析；2. 第(1)问是求固定自变量对应的函数值，直接将$x$的取值代入函数解析式计算即可；3. 第(2)问给定$x$的取值范围是正数，对应第四象限的图象，先计算区间端点处的$y$值，再结合函数在第四象限的增减性即可得到$y$的取值范围；4. 第(3)问给定$y$的取值范围是正数，对应第二象限的图象，先计算区间端点$y$值对应的$x$值，再结合第二象限的增减性得到$x$的取值范围；最后结合图象特征总结反比例函数的通用性质，以及函数、方程、不等式三者的关联即可。
【解析】
首先画出$y=-\dfrac{4}{x}$的图象：该函数图象是分布在第二、四象限的双曲线，可通过列表（取$x=\pm1,\pm2,\pm4$，对应$y=\mp4,\mp2,\mp1$）、描点、连线完成绘制。
(1) 将$x=2$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{2}=-2$；
(2) 由$k=-4＜0$可知，该函数在第四象限内$y$随$x$的增大而增大。当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；当$x=4$时，$y=-\dfrac{4}{4}=-1$，因此当$1＜x≤4$时，$y$的取值范围是$-4＜y≤-1$；
(3) 当$y=1$时，代入解析式得$1=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-4$；当$y=4$时，代入解析式得$4=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-1$。由$k=-4＜0$可知，该函数在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$1≤ y＜4$时，$x$的取值范围是$-4≤x＜-1$。
反比例函数性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：①当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；②当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；③图象是中心对称图形，对称中心为原点，也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$。
反比例函数、方程与不等式的关系：当求反比例函数固定函数值对应的自变量值时，对应解分式方程；当已知自变量或函数值的取值范围，求对应未知量的范围时，对应解相关不等式，借助图象可直观得到不等式解集，三者以函数为纽带可相互转化。
【答案】
(1) $y=-2$；
(2) $-4＜y≤-1$；
(3) $-4≤x＜-1$；
反比例函数性质及函数、方程、不等式的关系见上述解析内容。
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数取值范围求解；函数与方程不等式的联系
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题，将图象绘制、性质应用、取值范围求解相结合，渗透了数形结合的数学思想，有助于学生理解函数、方程、不等式三者的内在关联，夯实反比例函数的核心知识点。
【难度系数】
0.7
知识点2 根据反比例函数的性质求参数的取值范围
反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 中，$x$ 的取值范围是 $x≠0$，$y$ 的取值范围是 $y≠0$.
(1)当函数图象的两个分支分别在第
(2)当函数图象的两个分支分别在第
重点提示
反比例函数中，$k$ 的正负、图象的位置、函数的增减性，三者知一推二.
反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 中，$x$ 的取值范围是 $x≠0$，$y$ 的取值范围是 $y≠0$.
(1)当函数图象的两个分支分别在第
一、三
象限，在每一象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
时，$k$ ＞
0.(2)当函数图象的两个分支分别在第
二、四
象限，在每一象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
时，$k$ ＜
0.重点提示
反比例函数中，$k$ 的正负、图象的位置、函数的增减性，三者知一推二.
答案
(1)一、三 减小 ＞
(2)二、四 增大 ＜
(2)二、四 增大 ＜
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象和性质，解题时可围绕比例系数k的符号展开推导：首先根据k的正负判断x与y的符号关系，就能确定图象所在的象限；再结合函数增减性的规律，可明确不同k值下y随x的变化趋势，三者满足“知一推二”的对应关系。
【解析】
(1) 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，$x$与$y$的符号相同，因此函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；此时在每一象限内，$x$的取值越大，对应的$y$值越小，即$y$随$x$的增大而减小。
(2) 当$k＜0$时，$x$与$y$的符号相反，因此函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限；此时在每一象限内，$x$的取值越大，对应的$y$值越大，即$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1)一、三 减小 ＞
(2)二、四 增大 ＜
【知识点】
反比例函数图象性质；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，需牢记k的符号、图象所在象限、函数增减性三者的对应关系，该规律是解决反比例函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的图象和性质，解题时可围绕比例系数k的符号展开推导：首先根据k的正负判断x与y的符号关系，就能确定图象所在的象限；再结合函数增减性的规律，可明确不同k值下y随x的变化趋势，三者满足“知一推二”的对应关系。
【解析】
(1) 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，$x$与$y$的符号相同，因此函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；此时在每一象限内，$x$的取值越大，对应的$y$值越小，即$y$随$x$的增大而减小。
(2) 当$k＜0$时，$x$与$y$的符号相反，因此函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限；此时在每一象限内，$x$的取值越大，对应的$y$值越大，即$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1)一、三 减小 ＞
(2)二、四 增大 ＜
【知识点】
反比例函数图象性质；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，需牢记k的符号、图象所在象限、函数增减性三者的对应关系，该规律是解决反比例函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
